Trovare velocità angolare del disco e sua Energia cinetica
Intorno ad un disco d'acciaio ( densità d) di raggio R e altezza h, inizialmente fermo, è avvolto un filo, che viene tirato a strappo. La velocità del centro di massa assume il valore V. Trovare la velocità angolare del disco e la sua energia cinetica. Trascurare gli attriti.
Io ho svolto nel seguente modo ( starà a voi confermarmi o meno la correttezza dello svolgimento
):
tra la velocità angolare e la velocità lineare del centro di massa sussiste la seguente relazione:
$V_(cm)=omega*R -> omega=V_(cm)/R$
L'energia cinetica totale è data da :
$E_c=E_t+E_r$ dove con $E_t$ si è voluta indicare l'energia di traslazione mentre con $E_r$ quella di rotazione.
Allora: $E_c=1/2MV_(cm)^2+1/2Iomega$
con M calcolato dalla $M=d/v$ con v = volume
e $I=MR^2$.
Spero sia corretto... ma non ho certezza.
vi ringrazio per l'attenzione, alex
Io ho svolto nel seguente modo ( starà a voi confermarmi o meno la correttezza dello svolgimento
):tra la velocità angolare e la velocità lineare del centro di massa sussiste la seguente relazione:
$V_(cm)=omega*R -> omega=V_(cm)/R$
L'energia cinetica totale è data da :
$E_c=E_t+E_r$ dove con $E_t$ si è voluta indicare l'energia di traslazione mentre con $E_r$ quella di rotazione.
Allora: $E_c=1/2MV_(cm)^2+1/2Iomega$
con M calcolato dalla $M=d/v$ con v = volume
e $I=MR^2$.
Spero sia corretto... ma non ho certezza.
vi ringrazio per l'attenzione, alex
Risposte
No.
Tu hai assunto che il cilindro inizia a rotolare sul piano il che non è perché non ci sono attriti....
Devi applicare la conservazione del momento della quantità di moto.
Se consideri come polo di riduzione del momento il punto periferico del cilindro da cui esce il filo, hai che lì il momento delle forze esterne è sempre zero, dato che quel punto ha distanza zero dal polo di riduzione dei momenti. Quindi il momento di quantità di moto del cilindro rispetto a quel polo non cambia tra l'inizio (cilindro fermo) e la fine (cilindro traslante e rotante attorno al proprio asse).... Dall'uguaglianza ricavi la velocità angolare. Ok?
Tu hai assunto che il cilindro inizia a rotolare sul piano il che non è perché non ci sono attriti....
Devi applicare la conservazione del momento della quantità di moto.
Se consideri come polo di riduzione del momento il punto periferico del cilindro da cui esce il filo, hai che lì il momento delle forze esterne è sempre zero, dato che quel punto ha distanza zero dal polo di riduzione dei momenti. Quindi il momento di quantità di moto del cilindro rispetto a quel polo non cambia tra l'inizio (cilindro fermo) e la fine (cilindro traslante e rotante attorno al proprio asse).... Dall'uguaglianza ricavi la velocità angolare. Ok?
"Faussone":
Ok?
...non proprio....
Dovrei fare un disegno ma non ho il tempo.
Hai comunque che la forza applicata col filo non dà momento rispetto a quel polo di riduzione, quindi devi solo dire che il momento della quantità di moto finale rispetto a quel polo è uguale a zero.
Tale momento sarà uguale a
$I \omega + m V_(cm) R$ (è il momento rispetto al centro di massa più il momento del cilindro rispetto al polo di riduzione desiderato, assumendo tutta la massa del cilindro concentrata nel suo centro di massa).
Quindi devi risolvere $I \omega + m V_(cm) R = 0$
Hai comunque che la forza applicata col filo non dà momento rispetto a quel polo di riduzione, quindi devi solo dire che il momento della quantità di moto finale rispetto a quel polo è uguale a zero.
Tale momento sarà uguale a
$I \omega + m V_(cm) R$ (è il momento rispetto al centro di massa più il momento del cilindro rispetto al polo di riduzione desiderato, assumendo tutta la massa del cilindro concentrata nel suo centro di massa).
Quindi devi risolvere $I \omega + m V_(cm) R = 0$
chiarissimo. Stavo modificando il messaggio precedente scrivendo la relazione da te scritta ora, soltanto che comunque avrei dimenticato R. Si, tutto ok ora. Tranquill per il disegno. Già fatto. Nell'energia cinetica, dal momento che non vi è moto di traslazione sul piano orizzontale, lo devo omettere?
Occhio. In questi casi il sistema di riferimento è impostante.
A me risulta
$\omega = 2V/R $
e quindi che il punto che sta fermo all'inzio è quello diametralmente opposto al punto dove esercito lo strattone.
ciao
A me risulta
$\omega = 2V/R $
e quindi che il punto che sta fermo all'inzio è quello diametralmente opposto al punto dove esercito lo strattone.
ciao
"mircoFN":come sei arrivato a questa relazione?
A me risulta
$\omega = 2V/R $
Legge dell'impulso e legge dell'impulso angolare.
L'impulso della forza è pari alla variazione della quantità di moto (massa per variazione di velocità del baricentro). Tale impulso produce un impulso di momento (calcolato rispetto al CM del disco) che produce una variazione del momento angolare...
ciao
L'impulso della forza è pari alla variazione della quantità di moto (massa per variazione di velocità del baricentro). Tale impulso produce un impulso di momento (calcolato rispetto al CM del disco) che produce una variazione del momento angolare...
ciao
"mircoFN":
Legge dell'impulso e legge dell'impulso angolare.
