Un moto circolare assurdamente difficile...
Su una pista circolare di raggio 150m un punto materiale inizialmente fermo si muove con accelerazione tangenziale costante fino ad un istante $t_1$ in cui la velocita' e l'accelerazione formano un angolo di $45°$, poi mantiene costante la sua velocita' .. Dall'istante in cui e' partito fino a quello in cui completa un giro trascorrono 120 secondi ...
Calcolare lo spazio percorso dal punto fino all'istante $t_1$...
allora ho cominciato facendo un bel disegno del mio moto...
ci sono due moti, da $P_0$ a $P(t)$ il moto e' circolare uniformemente accelerato..da $P(t)$ in poi e' circolare uniforme e basta..
poi ho continuato pensando che la velocita' in $t_1$ e' uguale alla velocita' del moto circolare uniforme che comincia da $t_1$...inoltre il periodo del moto circolare uniforme e' proprio uguale a $120s-t_1$
per cui $omega=2piR/(120-t_1)$
questa e' la velocita' finale del moto uniformemente accelerato per cui
potrei ricavarmi lo spazio percorso in base a questo...tuttavia la cosa non funziona per via di due incognite ..
dovrei dunque usare il fatto che in questo caso accelerazione tangenziale costante e' uguale all'accelerazione centripeta in $t_1$
ma non riesco a pervenire a una soluzione
mi sto rompendo la testa ...
Calcolare lo spazio percorso dal punto fino all'istante $t_1$...
allora ho cominciato facendo un bel disegno del mio moto...
ci sono due moti, da $P_0$ a $P(t)$ il moto e' circolare uniformemente accelerato..da $P(t)$ in poi e' circolare uniforme e basta..
poi ho continuato pensando che la velocita' in $t_1$ e' uguale alla velocita' del moto circolare uniforme che comincia da $t_1$...inoltre il periodo del moto circolare uniforme e' proprio uguale a $120s-t_1$
per cui $omega=2piR/(120-t_1)$
questa e' la velocita' finale del moto uniformemente accelerato per cui
potrei ricavarmi lo spazio percorso in base a questo...tuttavia la cosa non funziona per via di due incognite ..
dovrei dunque usare il fatto che in questo caso accelerazione tangenziale costante e' uguale all'accelerazione centripeta in $t_1$
ma non riesco a pervenire a una soluzione
mi sto rompendo la testa ...
Risposte
Nel primo tratto il moto è circolare uniformemente accelerato: ne conosci le leggi? Sono come quelle del moto rettilineo uniformemente accelerato, fatte le debite sostituzioni : lo spazio diventa l'angolo, la velocità lineare diventa velocità angolare, l'accelerazione lineare diventa accelerazione angolare....e questa è legata alla accelerazione tangenziale del moto circolare, c'è di mezzo un raggio...
Certo che devi sfruttare quello che dice il problema...
Certo che devi sfruttare quello che dice il problema...
Si le conosco le leggi del moto uniformemente accelerato e l'idea principale era questa per fare il problema ma non ci riesco..
insomma ottengo più di un incognita e niente non mi riesce..
Cerco di riassumere in brve cosa volevo fare..
una volta ottenuta $omega$ in funzione del tempo $t_1$ volevo creare una bella uguaglianza sfruttando il fatto che l'accelerazione tengenziale è uguale all'accelereazione centripeta..
$a_t=alphaR$ dove $alpha$ è l'accelerazione angolare...
$a_c=omega^2R$
$omega$ ce l'ho, manca invece un valore di $alpha$ in funzione del tempo $t_1$
Per cui ora sfrutterei il fatto che il moto è uniformemente accelerato
Nella prima parte del moto lìequazione oraria è $theta(t)=(1/2)alphat^2$
E ora non so come andare avanti perchè entra in gioco l'incognita della posizione $theta(t)$, dunque non so come fare..
insomma ottengo più di un incognita e niente non mi riesce..
Cerco di riassumere in brve cosa volevo fare..
una volta ottenuta $omega$ in funzione del tempo $t_1$ volevo creare una bella uguaglianza sfruttando il fatto che l'accelerazione tengenziale è uguale all'accelereazione centripeta..
