Un problema sul teorema di Gauss
Chiedo il vostro aiuto sul seguente problema:
"Una distribuzione di carica a simmetria sferica, ma radialmente non uniforme, genera un campo elettrico di intensità $Kr^4$, diretto radialmente verso l'esterno, ove $r$ è la distanza radiale e $K$ una costante. Calcolare la densità volumica $\rho$ della distribuzione di carica."
Applico il teorema di Gauss:
$\int_{S} \vec E * d\vec S = 1/\epsilon_0\int_{\tau} \rho(r) d\tau$;
$\int_{S} Kr^4\hat r * d\vecS = 1/\epsilon_0\int_{\tau} \rho(r) d\tau$;
$\int_{S} Kr^4 dS = 1/\epsilon_0\int_{\tau} \rho(r) d\tau$.
$S$ e $\tau$ sono rispettivamente la superficie e il volume della sfera, per cui, differenziando:
$dS = d(4\pi r^2) = 8\pi r dr; d\tau = d(4/3 \pi r^3) = 4\pi r^2 dr$.
Dunque:
$\int Kr^4 8\pi r dr = 1/\epsilon_0\int \rho(r) 4\pi r^2 dr$;
$\int 8K\pi r^5 dr = 1/\epsilon_0\int 4\pi\rho(r) r^2 dr$.
Derivando entrambi i membri:
$8K\pi r^5 = 4/\epsilon_0\pi\rho(r) r^2$;
$rho(r) = 8K\epsilon_0\pi r^3/4\pi = 2K\epsilon_0 r^3$.
Il risultato però dovrebbe essere $6K\epsilon_0 r^3$.
Dove sbaglio?
"Una distribuzione di carica a simmetria sferica, ma radialmente non uniforme, genera un campo elettrico di intensità $Kr^4$, diretto radialmente verso l'esterno, ove $r$ è la distanza radiale e $K$ una costante. Calcolare la densità volumica $\rho$ della distribuzione di carica."
Applico il teorema di Gauss:
$\int_{S} \vec E * d\vec S = 1/\epsilon_0\int_{\tau} \rho(r) d\tau$;
$\int_{S} Kr^4\hat r * d\vecS = 1/\epsilon_0\int_{\tau} \rho(r) d\tau$;
$\int_{S} Kr^4 dS = 1/\epsilon_0\int_{\tau} \rho(r) d\tau$.
$S$ e $\tau$ sono rispettivamente la superficie e il volume della sfera, per cui, differenziando:
$dS = d(4\pi r^2) = 8\pi r dr; d\tau = d(4/3 \pi r^3) = 4\pi r^2 dr$.
Dunque:
$\int Kr^4 8\pi r dr = 1/\epsilon_0\int \rho(r) 4\pi r^2 dr$;
$\int 8K\pi r^5 dr = 1/\epsilon_0\int 4\pi\rho(r) r^2 dr$.
Derivando entrambi i membri:
$8K\pi r^5 = 4/\epsilon_0\pi\rho(r) r^2$;
$rho(r) = 8K\epsilon_0\pi r^3/4\pi = 2K\epsilon_0 r^3$.
Il risultato però dovrebbe essere $6K\epsilon_0 r^3$.
Dove sbaglio?
Risposte
Direi che l'errore sia sull'integrale del campo elettrico [nota]Praticamente è errato il dS, che dovrebbe essere scritto $dS=(r d\theta)( rsin\theta d\phi)=r^2sin\theta d\theta d\phi$, in quanto non relativo ad una variazione di raggio ma di angolo azimutale e zenitale.[/nota], che vista la simmetria sferica è semplicemente pari al prodotto del campo per la superficie, di conseguenza io scriverei
$Kr^4 (4\pi r^2)=\frac{1}{\epsilon_0 }\int_{0}^{r}\rho(r)4\pi r^2dr$
$\epsilon_0Kr^6=\int_{0}^{r}\rho(r) r^2dr$
$6\epsilon_0Kr^5=\rho(r) r^2$
$\rho(r)=6\epsilon_0Kr^3$
$Kr^4 (4\pi r^2)=\frac{1}{\epsilon_0 }\int_{0}^{r}\rho(r)4\pi r^2dr$
$\epsilon_0Kr^6=\int_{0}^{r}\rho(r) r^2dr$
$6\epsilon_0Kr^5=\rho(r) r^2$
$\rho(r)=6\epsilon_0Kr^3$
"RenzoDF":
Direi che l'errore sia sull'integrale del campo elettrico, che vista la simmetria sferica è semplicemente pari al prodotto del campo per la superficie, di conseguenza io scriverei
$Kr^4 (4\pi r^2)=\frac{1}{\epsilon_0 }\int_{0}^{r}\rho(r)4\pi r^2dr$
$\epsilon_0Kr^6=\int_{0}^{r}\rho(r) r^2dr$
$6\epsilon_0Kr^5=\rho(r) r^2$
$\rho(r)=6\epsilon_0Kr^3$
Giusto
