Un esercizio di dinamica che mi sembra controintuitivo
"Mazzoldi-Nigro-Voci EX5.7":
Un corpo di massa $m_A = 2kg$ è posto su un carrello che può scorrere sul piano orizzontale, ad una distanza $d=1 m$ dal bordo destro. La massa del carrello è $m_B = 8 kg$. Il carrello viene messo in moto tramite una forza $F = 30 N$ applicata orizzontalmente. Il coefficiente di attrico tra il corpo e il carrello è $\mu_d = 0.2$. Calcolare quanto tempo impiega il corpo a toccare la parete del carrello.
La forza $F$ è applicata al carrello $B$.
Se non vi fosse nessuna massa all'interno, questo verrebbe accelerato con $a_B = F/m_B$.
Se all'interno del carrello non vi fosse attrito fra il corpo $A$ e il carrello l'accelerazione sarebbe più bassa, ma sempre con un'espressione simile.
Ora, quello che vi è in realtà è un carrello di massa $m_B$ che trasporta un corpo di massa $m_A$ che esercita attrito con la superficie su cui è poggiato, quella del carrello.
Il problema potrebbe essere risolto pensando ad un sistema di riferimento monodimensionale: sia il versore che determina il sistema di riferimento orientato nella stessa direzione e con lo stesso verso del vettore forza $\barF$.
Allora si avrà, per il corpo A:
$F + F_"attrito" = (m_A + m_B) * a_B$
e per il corpo B:
$m_A * \mu_D * g = (m_A) a_A$
Dunque l'accelerazione esercitata sul corpo $A$ -quello interno al carrello- relativamente a quella del corpo $B$ sarà:
$a_(A, B) = a_B - a_A$, con $a_(A, B) > 0$ i.e. nello stesso verso di $\barF$
Per trovare in quanto tempo la massa $A$ aderisce contro la parete destra del carrello mi trovo comodo ad usare una relazione dalla cinematica:
$d = 1/2 a_(A, B) * t^2_"arrivo"$
così da poter trovare il tempo di arrivo.
Sono molto dubbioso con quanto scritto però. Questo significa che se in un carrello trasporto un dischetto fatto di ghiaccio invece che di un materiale con un coefficiente d'attrito più alto faccio meno fatica, a parità di massa trasportata?
Risposte
non mi torna tanto quel $F + F_(attrito)$...mi sa proprio c'è un meno. siccome si sa per certo che la massa sopra, la massa A, si muoverà verso destra, la forza di attrito applicata su questa sarà diretta verso sinistra, opposta al moto.
per il terzo principio di Newton, quindi, la sua reazione, quella applicata alla slitta, sarà diretta verso destra, e quindi opposta alla forza F.
se si vuol far muovere un oggetto verso destra spostando quello su cui questo è appoggiato, bisogna spingerlo verso sinistra
per il terzo principio di Newton, quindi, la sua reazione, quella applicata alla slitta, sarà diretta verso destra, e quindi opposta alla forza F.
se si vuol far muovere un oggetto verso destra spostando quello su cui questo è appoggiato, bisogna spingerlo verso sinistra
Hai fatto un po' di confusione con le equazioni. Innanzi tutto l'eq. che indichi per il corpo A in realtà vale per il corpo B e viceversa. Ma a parte questo dettaglio ininfluente, l'errore grosso sta nell'equazione per il corpo B. Se stai scrivendo l'equazione per il corpo B non puoi usare la somma delle masse di A e di B, ma devi usare la sola massa di B. Il secondo principio di Newton dice che la forza totale applicata ad UN CORPO è pari al prodotto tra l'accelerazione e la massa DI QUEL corpo: non ha importanza che sopra a B ci sia A. Di questo si tiene conto "automaticamente" quando nell'equazione metti anche la forza che A applica a B (cioè l'attrito).
Consideriamo ora un asse x orizzontale orientato verso sinistra. Supponiamo che la forza F sia orientata verso sinistra (quindi è positiva). Ora, un altro errore, è che la forza di attrito è opposta a F (e non concorde) poiché essa tende a frenare B (la forza di attrito è applicata a B dal corpo A che gli scivola sopra nel verso opposto al suo moto). Dunque l'equazione per B è:
\(\displaystyle F-F_{attrito}=m_{B}a_{B} \)
L'equazione per A è corretta, ed anche quella per il m.r.u.a. Risolvendo, trovi che l'accelerazione di A rispetto al carrello B è \(\displaystyle a_{AB}=-1,3m/s^2 \) che è negativa e cioè opposta a F
'
Attenzione! La massa A si muove verso destra rispetto al carrello, ma rispetto al suolo si muove verso sinistra, esattamente come il carrello B. Del resto, è proprio il carrello che, tramite l'attrito, trasmette il moto ad A. Dire che "l'attrito si oppone al moto" punto e basta, senza specificare il sistema di riferimento ed il corpo, non è corretto. In questo caso, nel riferimento del suolo, l'attrito CAUSA il moto di A.
