Tunnel rettilineo sotterraneo e forza di gravità
Salve a tutti, volevo propinarvi un problema che ho trovato sul mio libro e su cui sto sbattendo la testa da un po': "un ipotetico tunnel sotterraneo, che congiungesse due città, poste a quote molto simili sul livello del mare e distanti d, potrebbe consentire rapidi viaggi con un opportuno treno che sfruttasse la sola forza di gravità.
Scrivere la dipendenza del modulo della velocità dalla posizione x lungo il tunnel, trascurando gli effetti della rotazione terrestre (e attriti vari) e sapendo che la Terra, considerata come una sfera omogenea di centro C e raggio Rt, esercita su un punto materiale m posto al suo interno una forza $vec(F) = -mgvec(r)/(Rt)$ dove $vec(r))$ individua la posizione di m rispetto a C.
La mia idea di base era quella di applicare il teorema di Newton $F = ma$ dove l'accelerazione è derivata della velocità nel tempo, e la forza è quella gravitazionale, unica responsabile del moto. La massa si può elidere, a questo punto. Giacché a me serve l'andamento in funzione dello spostamento, avevo pensato di parametrizzare, moltiplicando e dividendo per $dx$, così da ottenere $int_(0)^(v) (v*dv) dx$ e poi $int_(0)^(d) (gx/(rt)) dx$. Il risultato dell'esercizio è però $sqrt([gx(d-x)]/(Rt)]$. Non so se l'errore sia dovuto ad una scelta sbagliata dell'integrale oppure ad un errore radicale proprio nell'impostazione del problema, qualcuno potrebbe dirmi la sua opinione? Grazie a tutti in anticipo!
PS il problema si trova nel capitolo "Energia e Lavoro" quindi penso che per risolverlo basti procedere appunto in quella direzione, e vi chiederei umilmente di attenervi a questa sorta di vincolo (per non sfociare più che altro in formule strane che, nella mia ignoranza, non arriverei mai e poi mai a comprendere). Ringrazio di nuovo tutti per la pazienza.
Scrivere la dipendenza del modulo della velocità dalla posizione x lungo il tunnel, trascurando gli effetti della rotazione terrestre (e attriti vari) e sapendo che la Terra, considerata come una sfera omogenea di centro C e raggio Rt, esercita su un punto materiale m posto al suo interno una forza $vec(F) = -mgvec(r)/(Rt)$ dove $vec(r))$ individua la posizione di m rispetto a C.
La mia idea di base era quella di applicare il teorema di Newton $F = ma$ dove l'accelerazione è derivata della velocità nel tempo, e la forza è quella gravitazionale, unica responsabile del moto. La massa si può elidere, a questo punto. Giacché a me serve l'andamento in funzione dello spostamento, avevo pensato di parametrizzare, moltiplicando e dividendo per $dx$, così da ottenere $int_(0)^(v) (v*dv) dx$ e poi $int_(0)^(d) (gx/(rt)) dx$. Il risultato dell'esercizio è però $sqrt([gx(d-x)]/(Rt)]$. Non so se l'errore sia dovuto ad una scelta sbagliata dell'integrale oppure ad un errore radicale proprio nell'impostazione del problema, qualcuno potrebbe dirmi la sua opinione? Grazie a tutti in anticipo!
PS il problema si trova nel capitolo "Energia e Lavoro" quindi penso che per risolverlo basti procedere appunto in quella direzione, e vi chiederei umilmente di attenervi a questa sorta di vincolo (per non sfociare più che altro in formule strane che, nella mia ignoranza, non arriverei mai e poi mai a comprendere). Ringrazio di nuovo tutti per la pazienza.
Risposte
AGGIORNAMENTO: riflettendoci mentre cenavo sono arrivato a pensare questa cosa: innanzitutto l'integrale della velocità lo moltiplico per 1/2 (la variazione vera si ha fino alla metà del tragitto, visto che dopo la velocità riprende a variare nello stesso modo della prima metà, il che non aggiunge informazioni alla variazione... sarebbe ridondante non mettere 1/2, no?), e poi vedo la coordinata vec(r) come $(d-x)$ perché la posizione r varia durante il tragitto (dove x, spostamento, = 0 e la coordinata è proprio d). Così facendo avrei $1/2int_()^() v*dv = g(d-x)/(Rt)*int dx$ che mi porterebbe al risultato voluto... che dite, è accettabile come ragionamento o è un tentativo del mio subconscio di modificare le leggi dell'analisi e della fisica pur di arrivare a 'sta benedetta soluzione?
Prova a trattare laforza gravitazionale sotto la superficie come una forza elastica $F=-kr$ dove $r$ è la distanza dal centro. E' un modello perfettamente lecito, basta identificare opportunamente la costante elastica $k$.
L'unica cosa che mi viene in mente è porre $k = g/(Rt)$, però a questo punto mi rimane il dubbio su come arrivare al numeratore ad ottenere quel $x(d-x)$... Ho pensato che, espresso $vec(r)$ come $(d-x)$, si ottenga $k*dint dx - k*int xdx$, può essere la strada giusta?
Accettato il fatto che il moto può essere trattato come armonico (e se si guarda l'equazione del moto scritta rispetto alla variabile $r$=distanza con segno dal centro della Terra: $m (d^2r)/(dt^2)=-(mg)/R_Tr$ non si può fare a meno di accettarlo),
ponendo, rispetto alla notazione standard per il moto armonico: $U=1/2kr^2$ (energia potenziale), dalla conservazione dell'energia (supponendo la partenza della massa da ferma in superficie) hai:
- energia iniziale: $E=1/2 k R_T^2$ ;
- energia in un punto generico: $E=1/2mv^2+1/2kr^2$ ;
uguagliandole e ponendo:
$k=(mg)/R_T$ ,
$r=R_T-x$ (dove $x$ è la profondità rispetto al punto di partenza),
ricavi il risultato indicato (se si intende: $d=2R_T$).
Allo stesso risultato arrivi se risolvi l'equazione differenziale di cui sopra, ricavi $v(t)=(dr)/(dt)$ e la esprimi in funzione di $r(t)$.
ponendo, rispetto alla notazione standard per il moto armonico: $U=1/2kr^2$ (energia potenziale), dalla conservazione dell'energia (supponendo la partenza della massa da ferma in superficie) hai:
- energia iniziale: $E=1/2 k R_T^2$ ;
- energia in un punto generico: $E=1/2mv^2+1/2kr^2$ ;
uguagliandole e ponendo:
$k=(mg)/R_T$ ,
$r=R_T-x$ (dove $x$ è la profondità rispetto al punto di partenza),
ricavi il risultato indicato (se si intende: $d=2R_T$).
Allo stesso risultato arrivi se risolvi l'equazione differenziale di cui sopra, ricavi $v(t)=(dr)/(dt)$ e la esprimi in funzione di $r(t)$.
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