$a_t=alphaR$ dove $alpha$ è l'accelerazione angolare...
$a_c=omega^2R$
$omega$ ce l'ho, manca invece un valore di $alpha$ in funzione del tempo $t_1$
Per cui ora sfrutterei il fatto che il moto è uniformemente accelerato
Nella prima parte del moto lìequazione oraria è $theta(t)=(1/2)alphat^2$
E ora non so come andare avanti perchè entra in gioco l'incognita della posizione $theta(t)$, dunque non so come fare..
rettifico forse sono giunto a una conclusione coerente..
Dunque
$omega=(2pi)/T$ quindi la velocità rediale $v=(2piR)/T=omegaR$ per cui posto che il periodo della parte di moto circolare uniforme vale $120s-t_1$ dunque la velocità radiale in funzione di $t_1$ è $v=(300pi)/(120-t_1)$
Questa velocità radiale è la stessa velocità che il punto ha raggiunto in $P(t)$ dopo aver concluso il moto circolare uniformemente accelerato, siccome l'equazione di tale moto è $theta(t)=(1/2)alphat^2$ derivo rispetto al tempo nel punto $t_1$ ottenendo la velocità angolare istantanea in $t_1$ ... $omega(t_1)=alphat_1$ detto ciò voglio la velocità radiale istantanea per cui $v(t_1)=alphatR$
Tale velocità radiale istantanea in $t_1$ sarà proprio uguale alla velocità radiale del moto circolare uniforme per cui chiamiamo entrambe $v(t_1)=v$ semplicemente $v$
Ora so l'accelerazione angolare in funzione della velocità radiale in $t_1$ $alpha=v/(tR)$
Infine so che l'accelereazione tangenziale è $a_t=alphaR$ ----> $a_t=v/t$
l'accelerazione centripeta invece è $a_c=(v^2)/R$
Le due accelerazioni devono esser uguali per cui
$v/t=(v^2)/R$ sostituendo il valore della velocità radiale ottengo solo $t_1$ come incognita..
$(300pi)/(t_1(120-t_1))=(300pi)^2/(150(120-t_1)^2)$
da cui ottengo $t_1=16.49s$
Peccato che il risultato dovrebbe essere $17.7 secondi..$ e che mi sembra un po' troppo la discrepanza tra i due risultati...
Premettendo che praticamente non ho approssimato nulla, che ne pensate di questo svolgimento? è corretto?
Dunque
$omega=(2pi)/T$ quindi la velocità rediale $v=(2piR)/T=omegaR$ per cui posto che il periodo della parte di moto circolare uniforme vale $120s-t_1$ dunque la velocità radiale in funzione di $t_1$ è $v=(300pi)/(120-t_1)$
Questa velocità radiale è la stessa velocità che il punto ha raggiunto in $P(t)$ dopo aver concluso il moto circolare uniformemente accelerato, siccome l'equazione di tale moto è $theta(t)=(1/2)alphat^2$ derivo rispetto al tempo nel punto $t_1$ ottenendo la velocità angolare istantanea in $t_1$ ... $omega(t_1)=alphat_1$ detto ciò voglio la velocità radiale istantanea per cui $v(t_1)=alphatR$
Tale velocità radiale istantanea in $t_1$ sarà proprio uguale alla velocità radiale del moto circolare uniforme per cui chiamiamo entrambe $v(t_1)=v$ semplicemente $v$
Ora so l'accelerazione angolare in funzione della velocità radiale in $t_1$ $alpha=v/(tR)$
Infine so che l'accelereazione tangenziale è $a_t=alphaR$ ----> $a_t=v/t$
l'accelerazione centripeta invece è $a_c=(v^2)/R$
Le due accelerazioni devono esser uguali per cui
$v/t=(v^2)/R$ sostituendo il valore della velocità radiale ottengo solo $t_1$ come incognita..
$(300pi)/(t_1(120-t_1))=(300pi)^2/(150(120-t_1)^2)$
da cui ottengo $t_1=16.49s$
Peccato che il risultato dovrebbe essere $17.7 secondi..$ e che mi sembra un po' troppo la discrepanza tra i due risultati...
