Un esercizietto di Meccanica classica (corpo rigido)
Vi chiedo di dargli una scorsa veloce:
ho una sbarra di massa \(M \) su un piano orizzontale che può ruotare attorno al suo centro di massa; gli arriva addosso un proiettile di massa \(m \) (di cui conosco la velocità) contro l'estremo destro. L'asta così comincia a ruotare in senso antiorario mentre il proiettile rimbalzando torna indietro, con una diversa quantità di moto (l'urto non è elastico). Mi viene chiesto di trovare la velocità angolare dell'asta e l'impulso della reazione dell'asse della sbarra.
A causa della reazione impulsiva dell'asse passante per il centro di massa dell'asta, la quantità di moto non si conserva. Difatto vale \[\Delta \vec{p} = \vec{J} \neq 0 \]
Se prendo come il centro di massa dell'asta come polo fisso posso sfruttare la conservazione del momento angolare per mettere in relazione il momento angolare dell'asta in uno qualsiasi degli istanti successivi all'urto -durante i quali la sbarra ruota su se stessa per un tempo indeterminato- e quello immediatamente prima dell'urto -quando il proiettile sta per toccare l'asta. Quindi: \[\vec{L}_i = \frac{l}2 (m\vec{v}) = I\vec{\omega} - \frac{l}2 m v_f = \frac{1}2 M l^2 \vec{\omega} - \frac{l}2 m v_f = \vec{L}_f \] \[\Rightarrow |\vec{\omega}| = 6 \frac{m}M \frac{v_f + v_i}l \]
Per trovare l'impulso dell'asse della sbarra mi basterà riprendere la considerazione fatta sopra: l'impulso è dato dalla variazione di quantità di moto, che in questo caso non è nulla. Dato che il vettore velocità \(v\) del proiettile ha una sola componente, e dato che siamo sicuri che il proiettile torni indietro, posso scrivere \[p_f - p_i = (-m v_f) - (m v_i) = J = - m (v_f + v_i) \]
E' corretto secondo voi? C'è poi una seconda parte del problema in cui mi viene chiesto come cambierebbe la velocità angolare dell'asta e l'impulso dell'asse se l'urto fosse stato elastico.
Mi viene da dire che \[\omega' = 6 \frac{m}M \frac{v_f + v_i}l = 6 \frac{m}M \frac{2v}l \] \[J' = -m (v_f + v_i) = -mv \]
ho una sbarra di massa \(M \) su un piano orizzontale che può ruotare attorno al suo centro di massa; gli arriva addosso un proiettile di massa \(m \) (di cui conosco la velocità) contro l'estremo destro. L'asta così comincia a ruotare in senso antiorario mentre il proiettile rimbalzando torna indietro, con una diversa quantità di moto (l'urto non è elastico). Mi viene chiesto di trovare la velocità angolare dell'asta e l'impulso della reazione dell'asse della sbarra.
A causa della reazione impulsiva dell'asse passante per il centro di massa dell'asta, la quantità di moto non si conserva. Difatto vale \[\Delta \vec{p} = \vec{J} \neq 0 \]
Se prendo come il centro di massa dell'asta come polo fisso posso sfruttare la conservazione del momento angolare per mettere in relazione il momento angolare dell'asta in uno qualsiasi degli istanti successivi all'urto -durante i quali la sbarra ruota su se stessa per un tempo indeterminato- e quello immediatamente prima dell'urto -quando il proiettile sta per toccare l'asta. Quindi: \[\vec{L}_i = \frac{l}2 (m\vec{v}) = I\vec{\omega} - \frac{l}2 m v_f = \frac{1}2 M l^2 \vec{\omega} - \frac{l}2 m v_f = \vec{L}_f \] \[\Rightarrow |\vec{\omega}| = 6 \frac{m}M \frac{v_f + v_i}l \]
Per trovare l'impulso dell'asse della sbarra mi basterà riprendere la considerazione fatta sopra: l'impulso è dato dalla variazione di quantità di moto, che in questo caso non è nulla. Dato che il vettore velocità \(v\) del proiettile ha una sola componente, e dato che siamo sicuri che il proiettile torni indietro, posso scrivere \[p_f - p_i = (-m v_f) - (m v_i) = J = - m (v_f + v_i) \]
E' corretto secondo voi? C'è poi una seconda parte del problema in cui mi viene chiesto come cambierebbe la velocità angolare dell'asta e l'impulso dell'asse se l'urto fosse stato elastico.
