Un punto materiale viene messo in moto con velocità v
Un punto materiale di massa m=1 kg viene messo in moto con velocità $v_A$ su un piano orizzontale scabro ($mu$=0.2) di lunghezza L= 2 m raccordato in B ad una guida circolare liscia di raggio R=1 m. Determinare:
-il valore di $v_A$ tale che m si stacchi dalla guida in corrispondenza dell'angolo$ alpha$=30°;
-il tempo impiegato da m a percorrere il tratto orizzontale.
Io ho pensato di svolgerlo come segue, ma alla fine ottengo una radice negativa. Mi aiutate?
$N-mg cos alpha= m-(v_P^2)/R$
Poiché ho una forza non conservativa (attrito): $E_M= W_att$
$l=R(1-cos alpha)$
$1/2 m v_A^2+ mgl- 1/2 m v_P^2= -mu_D mg L -----> v_P^2= v_A^" + 2 gl+ 2 mu_d gL$
Sostituisco in N: $N= mg cos alpha -m/R (v_A^" + 2 gR+ 2 mu_d gL)$
Pongo N=0 come condizione di distacco ed ottengo: $v_A^2= Rg cos alpha- 2lg-2 mu_d gL$
Potete dirmi dove ho sbagliato? grazie mille a tutti
-il valore di $v_A$ tale che m si stacchi dalla guida in corrispondenza dell'angolo$ alpha$=30°;
-il tempo impiegato da m a percorrere il tratto orizzontale.
Io ho pensato di svolgerlo come segue, ma alla fine ottengo una radice negativa. Mi aiutate?
$N-mg cos alpha= m-(v_P^2)/R$
Poiché ho una forza non conservativa (attrito): $E_M= W_att$
$l=R(1-cos alpha)$
$1/2 m v_A^2+ mgl- 1/2 m v_P^2= -mu_D mg L -----> v_P^2= v_A^" + 2 gl+ 2 mu_d gL$
Sostituisco in N: $N= mg cos alpha -m/R (v_A^" + 2 gR+ 2 mu_d gL)$
Pongo N=0 come condizione di distacco ed ottengo: $v_A^2= Rg cos alpha- 2lg-2 mu_d gL$
Potete dirmi dove ho sbagliato? grazie mille a tutti
Risposte
$ U_B+E_B=U_P+E_P $
$ 1/2v_b^2=1/2v_p^2-g (R-Rcos\alpha) $ con $ v_p^2=gRcos\alpha $ , nell 'ipotesi di N=0, cioe':
$1/2v_b^2=1/2gRcos\alpha-gR+gRcos\alpha=3/2gRcos\alpha-gR$
Sommando a quest'ultima espressione il lavoro della forza di attrito ottieni la velocita con cui far partire il corpo in A. Sono semplicemente andato a ritroso. Non lo esplicito perche non ho carta e penna con me e scrivo dal pad!
FAmmi sapere se torna x favore.
$ 1/2v_b^2=1/2v_p^2-g (R-Rcos\alpha) $ con $ v_p^2=gRcos\alpha $ , nell 'ipotesi di N=0, cioe':
$1/2v_b^2=1/2gRcos\alpha-gR+gRcos\alpha=3/2gRcos\alpha-gR$
Sommando a quest'ultima espressione il lavoro della forza di attrito ottieni la velocita con cui far partire il corpo in A. Sono semplicemente andato a ritroso. Non lo esplicito perche non ho carta e penna con me e scrivo dal pad!
FAmmi sapere se torna x favore.
Ma le sue equazioni sono riferite solamente al tratto BP, non ho capito bene come dovrei "sommare" il lavoro della forza di attrito.
"mircosam":
Potete dirmi dove ho sbagliato?
Qui:
"mircosam":
$ 1/2 m v_A^2+ mgl- 1/2 m v_P^2= mu_D mg L -----> v_P^2= v_A^" + 2 gl+ 2 mu_d gL $
Nel ricavare $v_p^2$ hai sbagliato il segno di $2 mu_d gL$. Ci andava un meno.
Ciao, nei miei calcoli l'ho messo ma in ogni caso ottengo la radice negativa. HELPPPPP
"mircosam":
Ma le sue equazioni sono riferite solamente al tratto BP, non ho capito bene come dovrei "sommare" il lavoro della forza di attrito.