Consideriamo ora un asse x orizzontale orientato verso sinistra. Supponiamo che la forza F sia orientata verso sinistra (quindi è positiva). Ora, un altro errore, è che la forza di attrito è opposta a F (e non concorde) poiché essa tende a frenare B (la forza di attrito è applicata a B dal corpo A che gli scivola sopra nel verso opposto al suo moto). Dunque l'equazione per B è:
\(\displaystyle F-F_{attrito}=m_{B}a_{B} \)
L'equazione per A è corretta, ed anche quella per il m.r.u.a. Risolvendo, trovi che l'accelerazione di A rispetto al carrello B è \(\displaystyle a_{AB}=-1,3m/s^2 \) che è negativa e cioè opposta a F
'
"eugeniobene58":
siccome si sa per certo che la massa sopra, la massa A, si muoverà verso destra, la forza di attrito applicata su questa sarà diretta verso sinistra, opposta al moto.
Attenzione! La massa A si muove verso destra rispetto al carrello, ma rispetto al suolo si muove verso sinistra, esattamente come il carrello B. Del resto, è proprio il carrello che, tramite l'attrito, trasmette il moto ad A. Dire che "l'attrito si oppone al moto" punto e basta, senza specificare il sistema di riferimento ed il corpo, non è corretto. In questo caso, nel riferimento del suolo, l'attrito CAUSA il moto di A.
si. sono stato proprio un duro. ho fatto confusione che in testa ce l'avevo con l'accelerazione di trascinamento, mentre cercavo di spiegarlo da un sistema di rif inerziale. ho preso un vecchio quaderno di fisica, e ne avevo pensino risolto uno uguale.
"mathbells":
Consideriamo ora un asse x orizzontale orientato verso sinistra. Supponiamo che la forza F sia orientata verso sinistra (quindi è positiva). Ora, un altro errore, è che la forza di attrito è opposta a F (e non concorde) poiché essa tende a frenare B (la forza di attrito è applicata a B dal corpo A che gli scivola sopra nel verso opposto al suo moto). Dunque l'equazione per B è:
\(\displaystyle F-F_{attrito}=m_{B}a_{B} \)
E' questo che faccio fatica a capire. Di per se il corpo A dovrebbe muoversi verso destra se non vi fosse attrato fra B e A. Perché scrivi quell'equazione del moto se la forza F e quella d'attrito sono nello stesso verso?
Il fatto che A si muova verso la parete sinistra del carrello B è dovuto al fatto che la forza F sviluppa un'accelerazione che in modulo è più grande della massima raggiungibile per la sola forza d'attrito che A esercita con B, giusto?
Se supponessimo che F sia tanto piccola tale che A mantenga, relativamente al carrello B, la sua posizione per tutto il moto, anche in quel caso varrebbe
\(\displaystyle F-F_{attrito}=m_{B}a_{B} \)
?
Post scriptum: evidentemente non è vero che la forza F e la forza d'attrito sono nello stesso verso, ma perché?
allora non fare lo stesso errore che facevo io....il corpo A, se non c'è attrito tra B e A, proprio non si muove, perchè nessuna forza agisce su di lui in senso orizzontale, e quindi mantiene il suo stato di quiete. il caso di attrito, vista da un sistema di riferimento inerziale, il copro A si muove verso sinistra, concorde con la forza F, solo con accelerazione minore, al massimo uguale, di quella del corpo B.
vista da un sistema di riferimento solidale al corpo B si ha invece che B è fermo rispetto a A, ma che A si muove verso la parete destra. questo effetto di moto viene attribuito a una forza apparente che c'è in quanto siamo su un sistema di riferimento NON inerziale, e si usa questa per spiegare comunque l'effetto del movimento di A, anche se non c'è nessuna dei 5 tipi di forze che glielo procura (i 5 tipi sono magnetica gravitazionale ecc..)
ora la sto facendo lunga
comunque. ragioniamo nel sistema di riferimento della slitta
noi vediamo il corpo A che si muove verso destra. la forza di attrito applicata sul copro A è quindi diretta verso sinistra.Per il terzo principio di Newton la sua reazione, che sarà applicata sulla slitta, ha quindi come direzione quella destra, opposta la forza F
vista da un sistema di riferimento solidale al corpo B si ha invece che B è fermo rispetto a A, ma che A si muove verso la parete destra. questo effetto di moto viene attribuito a una forza apparente che c'è in quanto siamo su un sistema di riferimento NON inerziale, e si usa questa per spiegare comunque l'effetto del movimento di A, anche se non c'è nessuna dei 5 tipi di forze che glielo procura (i 5 tipi sono magnetica gravitazionale ecc..)
ora la sto facendo lunga
comunque. ragioniamo nel sistema di riferimento della slitta
noi vediamo il corpo A che si muove verso destra. la forza di attrito applicata sul copro A è quindi diretta verso sinistra.Per il terzo principio di Newton la sua reazione, che sarà applicata sulla slitta, ha quindi come direzione quella destra, opposta la forza F
nel caso in cui la forza sia sufficientemente piccola da non far scivolare A su B, si ha che le due masse possono essere considerate come un unico corpo
"eugeniobene58":
noi vediamo il corpo A che si muove verso destra. la forza di attrito applicata sul copro A è quindi diretta verso sinistra.Per il terzo principio di Newton la sua reazione, che sarà applicata sulla slitta, ha quindi come direzione quella destra, opposta la forza F
Non riesco a convincermi...