Mi viene da dire che \[\omega' = 6 \frac{m}M \frac{v_f + v_i}l = 6 \frac{m}M \frac{2v}l \] \[J' = -m (v_f + v_i) = -mv \]
Risposte
$J' = -2mv$
"eugeniobene58":
$J' = -2mv$
Ops. Sì, ho scritto male. Credi sia giusto il resto, comunque?
Attenzione ... M'è appena capitato di svolgere un esercizio praticamente identico e, libro alla mano, pare che abbia fatto un grosso errore: il fatto che l'urto sia elastico non implica che la velocità con cui ritorna il punto materiale sia la stessa con cui arriva addosso all'asta. La quantità di moto non si conserva: l'asta è vincolata, e le forze impulsive che agiscono sull'asta fanno si che \(\Delta{\vec{p}} \neq 0\). Le quantità che si conservano sono invece il momento angolare (rispetto al centro di massa dell'asta il momento dell'impulso delle reazioni dell'asta è nullo) e l'energia meccanica (in questo caso, su un piano orizzonale, \(E_m = E_k\)). Dunque vale \[\begin{cases} m v \frac{l}2 = I_{asta} \omega' - m v \frac{l}2 \\ \frac{1}2 m v^2 = \frac{1}2 m v'^2 + \frac{1}2 I_{asta} \omega'^2 \end{cases}\] \[\Rightarrow \omega' = \dots\] \[\Rightarrow v' = \dots \] ricordando che, quindi, \(v \neq v'\)
That's good
EDIT: lo scopo di questo intervento era di sottolineare che a prescindere dal fatto che l'urto sia definito come elastico o non, la quantità di moto non può conservarsi perchè non vi è assenza di forze impulsive! ...fatto che tra l'altro nel resto dell'esercizio sfruttavo per quantificare l'impulso delle reazioni
That's good
EDIT: lo scopo di questo intervento era di sottolineare che a prescindere dal fatto che l'urto sia definito come elastico o non, la quantità di moto non può conservarsi perchè non vi è assenza di forze impulsive! ...fatto che tra l'altro nel resto dell'esercizio sfruttavo per quantificare l'impulso delle reazioni
Abbiamo fatto diversi esercizi in cui si ha un urto elastico tra una massa e un altro corpo (disco o barretta) vincolato a ruotare attorno a un asse verticale: la quantità di moto non si conserva, appunto perchè c'è l'asse che assorbe la forza impulsiva, reagendo ad essa. Si conserva invece il momento angolare, giusto, a certe condizioni (es. assenza di momento di attrito).
"navigatore":
Abbiamo fatto diversi esercizi in cui si ha un urto elastico tra una massa e un altro corpo (disco o barretta) vincolato a ruotare attorno a un asse verticale: la quantità di moto non si conserva, appunto perchè c'è l'asse che assorbe la forza impulsiva, reagendo ad essa. Si conserva invece il momento angolare, giusto, a certe condizioni (es. assenza di momento di attrito).
Abbiamo?...
Se preferisci: avete!. Oppure : hanno! . Ovvero: qualcuno ha! . O anche: ogni tanto è stato postato...
sono un chiorbone...manco me ne ero accorto. e ovviamente anche io per preparare fisica mi ero sprecato a fare esercizi simili, e non mi accorgo dell'errore...mpf sono un duro...
chiedo scusa a tutti.
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