Trovare l'angolo tra due vettori

[carolapatr]

Due vettori A e B, lunghi entrambi 10 cm formano con la direzione est del piano cartesiano su cui giacciono angoli di 30° e 60°. Qual è l'angolo alpha che il vettore risultante dalla somma dei vettori A e B forma con il vettore A?

Vettore A
Componente x
cos(30°) = $(x/10)$ -> x = 8.66 cm

Componente y
sin(30°) = $(y/10)$ -> y = 5 cm

Vettore B
Componente x
cos(60°) = $(x/10)$ -> x = 5 cm

Componente y
sin(60°) = $(y/10)$ -> y = 8.66 cm

Vettore risultante A + B
R= $√[(13.66)^2 + (13.66)^2]$ = 19.3 cm con direzione nord-est e verso rivolto verso l'alto

Il vettore risultante dovrebbe essere più pendente rispetto al vettore A, giusto? Ho inizialmente pensato di trovare l'angolo compreso tra il vettore A e A+B (R) usando le formule per i triangoli qualsiasi ma ora che le guardo mi sembra di non avere dati a sufficienza. Mi dareste una mano? Non riesco a procedere

[ingres]

Il vettore risultante dalla somma si trova facilmente
$x_R = x_1+x_2 = 8.66+5 =13.66 cm$
$y_R = y_1+y_2 = 5 + 8.66 = 13.66 cm$

Nota: il suo modulo non coincide con quanto hai trovato.

L'angolo rispetto alla direzione Est del piano cartesiano vale

$theta = arctg (y_R/x_R) = 45°$

(basta usare il T. dei triangoli rettangoli) e quindi l'angolo cercato vale

$alpha = 45 -30 = 15°$

In alternativa vale la formula per l'angolo tra due vettori

$alpha =arccos ((v_1*v_2)/(abs(v_1)*abs(v_2)))$

dove il prodotto al numeratore è inteso come prodotto scalare. Presi A e R come vettori si avrà:

$alpha = arccos(((8.66,5)*(13.66,13.66))/(10*19.32))=arccos(186.6/193.2)=arccos(0.9658)=15°$

[carolapatr]

Aspetta, modifico quella scemenza che ho scritto. Ho copiato male dal mio foglio.. poi valuto quello che mi hai scritto

[carolapatr]

"ingres":

L'angolo rispetto alla direzione Est del piano cartesiano vale

$theta = arctg (y_R/x_R) = 45°$

(basta usare il T. dei triangoli rettangoli) e quindi l'angolo cercato vale

$alpha = 45 -30 = 15°$

Perfetto! Ci sono!

[RenzoDF]

Scusate ma visto che i vettori sono di uguale lunghezza e sono sfasati di 60-30=30 gradi, l'angolo fra la risultante e uno dei due sarà semplicemente la metà dello sfasamento, ovvero 15°, no?

[carolapatr]

Ah, non lo sapevo/non ci avevo mai fatto caso. Grazie!