Un problema del MIT
Una particella di massa m si muove su di un 'orbita circolare di raggio R
sotto l'azione di un forza centrale $vec(F(r))$.Il centro C di tale forza e' sull'orbita.
Calcolare l'espressione di F(r) in funzione di m,r,R ed L ,dove L e' il momento angolare.
[Risultato: $F(r)=-(8L^2R^2)/(mr^5)$ ]
karl
Risposte
ma che bello sto problema. appena ho una minima di tempo ci provo!!!!!
Provato al volo mi viene diverso dal risultato che dai tu, che immagino sia quello del libro (?):
$F(r)=-(2 L^2)/(m r R^2)$
Non l'ho ricontrollato, puo' essere che sia sbagliato, stasera ci do un occhiata.
Ciao
P.
$F(r)=-(2 L^2)/(m r R^2)$
Non l'ho ricontrollato, puo' essere che sia sbagliato, stasera ci do un occhiata.
Ciao
P.
Indicando O il centro del cerchio, con M il punto dove si trova l'oggetto, con $\theta$ l'angolo tra CM e CO e $v(\theta)$ la velocità di $m$, valgono le relazioni:
$r=2Rcos\theta$
$L=mv(\theta)rcos\theta$ = costante.
Ricavata la velocità
$v(\theta)=L/(2mR(cos\theta)^2)$
si possono ottenere le componenti tangenziali e radiali della accelerazione (rispetto alla traiettoria):
$(L*sin\theta)/(mR(cos\theta)^3)*(d\theta)/dt$
$(L^2)/(4m^2R^3(cos\theta)^4)$
a questo punto la velocità angolare $(d\theta)/dt$ si ricava imponendo che la componente dell'accelerazione normale alla direzione CM sia nulla, e l'accelerazione nella direzione CM come conseguenza...
Alla fine l'accelerazione deve essere moltiplicata per $m$ per avere la forza che viene effettivamente quella indicata
ciao
$r=2Rcos\theta$
$L=mv(\theta)rcos\theta$ = costante.
Ricavata la velocità
$v(\theta)=L/(2mR(cos\theta)^2)$
si possono ottenere le componenti tangenziali e radiali della accelerazione (rispetto alla traiettoria):
$(L*sin\theta)/(mR(cos\theta)^3)*(d\theta)/dt$
$(L^2)/(4m^2R^3(cos\theta)^4)$
a questo punto la velocità angolare $(d\theta)/dt$ si ricava imponendo che la componente dell'accelerazione normale alla direzione CM sia nulla, e l'accelerazione nella direzione CM come conseguenza...
Alla fine l'accelerazione deve essere moltiplicata per $m$ per avere la forza che viene effettivamente quella indicata
ciao
Il risultato del problema può essere anche ricavato direttamente dall'equazione generale:
$f(r)=L^2/(mr^4)[(d^2r)/(d theta^2)-2/r((dr)/(d theta))^2-r]$
dove in questo caso $r=2Rcostheta$.
Qualcuno vuole provare a dimostrarla?
$f(r)=L^2/(mr^4)[(d^2r)/(d theta^2)-2/r((dr)/(d theta))^2-r]$
dove in questo caso $r=2Rcostheta$.
Qualcuno vuole provare a dimostrarla?
Il risultato che ho riportato e' effettivamene quello del
*.pdf dal quale ho tratto il problema e che ho controllato
con un procedimento simile a quello indicato da Mamo.
Con la differenza (solo formale) di aver preso come variablile
$1/r$ invece di $theta$.
karl
*.pdf dal quale ho tratto il problema e che ho controllato
con un procedimento simile a quello indicato da Mamo.
Con la differenza (solo formale) di aver preso come variablile
$1/r$ invece di $theta$.
karl
"MaMo":
Il risultato del problema può essere anche ricavato direttamente dall'equazione generale:
$f(r)=L^2/(mr^4)[(d^2r)/(d theta^2)-2/r((dr)/(d theta))^2-r]$
dove in questo caso $r=2Rcostheta$.
Qualcuno vuole provare a dimostrarla?
La formula generale si chiama formula di Binet ed esprime l'accelerazione in un campo di forze centrali eliminando la dipendenza funzionale dal tempo. Per dimostrarla basta esprimere l'accelerazione in coordinate polari; successivamente, ricordando che $r^2((d theta)/(dt))=L/m$ e che in un campo di forze centrali l'accelerazione ha componente tangenziale nulla, con opportuni passaggi si arriva alla formula voluta.
Dimostrare che il periodo orbitale della particella è:
$T=(2piR^2m)/L$.
$T=(2piR^2m)/L$.
Premetto 3 considerazioni:
a)Poiche' nel nostro caso C appartiene all'orbita,allora $theta$ puo' variare
da $0^(rad)$ (all'istante t=0) fino a $pi^(rad)$ (all'istante t=periodo=T)
b) Sempre nel nostro caso e' $r=2Rcostheta$
c)In un moto centrale il momento angolare L e' una costante del moto medesimo
ed e' dato a:
$L=mr^2(d theta)/(dt)$ da cui:
$dt=m/L*4R^2cos^2thetad theta =(2mR^2)/L(1+cos2theta)d theta$
Integrando su $theta in [0,pi]$ ne risulta:
$T=(2mR^2)/L|theta+1/2sin2theta|_0^(pi)=(2*pi*m*R^2)/L$
c.d.d.
karl
a)Poiche' nel nostro caso C appartiene all'orbita,allora $theta$ puo' variare
da $0^(rad)$ (all'istante t=0) fino a $pi^(rad)$ (all'istante t=periodo=T)
b) Sempre nel nostro caso e' $r=2Rcostheta$
c)In un moto centrale il momento angolare L e' una costante del moto medesimo
ed e' dato a:
$L=mr^2(d theta)/(dt)$ da cui:
$dt=m/L*4R^2cos^2thetad theta =(2mR^2)/L(1+cos2theta)d theta$
Integrando su $theta in [0,pi]$ ne risulta:
$T=(2mR^2)/L|theta+1/2sin2theta|_0^(pi)=(2*pi*m*R^2)/L$
c.d.d.
karl
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo