Un disco con molla, urto con una particella

[bug54]

Salve,
chiedo un aiuto per la risoluzione dei due punti posti dal seguente problema....


l'accelerazione comune dei due punti materiali potrebbe essere calcolata da M = I$\alpha$
dovde M è il momento risultante ed I il momento di inerzia del disco, mentre $\alpha$ = A / R
M = F1 R + F2 R F1= (mA+mB)g ??? F2 = k z ???

[professorkappa]

Rispetto al centro del disco, si conserva il momento angolare prima e dopo l'impatto.
Da questo punto, calcoli la velocita' dopo l'impatto.
Da quel momento in poi si conserva l'energia meccanica.

A grandi linee. Prova a impostare ora la soluzione..

[bug54]

Mi sembra che questa soluzione sia corretta...chiedo conferema...

[bug54]

per il punto b) la mia soluzione non sembra corretta, dove sarà l'errore?

[professorkappa]

Non ho controllato il resto, ma il corpo A + B dopo l'impatto non parte con velocita' nulla, ma con velocita'

$\dot\y(0)={2M_Bv_0)/{2(M_A+M_B)+M}$

[Falco5x]

Ho verificato la distanza massima (quesito b) e corrisponde alla soluzione del testo.
Poi mi sono divertito a calcolare la pulsazione dell'oscillazione e lo sfasamento, che servono a trovare il tempo.
Ho trovato.

$$\eqalign{
& \sin \varphi = \frac{1}
{{\sqrt {1 + \frac{{2k{v_0}^2}}
{{\left[ {M + 2\left( {{m_A} + {m_B}} \right)} \right]{g^2}}}} }} \cr
& \Omega = \sqrt {\frac{{2k}}
{{M + 2\left( {{m_A} + {m_B}} \right)}}} \cr
& T = \frac{{\frac{\pi }
{2} + \varphi }}
{\Omega } = \frac{{\frac{\pi }
{2} + \arcsin \left( {\frac{1}
{{\sqrt {1 + \frac{{2k{v_0}^2}}
{{\left[ {M + 2\left( {{m_A} + {m_B}} \right)} \right]{g^2}}}} }}} \right)}}
{{\sqrt {\frac{{2k}}
{{M + 2\left( {{m_A} + {m_B}} \right)}}} }} \cr} $$

Sì, ok, c'è un segno + anziché - nella formula del tempo, avrò sbagliato qualcosa e non ho voglia di rivedere i conti (oppure ha sbagliato il testo), ma in sostanza ho verificato che si può calcolare tutto.

[bug54]

A si poi mi sono accorto anch'io che ho sbagliato a porre la velocità iniziale nulla, ma non capisco la formula di proferrorkappa
non dovrebbe essere dalla conservazione della q.d.m $m_bv_0=(m_b+m_c)v$?
Poi ringrazio tanto Falco5x per avermi sbrogliato anche l'altro quesito e ti chiedo , se non è trppo scocciante, (magari in privato)
di chiarire i vari passaggi per il calcolo della distanza massima.
Grazie

[Falco5x]

Per spiegare il punto b occorre prima fare quello che ha fatto professorkappa, cioè partendo dalla conservazione del momento angolare:

$$\eqalign{
& {v_0}{m_B}R = \left( {{m_A} + {m_B}} \right){v_1}R + \frac{1}
{2}M{R^2}\frac{{{v_1}}}
{R} = \left( {{m_A} + {m_B} + \frac{1}
{2}M} \right)R{v_1} \cr
& {v_1} = \frac{{2{m_B}}}
{{M + 2\left( {{m_A} + {m_B}} \right)}}{v_0} \cr} $$

Poi si scrive l'energia totale iniziale che deve essere costante, e quindi uguale a quella finale:

$$\eqalign{
& {E_i} = {E_{ki}} + {E_{Pi}} = \frac{1}
{2}\frac{1}
{2}M{R^2}{\omega ^2} + \frac{1}
{2}\left( {{m_A} + {m_B}} \right){v_1}^2 + 0 + \frac{1}
{2}k{\left( {{l_i} - {l_0}} \right)^2} \cr
& k\left( {{l_i} - {l_0}} \right) = {m_A}g \cr
& \omega = \frac{{{v_1}}}
{R} \cr
& {E_f} = {E_{kf}} + {E_{Pf}} = 0 - \left( {{m_A} + {m_B}} \right)g\delta + \frac{1}
{2}k{\left( {{l_i} - {l_0} + \delta } \right)^2} \cr
& {E_i} = {E_f} \cr
& \frac{1}
{2}\left( {{m_A} + {m_B} + \frac{M}
{2}} \right){v_1}^2 + \frac{1}
{{2k}}{m_A}^2{g^2} = - \left( {{m_A} + {m_B}} \right)g\delta + \frac{1}
{2}k{\left( {{l_i} - {l_0} + \delta } \right)^2} = \cr
& = - \left( {{m_A} + {m_B}} \right)g\delta + \frac{1}
{{2k}}{m_A}^2{g^2} + \frac{1}
{2}k{\delta ^2} + {m_A}g\delta \cr
& k{\delta ^2} - 2{m_B}g\delta - \left( {{m_A} + {m_B} + \frac{M}
{2}} \right){v_1}^2 = 0 \cr
& k{\delta ^2} - 2{m_B}g\delta - \frac{{2{m_B}^2}}
{{M + 2\left( {{m_A} + {m_B}} \right)}}{v_0}^2 = 0 \cr} $$

Da cui si ricava delta con la formula risulutiva delle equazioni di secondo grado:

$$\eqalign{
& \delta = \frac{{{m_B}g + \sqrt {{m_B}^2{g^2} + k\frac{{2{m_B}^2}}
{{M + 2\left( {{m_A} + {m_B}} \right)}}{v_0}^2} }}
{k} = \frac{{{m_B}g}}
{k} + \sqrt {\frac{{{m_B}^2{g^2}}}
{{{k^2}}} + \frac{{2{m_B}^2}}
{{k\left( {M + 2\left( {{m_A} + {m_B}} \right)} \right)}}{v_0}^2} = \cr
& \delta = \frac{{{m_B}g}}
{k}\left( {1 + \sqrt {1 + \frac{{2k{v_0}^2}}
{{\left[ {M + 2\left( {{m_A} + {m_B}} \right)} \right]{g^2}}}} } \right) \cr} $$

[bug54]

ti ringrazio moltissimooo...

[bug54]

Mi rendo conto che ti sto disturbando troppo ma propio non capisco da dove esce l'espressione di sin$\phi$
e perchè il tempo per raggiungere l'elongazione massima è dato dall'espressione da te scritta,
non dovrebbe essere la metà del periodo? e perciò $pi$ / $\omega$?

Se chiamiamo y l'asse rivolto verso il basso e poniamo l'origine nella posizione iniziale, il moto è armonico con coordinata iniziale nulla e velocità iniziale che ci siamo calcolata. Quindi dopo il tempo T/2 raggiunge l'elongazione massima.

[Falco5x]

Tu non stai considerando un fattore. Il punto iniziale con ordinata zero non coincide col punto di equilibrio, perché alla massa ma si è aggiunta la mb. Il punto di massima velocità, e quindi di accelerazione nulla, sta più in basso, dunque l'angolo per raggiungere la massima elongazione è maggiore di pigreco mezzi.

[bug54]

penso di esserci manc aun ultimo dettaglio
il tempo in cui le due masse attaccate inpiegano per arrivare al punto di massima elongazione è dato dal tempo occorrente per arrivare al loro "punto di quiete" più metà periodo del moto armonico.
Se questo è giusto si dovrebbe avere t = t* + T/2 = $\phi/\omega$ + $\pi/\omega$ = $(\phi+\pi)/\omega$

[Falco5x]

Non T/2 ma T/4, dal punto di equilibrio al punto di massima elongazione c'è un quarto di periodo.

[bug54]

Ok
finalmente è tutto chiaro
di nuovo tante grazie

[bug54]

Per chi fosse interessato posto la soluzione sistematizzata "in bella"