Premettendo che praticamente non ho approssimato nulla, che ne pensate di questo svolgimento? è corretto?
Allora vediamo se riesco ad aiutarti.
Accelerazione angolare costante :
$\alpha = "cost"$ , e quindi anche modulo dell'accelerazione tangenziale nel moto rotatorio costante : $a_t = \alpha*R = "cost" $
velocità angolare linearmente crescente col tempo : $ \omega = \alpha*t$
angolo crescente con legge quadratica : $\theta = 1/2*\alpha*t^2 = 1/2*a_t/R*t^2$
modulo velocità periferica : $v = \omega*R = \alpha*t*R$
modulo accelerazione centripeta : $ a_c = v^2/R = \alpha^2*t^2*R^2/R = \alpha^2*t^2*R $
Uguagliamo ora i moduli dell'accelerazione tangenziale e dell'accelerazione centripeta ( per la condizione data dal problema), il che si verificherà in un istante $t_1$ :
$\alpha^2*t_1^2*R = \alpha*R $ , da cui : $ t_1^2 = 1/\alpha$ , da cui : $ t_1 = 1/sqrt(\alpha)$
Questo $t_1$ è l'istante in cui finisce il moto rotatorio uniformemente accelerato.
Percio in questo tempo il raggio vettore descrive un certo angolo $\theta_1 = 1/2*\alpha*t_1^2$, e corrispondentemente il punto percorre un certo arco. Da qui in avanti, non c'è più accelerazione tangenziale ma solo centripeta, naturalmente.
Ora sai che nel tempo $ t_2 = 120s - t_1$ il punto percorre il resto dell'arco $ 2*\pi*R - \theta_1* R $, mancante per compiere l'intera circonferenza, a velocità periferica costante.
La velocità periferica, a partire da tale punto, si mantiene costante e pari a : $v_1 = \omega_1*R = \alpha*t_1*R = sqrt(alpha)*R$.
Facendo un po' di sostituzioni, dovresti arrivare al risultato. Certo che comunque hai ragione, è un problema abbastanza incasinato, e ti dirò che mi sto incasinando pure io!
Abbiamo tutte le equazioni che ci servono? È venuto un forte mal di testa pure a me! Ma vedrai che ce la faremo, non ci facciamo battere da un esercizio di moto rotatorio!
Accelerazione angolare costante :
$\alpha = "cost"$ , e quindi anche modulo dell'accelerazione tangenziale nel moto rotatorio costante : $a_t = \alpha*R = "cost" $
velocità angolare linearmente crescente col tempo : $ \omega = \alpha*t$
angolo crescente con legge quadratica : $\theta = 1/2*\alpha*t^2 = 1/2*a_t/R*t^2$
modulo velocità periferica : $v = \omega*R = \alpha*t*R$
modulo accelerazione centripeta : $ a_c = v^2/R = \alpha^2*t^2*R^2/R = \alpha^2*t^2*R $
Uguagliamo ora i moduli dell'accelerazione tangenziale e dell'accelerazione centripeta ( per la condizione data dal problema), il che si verificherà in un istante $t_1$ :
$\alpha^2*t_1^2*R = \alpha*R $ , da cui : $ t_1^2 = 1/\alpha$ , da cui : $ t_1 = 1/sqrt(\alpha)$
Questo $t_1$ è l'istante in cui finisce il moto rotatorio uniformemente accelerato.
Percio in questo tempo il raggio vettore descrive un certo angolo $\theta_1 = 1/2*\alpha*t_1^2$, e corrispondentemente il punto percorre un certo arco. Da qui in avanti, non c'è più accelerazione tangenziale ma solo centripeta, naturalmente.
Ora sai che nel tempo $ t_2 = 120s - t_1$ il punto percorre il resto dell'arco $ 2*\pi*R - \theta_1* R $, mancante per compiere l'intera circonferenza, a velocità periferica costante.
La velocità periferica, a partire da tale punto, si mantiene costante e pari a : $v_1 = \omega_1*R = \alpha*t_1*R = sqrt(alpha)*R$.