Ci ripenso.
"giuscri":
Di per se il corpo A dovrebbe muoversi verso destra se non vi fosse attrato fra B e A
Questo non è vero. Se non ci fosse attrito tra A e B, A rimarrebbe assolutamente fermo rispetto al terreno mentre B gli scivola sotto.
"giuscri":
Perché scrivi quell'equazione del moto se la forza F e quella d'attrito sono nello stesso verso?
Ripeto che l'attrito che A applica a B è opposto ad F. Ti spiego. Quando applichi F al carrello (verso sinistra), B inizia a muoversi a sinistra. Ora, il testo dell'esercizio assume che l'attrito statico non sia sufficiente a mantenere A e B solidali e quindi assume che A e B scivolino uno sull'altro e fornisce come dato il coefficiente di attrito dinamico. Grazie all'attrito (dinamico) tra A e B, B trasmette il moto ad A e lo trascina con sé verso sinistra. Quindi A e B si muovono ENTRAMBI verso sinistra nel riferimento del terreno. Ora, l'accelerazione di A verso sinistra sarà inferiore a quella di B, proprio perché B, scivolando sotto ad A, non trasmette integralmente il proprio moto (se ci pensi, è proprio quello che avviene tra i dischi della frizione di un'automobile). Quindi A rimane indietro (nel riferimento del terreno) rispetto a B. Questo fatto ha come conseguenza che, se ti metti nel riferimento del carrello, vedrai che A si muove verso destra rispetto al fondo del carrello (in pratica vedi che A scivola sopra a B verso destra) e quindi ad un certo punto urterà contro la parete destra del carrello, come dice il testo dell'esercizio. Assodato ciò, è ora chiaro che A, scivolando sopra a B verso destra, gli applica una forza (d'attrito dinamico) verso destra e quindi negativa rispetto al nostro asse x. Poiché F è positiva rispetto all'asse x, F e l'attrito hanno versi opposti.
"giuscri":
Il fatto che A si muova verso la parete sinistra del carrello B...
No. A si avvicina alla parete destra del carrello. Per essere più chiari, mettiamoci nel riferimento del terreno. Il carrello B ed A si muovono entrambi verso sinistra. Tuttavia, poiché B lo fa più velocemente di A, allora la parete destra di B ad un certo punto raggiunge A.
"giuscri":
Se supponessimo che F sia tanto piccola tale che A mantenga, relativamente al carrello B, la sua posizione per tutto il moto, anche in quel caso varrebbe....?
Se F è tanto piccola in modo che A e b rimangono solidali, allora non esiste più attrito dinamico. Hai solo attrito statico tra A e B ma a quel punto puoi evitare di mettere nelle equazioni del moto tale attrito poiché sai già che A e B si muoveranno come un unico corpo di massa \(\displaystyle m_{A}+m_{B} \). A questo punto, il problema ha una sola equazione del moto che è:
\(\displaystyle F= (m_{A}+m_{B})a\)
dove \(\displaystyle a \) è l'unica accelerazione presente nel sistema ed è quella del blocco A + B.
Spero di averti chiarito le idee
"eugeniobene58":
vista da un sistema di riferimento solidale al corpo B si ha invece che B è fermo rispetto a A, ma che A si muove verso la parete destra
Attento! Nel riferimento di B, il corpo B è fermo rispetto a B, non rispetto ad A!
. Se fosse fermo rispetto ad A, anche A lo sarebbe rispetto a B, mentre invece, come giustamente dici, A si muove verso destra rispetto a B."eugeniobene58":
questo effetto di moto viene attribuito a una forza apparente che c'è in quanto siamo su un sistema di riferimento NON inerziale
Per l'esattezza, il moto di A rispetto a B è il risultato dell'effetto combinato della forza reale di attrito dinamico verso sinistra e della forza apparente verso destra. Delle due, è maggiore quella apparente e quindi A si muove verso destra
si ho fatto casino io. B è fermo rispetto a se stesso. quello però volevo dire
"eugeniobene58":
...quello però volevo dire
lo immaginavo
@eugenio
mentre scivevo il post di risposta per giuscri non mi sono accorto che stavi postando anche tu e quindi in parte le mie osservazioni si sono sovrapposte alle tue....comunque mi conforta che abbiamo detto in sostanza le stesse cose
mentre scivevo il post di risposta per giuscri non mi sono accorto che stavi postando anche tu e quindi in parte le mie osservazioni si sono sovrapposte alle tue....comunque mi conforta che abbiamo detto in sostanza le stesse cose
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