L'impulso della forza è pari alla variazione della quantità di moto (massa per variazione di velocità del baricentro). Tale impulso produce un impulso di momento (calcolato rispetto al CM del disco) che produce una variazione del momento angolare...
ciao
ok....mi ritiro da eremita. Grazie infinite.
"mircoFN":
A me risulta
$\omega = 2V/R $
Infatti. non ho capito se ho detto qualcosa di inesatto (se così non mi sono reso conto ancora)...
Dalla relazione che avevo scritto
$I \omega + m V_(cm) R =0$ si arriva esattamente al risultato che riporti tu...
"Faussone":
.....
$I \omega + m V_(cm) R$ (è il momento rispetto al centro di massa più il momento del cilindro rispetto al polo di riduzione desiderato, assumendo tutta la massa del cilindro concentrata nel suo centro di massa).
Quindi devi risolvere $I \omega + m V_(cm) R = 0$
Applico il tuo procedimento. Se ho ben inteso, il momento d'inerzia rispetto al polo di riduzione è:
$I = (1/2)mR^2 + mR^2=(3/2)*m*R^2$
da cui:
$(3/2)*m*R^2*\omega +m*V*R=0$
e quindi
$\omega= -2/3V/R$
che non mi sembra essere uguale alla mia soluzione
"mircoFN":
Applico il tuo procedimento. Se ho ben inteso, il momento d'inerzia rispetto al polo di riduzione è:
$I = (1/2)mR^2 + mR^2=(3/2)*m*R^2$
..........
Se hai scritto così mi viene il dubbio che non sono stato chiaro nel mio messaggio a bad.alex, quindi vado a riprendere quella risposta.
"Faussone":
Hai comunque che la forza applicata col filo non dà momento rispetto a quel polo di riduzione, quindi devi solo dire che il momento della quantità di moto finale rispetto a quel polo è uguale a zero.
Tale momento sarà uguale a
$I \omega + m V_(cm) R$ (è il momento rispetto al centro di massa più il momento del cilindro rispetto al polo di riduzione desiderato, assumendo tutta la massa del cilindro concentrata nel suo centro di massa).
Quindi devi risolvere $I \omega + m V_(cm) R = 0$
A me sembra chiaro ma forse la parola momento può confondersi con momento d'inerzia, mentre intendevo momento di quantità di moto, anche se da quello detto in precedenza mi pareva evidente.
Dunque $I$ è riferito al centro di massa (essendo $I \omega$ il momento di quantità di moto rispetto al centro di massa e $mV_(cm) R$ quello rispetto al punto di passaggio del filo assumendo tutta la massa concentrata nel centro di massa) e non all'estremo del disco. Quindi $I=1/2 m R^2$ in quella formula, per questo ho detto che quell'espressione dava proprio il risultato (corretto) che riportavi tu.
Forse ho dato troppo per scontato questo fatto. Grazie comunque per la puntualizzazione cercherò di essere più esplicito nei simboli delle formule in futuro.
In ogni caso mi sembra che il destinatario abbia compreso e dopo tutta questa discussione il concetto dovrebbe essere stato chiarito abbastanza (almeno spero!)
Infatti. Quello che volevo dire è che anche tu, nonostante abbia citato come polo del momento il punto dove è esercitata la spinta, di fatto hai usato il sistema di riferimento (e quindi il polo) nel centro di massa (rispetto al quale $I=1/2mR^2$).
Il momento della quantità di moto calcolato rispetto al polo di spinta si esprime usando il momento d'inerzia riferito a tale punto (e quindi: $I=3/2mR^2$), oltre che il contributo del moto del centro di massa.
Non voglio certo polemizzare, mi sembrava solo che la tua indicazione potesse essere fuorviante per un neofita.
ciao
Il momento della quantità di moto calcolato rispetto al polo di spinta si esprime usando il momento d'inerzia riferito a tale punto (e quindi: $I=3/2mR^2$), oltre che il contributo del moto del centro di massa.
Non voglio certo polemizzare, mi sembrava solo che la tua indicazione potesse essere fuorviante per un neofita.
ciao
Neanch'io voglio polemizzare 
Se ritengo di sbagliare riconosco l'errore, ma non mi sembra di averlo fatto.
Ho applicato il primo teorema di Koenig che dice che il momento di quantità di moto di un corpo è uguale al momento di quantità di moto osservato dal centro di massa più il momento di quantità di moto del corpo considerato come un punto materiale con la massa concentrata tutta nel centro di massa.
Il primo contributo quindi è quello di momento di quantità di moto osservato dal centro di massa $I \omega$ con $I=1/2 m R^2$ quindi.
Se ritengo di sbagliare riconosco l'errore, ma non mi sembra di averlo fatto.
Ho applicato il primo teorema di Koenig che dice che il momento di quantità di moto di un corpo è uguale al momento di quantità di moto osservato dal centro di massa più il momento di quantità di moto del corpo considerato come un punto materiale con la massa concentrata tutta nel centro di massa.
Il primo contributo quindi è quello di momento di quantità di moto osservato dal centro di massa $I \omega$ con $I=1/2 m R^2$ quindi.
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