Facendo un po' di sostituzioni, dovresti arrivare al risultato. Certo che comunque hai ragione, è un problema abbastanza incasinato, e ti dirò che mi sto incasinando pure io!
Abbiamo tutte le equazioni che ci servono? È venuto un forte mal di testa pure a me! Ma vedrai che ce la faremo, non ci facciamo battere da un esercizio di moto rotatorio!
mmm allora ci sono tutte le equazioni di moto rotatorio certo ma come ho fatto prima nel post precedente secondo te non va bene?
Mi sembra più o meno la stessa cosa solo che io ho uguagliato i moduli delle rispettive accelerazioni trovate in funzione della velocità radiale in $t_1$
Ho trovato un valore per il tempo $t_1$ a questo punto calcolare la distanza percorsa non è più il nocciolo del problema, quanto il fatto che secondo i risultati il tempo $t_1$ deve venire 17.7 secondi, mentre a me viene 16.45 ...quindi tu che ne pensi della risoluzione proposta da me nel post prima?
ps no, non ci faremo abbattere da un moto circolare!
In pratica comunque la mia risoluzione prevedeva un idea di questo tipo, cioè a partire da $t_1$ comincia il moto circolare uniforme con una certa velocità radiale costante, tale velocità radiale costante deve essere uguale alla velocità che il corpo possiede nel punto $P(t)$, cioè deve essere uguale alla velocità finale raggiunta dal corpo che si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato nella prima parte..per cui se io derivavo rispetto al tempo l'equazione oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato trovo la velocità istantanea all'istante $t_1$ che a sua volta dovrebbe esser uguale alla velocità radiale del moto circolare uniforme...non so se sono risucito a spiegarmi
Mi sembra più o meno la stessa cosa solo che io ho uguagliato i moduli delle rispettive accelerazioni trovate in funzione della velocità radiale in $t_1$
Ho trovato un valore per il tempo $t_1$ a questo punto calcolare la distanza percorsa non è più il nocciolo del problema, quanto il fatto che secondo i risultati il tempo $t_1$ deve venire 17.7 secondi, mentre a me viene 16.45 ...quindi tu che ne pensi della risoluzione proposta da me nel post prima?
ps no, non ci faremo abbattere da un moto circolare!
In pratica comunque la mia risoluzione prevedeva un idea di questo tipo, cioè a partire da $t_1$ comincia il moto circolare uniforme con una certa velocità radiale costante, tale velocità radiale costante deve essere uguale alla velocità che il corpo possiede nel punto $P(t)$, cioè deve essere uguale alla velocità finale raggiunta dal corpo che si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato nella prima parte..per cui se io derivavo rispetto al tempo l'equazione oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato trovo la velocità istantanea all'istante $t_1$ che a sua volta dovrebbe esser uguale alla velocità radiale del moto circolare uniforme...non so se sono risucito a spiegarmi
No, la tua soluzione non va bene, perché $2\piR = 300\pi$ è l'intera circonferenza ! Correggi !
L'idea del procedimento è comunque quella.
Riprendendo il mio discorso, il tempo $t_2$ lo si può trovare come rapporto tra l'arco $(2\pi -\theta_1)*R$ e la corrispondente velocità periferica $v_1 = \omega_1*R$, e alla fine dovrebbe venire una sola equazione in $t_1$, come a te.
Fa una cosa, se vuoi : vedi col mio procedimento quanto ti viene il tempo $t_1$.
Forse stasera con più calma riesco a riprenderlo, e magari mi faccio pure i conti. Comunque il procedimento è quello.
Ma non parlare di "velocità radiale" !!!
L'idea del procedimento è comunque quella.
Riprendendo il mio discorso, il tempo $t_2$ lo si può trovare come rapporto tra l'arco $(2\pi -\theta_1)*R$ e la corrispondente velocità periferica $v_1 = \omega_1*R$, e alla fine dovrebbe venire una sola equazione in $t_1$, come a te.
Fa una cosa, se vuoi : vedi col mio procedimento quanto ti viene il tempo $t_1$.
