Un commutatore difficilotto...
Buonasera 
In un esercizio di una prova d'esame mi viene chiesto di calcolare il commutatore tra l'operatore posizione e l'Hamiltoniana della particella in tre dimensioni:
\[ H=\frac{1}{2m} [\vec{\sigma} \cdot (\vec{p}-\vec{A}(\vec{x}))]^2 \]
Dove $\sigma$ sono le matrici di Pauli, e $\vec{A}$ è un vettore di funzioni dell'operatore posizione.
Qualcosa riguardo allo svolgimento mi sfugge, nella soluzione trovo:
\[ [x_i, H]=[x_i,\frac{1}{2m}\sigma_k(p_k- A_k) \sigma_j(p_j- A_j)] \]
Probabilmente facendo tutti i conti, cioè svolgendo il prodotto scalare e elevando al quadrato dovrebbe uscirmi lo stesso risultato ma mi chiedevo se esistesse un modo più "veloce" per arrivare a quel risultato..
Grazie mille a tuttuu (:
In un esercizio di una prova d'esame mi viene chiesto di calcolare il commutatore tra l'operatore posizione e l'Hamiltoniana della particella in tre dimensioni:
\[ H=\frac{1}{2m} [\vec{\sigma} \cdot (\vec{p}-\vec{A}(\vec{x}))]^2 \]
Dove $\sigma$ sono le matrici di Pauli, e $\vec{A}$ è un vettore di funzioni dell'operatore posizione.
Qualcosa riguardo allo svolgimento mi sfugge, nella soluzione trovo:
\[ [x_i, H]=[x_i,\frac{1}{2m}\sigma_k(p_k- A_k) \sigma_j(p_j- A_j)] \]
Probabilmente facendo tutti i conti, cioè svolgendo il prodotto scalare e elevando al quadrato dovrebbe uscirmi lo stesso risultato ma mi chiedevo se esistesse un modo più "veloce" per arrivare a quel risultato..
Grazie mille a tuttuu (:
Risposte
Okay, penso di aver capito, ma rimangono un paio di dubbi
Esprimo: $\sigma \cdot[(p-A(x))]^2=\sigma\cdot(p-A(x))\cdot\sigma\cdot(p-A(x))$
Così ottengo il commutatore che ho scritto alla fine.
Occupandoci solo di $\sigma_k(p_k-A_k)[x_i,\sigma_j(p_j-A_j]$ ho:
\[ \sigma_k(p_k-A_k)\sigma_j[x_i, p_j-A_j]+\sigma_k(p_k-A_k)[x_i,\sigma_j](p_j-A_j)=i\hbar \sigma_k(p_k-A_k)\sigma_j \]
Gli indici ripetuti sono sommati e sicuramente $[x_i,A_j]=0$ per ogni $j$ essendo $A$ funzione di $x$, inolte $[x_i,p_j]=i \h
\delta_{ij}$, cioè "sopravvive" alla somma soltanto il termine in $i$. Il mio dubbio è su due cose: $[x_i, \sigma_j]=0$? Perchè?
Seconda domanda, è corretto mettere $\sigma_j$ dopo $\sigma_k(p_k-A_k)$?
Esprimo: $\sigma \cdot[(p-A(x))]^2=\sigma\cdot(p-A(x))\cdot\sigma\cdot(p-A(x))$
Così ottengo il commutatore che ho scritto alla fine.
Occupandoci solo di $\sigma_k(p_k-A_k)[x_i,\sigma_j(p_j-A_j]$ ho:
\[ \sigma_k(p_k-A_k)\sigma_j[x_i, p_j-A_j]+\sigma_k(p_k-A_k)[x_i,\sigma_j](p_j-A_j)=i\hbar \sigma_k(p_k-A_k)\sigma_j \]
Gli indici ripetuti sono sommati e sicuramente $[x_i,A_j]=0$ per ogni $j$ essendo $A$ funzione di $x$, inolte $[x_i,p_j]=i \h
\delta_{ij}$, cioè "sopravvive" alla somma soltanto il termine in $i$. Il mio dubbio è su due cose: $[x_i, \sigma_j]=0$? Perchè?
Seconda domanda, è corretto mettere $\sigma_j$ dopo $\sigma_k(p_k-A_k)$?
Il mio dubbio è su due cose: [xi,σj]=0? Perchè
Perché le matrici di Pauli agiscono sui soli gradi di libertà di spin.
è corretto mettere σj dopo σk(pk−Ak)
Sì per quanto detto sopra.
Ciao grazie della risposta, siccome le matrici di pauli agiscono sui gradi di libertà di spin allora posso scrivere:
\[ \sigma_k(p_k-A_k)\sigma_j=\sigma_k \sigma_j(p_k-A_k) \]
in modo che il commutatore finale è:
\[ [x_i,H]=\frac{1}{2m}(\sigma_k\sigma_j + \sigma_j\sigma_k)(p_k-A_k) \]
\[ \sigma_k(p_k-A_k)\sigma_j=\sigma_k \sigma_j(p_k-A_k) \]
in modo che il commutatore finale è:
\[ [x_i,H]=\frac{1}{2m}(\sigma_k\sigma_j + \sigma_j\sigma_k)(p_k-A_k) \]
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