Se hai l'energia cinetica in B (ora e' nota, e in funzione di m e R e $alpha$, che hai), l'energia cinetica in A si ottiene con le forze vive:
\( \frac{1}{2}mv_b^2-\frac{1}{2}mv_a^2=-\mu_dmg \)
(en. finale - en. iniziale) = lavoro delle forze.
In maniera equivalente, significa aggiungere all'energia cinetica in B il lavoro dissipato per trovare quanta energia aveva in A.
Quindi ho sbagliato ad utilizzare anche la reazione della guida? Perché il problema mi chiede la velocità di A tale che il corpo si stacchi dalla guida nel punto P.
Guarda bene i calcoli, non viene negativo il radicando. Ho fatto i calcoli e viene positivo.
"mircosam":
Quindi ho sbagliato ad utilizzare anche la reazione della guida? Perché il problema mi chiede la velocità di A tale che il corpo si stacchi dalla guida nel punto P.
None. Prima di tutto, mathbell dice che I calculi son Giusti, quindi ricontrolla bene.
Le relazioni che ho scritto valgono se N=0, esattamente come dici tu. Ho fatto semplicemente il ragionamento a ritroso. A partire dalla condizione di distacco sono risalito alla velocità in B, e da li, considerando il lavoro dissipativo, trovi la V in A
"mircosam":
Quindi ho sbagliato ad utilizzare anche la reazione della guida? Perché il problema mi chiede la velocità di A tale che il corpo si stacchi dalla guida nel punto P.
None. Prima di tutto, mathbell dice che I calculi son Giusti, quindi ricontrolla bene.
Le relazioni che ho scritto valgono se N=0, esattamente come dici tu. Ho fatto semplicemente il ragionamento a ritroso. A partire dalla condizione di distacco sono risalito alla velocità in B, e da li, considerando il lavoro dissipativo, trovi la V in A
Ma inizialmente avevo $ 1/2 m v_A^2 +mgl - 1/2 m v_P^2 = - mu_d m g L $ vero?? oppure la forza di attrito era positiva?
considerando la forza di attrito positiva cioè $1/2 mv_A^2+mgl−1/2 m v_P^2= +μ_d m g L$ ottengo $ v_A= 3.7 m/s $
"mircosam":
Ma inizialmente avevo $ 1/2 m v_A^2 +mgl - 1/2 m v_P^2 = - mu_d m g L $ vero?? oppure la forza di attrito era positiva?
Ci devi ragionare un attimo, quando hai problemi con i segni. E ti conviene quasi sempre spezzare il problema nei tratti con e senza attrito. Dove c'e' attrito applichi il teor. forze vive. Dove le forze sono conservtive, applichi la conservazione dell'energia meccanica. Altrimenti fai confusione!
Allora cambiamo approccio, seguendo quest'ultimo suggerimento:
Il corpo parte con Energia cinetica $1/2mv_a^2$.
Per il teorema delle forze vive, la sua energia cinetica diminuisce. Quindi il corpo arriva in B con una velocita' tale che
$1/2mv_b^2=1/2mv_a^2-\mu mg$ (vuoldire che $v_b
Ora entriamo nel campo del conservativo: Qui applichiamo la conservazione dell'energia meccanica:
quando il corpo viaggia sullo scivolo tra B e P si deve conservar la somma energia cinetica + energia potenziale cioe' $E_b+U_b=E_p+U_p$
Assunto come zero potenziale il piano in B, questa diventa:
$1/2mv_B^2 + 0 = 1/2mv_p^2-mgl$
Eliminando la $v_b$, che e' un punto intermedio di cui non ti frega granche' in questo caso, dalle due equazioni ottieni che
$ 1/2mv_a^2-\mu mg = 1/2mv_p^2-mgl$
Che ti mostra che $ 1/2mv_a^2+mgl-1/2mv_p^2 = \mu mg$, stavolta senza avere dubbi sui segni.
sostituendo a $v_p$ il valore necessario per garantire il distacco (N=0) trovi $v_a$
La ringrazio davvero! La mia impostazione era abbastanza corretta ma un po' disordinata 
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