Forse stasera con più calma riesco a riprenderlo, e magari mi faccio pure i conti. Comunque il procedimento è quello.
Ma non parlare di "velocità radiale" !!!
Giusto! Avevo proprio ignorato che non è tutta la circonferenza!...
Ok ora la riguardo anche io tutto daccapo e più tardi ti faccio sapere se ne sono uscito vivo...
ps perchè non posso dire velocità radiale?
Ok ora la riguardo anche io tutto daccapo e più tardi ti faccio sapere se ne sono uscito vivo...
ps perchè non posso dire velocità radiale?
Non puoi dire "velocità radiale" perché il punto si muove sulla circonferenza, quindi la velocità è tangenziale, e il raggio vettore ha una velocità "angolare" . Velocita radiale è "nel senso del raggio".
Comunque ho risolto l'esercizio. Ti metto i risultati:
$ 120s = t_1 + t_2$ -----(1)
Il tempo $t_1$ è quello del moto accelerato, l'altro $t_2$ è quello del moto uniforme.
All'istante $t_1$ , si deve avere : $a_t = a_c$ , cioè : $ \alpha*R = \omega^2*R = (\alpha*t_1)^2*R$ ,
da cui :$ t_1^2 = 1/\alpha$
Per cui l'angolo descritto in questo tempo vale : $ \theta_1 = 1/2\alpha*t_1^2 = 1/2 rad$
LA velocita angolare in questo istante vale : $ \omega_1 = \alpha*t_1 = 1/t_1$
La velocita periferica dunque vale : $ v_1 = \omega_1*R = R/t_1$ . Con questa velocità costante prosegue il moto.
Il tempo $t_2$ del moto uniforme è dato da : $ t_2 = (2pi - theta_1)*R/v_1 = (2pi - 1/2)*t_1 $ ------(2)
Mettendo a sistema la (1) e la (2) , si ricava : $ t_1 = 17.7 s $
Comunque ho risolto l'esercizio. Ti metto i risultati:
$ 120s = t_1 + t_2$ -----(1)
Il tempo $t_1$ è quello del moto accelerato, l'altro $t_2$ è quello del moto uniforme.
All'istante $t_1$ , si deve avere : $a_t = a_c$ , cioè : $ \alpha*R = \omega^2*R = (\alpha*t_1)^2*R$ ,
da cui :$ t_1^2 = 1/\alpha$
Per cui l'angolo descritto in questo tempo vale : $ \theta_1 = 1/2\alpha*t_1^2 = 1/2 rad$
LA velocita angolare in questo istante vale : $ \omega_1 = \alpha*t_1 = 1/t_1$
La velocita periferica dunque vale : $ v_1 = \omega_1*R = R/t_1$ . Con questa velocità costante prosegue il moto.
Il tempo $t_2$ del moto uniforme è dato da : $ t_2 = (2pi - theta_1)*R/v_1 = (2pi - 1/2)*t_1 $ ------(2)
Mettendo a sistema la (1) e la (2) , si ricava : $ t_1 = 17.7 s $
Grazie per il supporto Navigatore! 
Alla fine avevo rifatto tutto daccapo..il problema di fondo comunque era che ogni mio ragionamento era viziato dal fatto che non sottraevo a $300pi$ il valore della posizione $theta_1$..
Grazie per avermi postato anche i risultati così ho potuto controllare la bontà delle mie uguaglianze..(in realtà non proprio buone..XD)
ora finalmente ho capito come si faceva l'esercizio
Alla fine avevo rifatto tutto daccapo..il problema di fondo comunque era che ogni mio ragionamento era viziato dal fatto che non sottraevo a $300pi$ il valore della posizione $theta_1$..
Grazie per avermi postato anche i risultati così ho potuto controllare la bontà delle mie uguaglianze..(in realtà non proprio buone..XD)
ora finalmente ho capito come si faceva l'esercizio
Ciao volevo chiedere gentilmente da che libro proviene l'esercizio anche io ho lo stesso esercizio dettato dal prof mi piacerebbe sapere da dove è stato preso grazie
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