Un esercizio di ellettrostatica

[giuseppeangora]

Salve, vi propongo il seguente esercizio di elettrostatica che in parte non ho compreso.
Un conduttore sferico cavo di raggio interno R2=2 cm e raggio esterno R3=3 cm possiede una carica pari a Q0=3×10-4 C. All’ interno viene posto un altro conduttore sferico, di raggio R1=1 cm, concentrico al primo, con un’ulteriore carica pari anch’essa a Q0. Ad una distanza L=3 m dal centro dei conduttori è posta una piccola carica puntiforme q0= - 2×10-7 C.
a) Calcolare la forza esercitata sulla carica q0.
b) La carica q0 viene portata all’infinito, qual è il lavoro compiuto dalle forze elettrostatiche?
c) In seguito i due conduttori vengono connessi con un filo metallico. Quali sono le cariche Q1 e Q2 che si misurano alla fine sulle sfere?
d) Qual è l’ energia dissipata nel processo?

Per quanto riguarda il punto (a) ho pensato di applicare il principio di sovrapposzione, dunque ho considerato il campo generato dai due conduttori separatamente e quindi li ho sommati:
E(L)= 2Q0/(4*pi*eps0*L**2), diretta verso l'esterno lungo la congiungente il centro delle sfere con la carica q0. Quindi la forza è semplicemente E*q0
Per il punto (b) ho determinato il potenziale: \(\displaystyle V(L)-V(\inf) = \int_L^\inf \frac{Q_0}{2\pi\epsilon} \frac{1}{r^2} dr \)
con V(inf)=0, quiondi il lavoro è V(L)*q0
fino a qui penso sia corretto, giusto?

Ma, una volta che collego i due conduttori, come determino la carica?

[Silence1]

a) No, devi considerare le proprietà dei conduttori, cioè che al loro interno il campo elettrico è sempre nullo. Il che significa che usando il Teorema di Gauss devi essere in grado di costruire una sfera di raggio $R_2 Ora considera una sfera di Gauss con raggio $r>R_3$. Avrai:

$int_()^() E*vec(n) dS = (Q_0-Q_0+Q_0)/epsilon_0->E4pir^2=Q_0/epsilon_0->vec(E)=Q_0/(4piepsilon_0r^2)vec(u_r)$

Per inciso, sappi che ogni volta che tratti un corpo carico (conduttore o meno) di forma sferica, visto da grande distanza (cioè non immediatamente attaccato alla superficie) puoi considerarlo come una carica puntiforme la cui carica è uguale alla carica totale contenuta nella sfera. Se infatti in questo caso avessi sommato tutte le cariche nei conduttori ti sarebbe uscita $Q_0$, e trattandola come una carica puntiforme avresti semplicemente dedotto l'espressione a cui siamo arrivati usando Gauss. Detto ciò, considera $r=L$ e trovi il campo cui è soggetta la tua carica esterna. Di lì la forza la trovi come hai detto.

b) Il lavoro è forza per spostamento, dunque:

$W=int_(L)^(oo) vec(F) dr=int_(L)^(oo) q_0vec(E) dr = (q_0Q_0)/(4piepsilon_0)int_(L)^(oo)(dr)/r^2=(q_0Q_0)/(4piepsilon_0L)=q_0DeltaV$ come hai detto tu (ma hai usato l'espressione sbagliata del campo).

c) Quando colleghi i due conduttori ciò che succede è che diventano equipotenziali (un'altra delle loro proprietà). Inoltre, sfrutterai la conservazione della carica.
Hai che $Q=Q_0=Q_1+Q_2$
Quel che devi fare (lascio a te i conti) è:
- calcola i potenziali dei due conduttori prima che vengano collegati dal filo. Entrambi i potenziali saranno ovviamente in funzione di $Q_0$.
- imponi l'uguaglianza dei potenziali (colleghi il filo)
- per ciascun potenziale sostituisci a $Q_0$ le nuove cariche $Q_1, Q_2$. Avrai un'equazione in due incognite
- per risolverla, considera $Q_2=Q_0-Q_1$. Sostituisci, hai un'equazione in un'incognita. Ricavi $Q_1$, usi la stessa relazione per trovare $Q_2$.

d) L'energia di un conduttore è semplicemente $U_E=1/2QV$. Hai sia le cariche che i potenziali prima e dopo. Due conti ed è fatta.

CREDO (nota l'estrema fiducia in me stesso) di non aver detto scemate. Per sicurezza, visto che non sono esperto né tantomeno un professore, magari attendi un attimo così che se uno dei saggi passa di qui può dare un'occhiata più approfondita.