Un quesito di cinematica sulla piscina
Salve a tutti, riposto un problema che ho trovato su un vecchio libro di fisica per il liceo, che a sua volta lo traeva dalla rivista ungherese Komal (n. 10, 1994).
Io ho provato a risolverlo ma ad un certo punto mi ritrovo a un punto morto con in mano solo delle equazioni... chiedo a voi se sapete aiutarmi a superare l’ostacolo.
Riporto il testo ed il mio tentativo di soluzione.
Ho disegnato un modello grafico del problema:

Poi ho fatto un diagramma orario dei due nuotatori:

Dove nell’asse orizzontale ci sono gli istanti del tempo, il t1 corrispondente al primo incontro e il t2 corrispondente al secondo incontro.
Da questo diagramma ho ricavato le seguenti equazioni:
$ x-22=x-v_rt_1 $
$ x-22=v_rvt_1 $
$ x+(x-16)=v_vt_2 $
$ 16=x-v_rt_2 $
$ v_v=(x+6)/(t_2-t_1 $
Cosa bisogna fare ora?
Metterle a sistema? Come si risolve un sistema del genere?
Io ho provato a risolverlo ma ad un certo punto mi ritrovo a un punto morto con in mano solo delle equazioni... chiedo a voi se sapete aiutarmi a superare l’ostacolo.
Riporto il testo ed il mio tentativo di soluzione.
Due ragazzi si allenano in piscina: si tuffano insieme dagli estremi opposti della vasca e procedono a velocità costante; giunti in fondo, invertono il percorso e continuano a nuotare, ciascuno sempre con la propria velocità iniziale. Il primo incontro dei due avviene a 22 metri dall'estremo sud della vasca e il secondo incontro a 16 metri dall'estremo nord. Quanto può essere lunga la vasca?
Ho disegnato un modello grafico del problema:

Poi ho fatto un diagramma orario dei due nuotatori:

Dove nell’asse orizzontale ci sono gli istanti del tempo, il t1 corrispondente al primo incontro e il t2 corrispondente al secondo incontro.
Da questo diagramma ho ricavato le seguenti equazioni:
$ x-22=x-v_rt_1 $
$ x-22=v_rvt_1 $
$ x+(x-16)=v_vt_2 $
$ 16=x-v_rt_2 $
$ v_v=(x+6)/(t_2-t_1 $
Cosa bisogna fare ora?
Metterle a sistema? Come si risolve un sistema del genere?
Risposte
Ricontrollandole, forse risultano più corrette così?
$ x-22=v_vt_1 $
$ x-22=x-v_rt_1 $
$ x+(x-16)=v_vt_2 $
$ x-16=x-v_rt_2 $
$ v_v=(x+6)/(t_2-t_1 $
$ x-22=v_vt_1 $
$ x-22=x-v_rt_1 $
$ x+(x-16)=v_vt_2 $
$ x-16=x-v_rt_2 $
$ v_v=(x+6)/(t_2-t_1 $
Io ho fatto così:
$v_1t_1=22$
$-v_2t_1+x=22$
$x-v_1(t_2-x/v_1)=x-16$
$v_2(t_2-x/v_2)=x-16$
Con $x$ lunghezza incognita della piscina, $t_1$, $t_2$ tempi degli incontri e $v_1$, $v_2$ velocità dei nuotatori.
Facendo i conti viene $x=50$ metri.
Edit: Corretto il sistema e conseguentemente il risultato (prima avevo assunto che il secondo incrocio avvenisse a 16 metri dalla sponda sud, non a 16 metri dalla nord come detto nel testo).
$v_1t_1=22$
$-v_2t_1+x=22$
$x-v_1(t_2-x/v_1)=x-16$
$v_2(t_2-x/v_2)=x-16$
Con $x$ lunghezza incognita della piscina, $t_1$, $t_2$ tempi degli incontri e $v_1$, $v_2$ velocità dei nuotatori.
Facendo i conti viene $x=50$ metri.
Edit: Corretto il sistema e conseguentemente il risultato (prima avevo assunto che il secondo incrocio avvenisse a 16 metri dalla sponda sud, non a 16 metri dalla nord come detto nel testo).
Rileggendo il testo, ho interpretato che incontrarsi significa incrociarsi nuotando in versi opposti.
Il diagramma allora diventa così:

Le equazioni che ho trovato per questo modello sono:
$ x-22=v_rt_1 $
$ x-22=x-v_vt_1 $
$ x-16+x=v_rt_2 $
$ x+16=v_vt_2 $
$ v_r=(x+6)/(t_2-t_1 $
$ v_v=(x-6)/(t_2-t_1 $
Un sistema che come risultato dà 50. Però l'ho fatto risolvere al Wolfram, io non ne sono capace.
Il diagramma allora diventa così:

Le equazioni che ho trovato per questo modello sono:
$ x-22=v_rt_1 $
$ x-22=x-v_vt_1 $
$ x-16+x=v_rt_2 $
$ x+16=v_vt_2 $
$ v_r=(x+6)/(t_2-t_1 $
$ v_v=(x-6)/(t_2-t_1 $
Un sistema che come risultato dà 50. Però l'ho fatto risolvere al Wolfram, io non ne sono capace.
"Faussone":
Io ho fatto così:
$v_1t_1=22$
$-v_2t_1+x=22$
$x-v_1(t_2-x/v_1)=16$
$v_2(t_2-x/v_2)=16$
Con $x$ lunghezza incognita della piscina, $t_1$, $t_2$ tempi degli incontri e $v_1$, $v_2$ velocità dei nuotatori.
Facendo i conti viene $x=41$ metri.
Come sei riuscito a risolvere un sistema di quattro equazioni in cinque incognite?
Guarda il link che ho messo
"axpgn":
Guarda il link che ho messo
La soluzione che dai in quell'altro problema è davvero molto elegante, complimenti!
Io invece mi sono aggrovigliato in sistemi di equazioni


"Gregorius":
Come sei riuscito a risolvere un sistema di quattro equazioni in cinque incognite?
Il sistema non permette di trovare tutte e 5 le incognite, ma la $x$ sì, le altre 4 incognite restano funzione di un parametro (quasi) libero.
Visto che a voi risulta 50 (che è anche un risultato congruo con la lunghezza di una piscina) devo aver sbagliato qualche conto, in ogni caso con questo approccio i conti non è che siano difficili, sono io che sono scarso coi calcoli, magari se riesco a capire dove ho cannato correggo.
"Faussone":
[quote="Gregorius"]
Come sei riuscito a risolvere un sistema di quattro equazioni in cinque incognite?
Il sistema non permette di trovare tutte e 5 le incognite, ma la $x$ sì, le altre 4 incognite restano funzione di un parametro (quasi) libero.
Visto che a voi risulta 50 (che è anche un risultato congruo con la lunghezza di una piscina) devo aver sbagliato qualche conto, in ogni caso con questo approccio i conti non è che siano difficili, sono io che sono scarso coi calcoli, magari se riesco a capire dove ho cannato correggo.[/quote]
Considera che tu hai calcolato su un modello diverso, il primo, cioè quello dove l'incrocio "canonico" era solo uno. Poi ho caricato l'altro diagramma secondo il modello a due incroci... questo potrebbe cambiare il risultato
"Gregorius":
Considera che tu hai calcolato su un modello diverso, il primo, cioè quello dove l'incrocio "canonico" era solo uno. Poi ho caricato l'altro diagramma secondo il modello a due incroci... questo potrebbe cambiare il risultato
Non è quello il problema, e i miei conti in realtà erano pure giusti, semplicemente io avevo assunto che il secondo incrocio avvenisse a 16 metri sempre dall'estremo sud e non dal nord.
Ora correggo il sistema.