Trovare la massa di un corpo

ennegi
Ciao a tutti! Mi stavo esercitando quando ad un tratto mi sono imbattuto in questo simpatico esercizio:

Un corpo puntiforme è posto in quiete su un piano inclinato scabro, formante un angolo $\alpha = 30$ gradi con il piano orizzontale. All'istante $t=0$ viene lasciato scendere lungo il piano inclinato con velocità iniziale nulla da una quota $H = 2,5 m$. Il coefficiente di attrito dinamico è $\mu _{d} = 0,3$ tra il corpo e il piano. Raggiunta la quota $h = 1 m$, incontra l'estremità libera di una molla non deformata di lunghezza $L_{o} = 1,2 m$ e costante elastica $K = 150 \frac{N}{m}$, mentre l'altra estremità è fissata ad un gancio G di una parete solidale con il piano inclinato. Determinare:
...
d) la massa del corpo, sapendo che la deformazione massima della molla è $Delta L = 40 cm$;
...

La mia domanda è: come si fa? :roll:
Avevo pensato subito che bastasse svolgere la II legge di Newton considerando il punto in cui il corpo si trova in una situazione di quiete, però poi i calcoli dimensionali non mi tornano. Poi ho pensato di usare o la formula dell'energia cinetica o dell'energia potenziale, ma purtroppo mi manca sempre un dato. Un aiutino? :smt023 Mi manca solo questa domanda per risolvere tutto il resto del problema quindi è un po' imbarazzante con i conti :oops:

Risposte
gio73
Ciao Ennegi, provo ad aiutarti ma non ti fidare troppo, perchè mi capita di prendere granchi giganteschi, sono qui per imparare, come te.
Detto ciò... e se pensassimo in termini di Energia?
Il nostro corpo che ha una certa massa ha una una certa energia potenziale che libera passando da quota $2,5m$ a quota $1m$
dunque l'energia che mette a disposizione è $E=mgh$ poi però un po' di energia la perde a causa dell'attrito, quella che gli resta la usa per comprimere la molla e trasferisce così l'energia nella compressione della molla $E=1/2ks^2$

Cosa ne dici?

ennegi
:shock: il ragionamento non fa una piega! :D Però aspetta...come sei arrivato alla formula $E = \frac{1}{2} k s^2$ ? Sicuramente sei partito da $E = mgh$, però non riesco proprio a capire come sei passato...Cioè se è una formula fatta così ok non la conoscevo e ti ringrazio di avermela fatta conoscere! :smt023 Porta pazienza ma finchè non capisco completamente cerco di chiedere il più possibile...

ennegi
Scusa...ho trovato la formula che dicevi :bear: per fortuna mi hai aperto gli occhi! Bene bene ora queste prove d'esame passate non mi fregano più :-D Grazie mille veramente! :smt023 :smt023 :smt023

gio73
Di nulla Ennegi, apprezzerei però vedere l'esercizio completamente risolto (conti e tutto)

ennegi
Uh, beh scrivo tutto l'esercizio dato che ci sono :)

L'esercizio chiedeva:
l'accelerazione del corpo prima di andare contro la molla:

semplicemente ho applicato la II legge di Newton $ma = \sum_{i=1}^{3} F_{i} = F_{ad} + N + F_{p} = \mu mg \cos \alpha + mg \cos \alpha + mg \sin \alpha$ che con i segni giusti per il sistema di riferimento preso diventa $ - \mu mg \cos \alpha + mg \cos \alpha - mg \sin \alpha =$ semplificando $m$ e sostituendo con i dati = $ -0,3 \cdot 9,81 \cdot 0,86 + 9,81 \cdot 0,86 - 9,81 \cdot 0,5 = 1 \frac{m}{s^2} $.

poi chiedeva la velocità del corpo (sempre prima di raggiungere la molla), allorché ho svolto un po' di calcoli trigonometrici per calcolare la distanza $Oh$, cioè prima ho trovato l'ipotenusa del piano (perché il piano su cui scivola è un di triangolo rettangolo), poi l'ipotenusa della parte del triangolo su cui si appoggia la molla e ho sottratto entrambe per ottenere $Oh$.
$OP = \frac{H}{\sin \alpha} = \frac{2,5}{0,5} = 5 m$
$hP = \frac{h}{\sin \alpha} = \frac{1}{0,5} = 2 m$
$Oh = 5 - 2 = 3 m$
Usando poi la formula per trovare la velocità finale $ v_{f} = \sqrt{v_{i} ^2 + 2a(x_{1} - x_{0})} $ mi sono calcolato $v$ non conoscendo il tempo $t$. Con i calcoli:
$v_{f} = \sqrt{2 \cdot 1 (3 - 0)} = \sqrt{2 \cdot 3} = 2,44 \frac{m}{s} $


ora arriviamo al punto "clou" in cui si chiedeva la massa del corpo e ho risolto con la formula $W = \frac{1}{2} k s^2$, poi sapendo che $W = - E_{p}$ (energia potenziale) ho esplicitato la formula $E_{p} = m g h$ rispetto a $m$. Con i calcoli:
$W = \frac{1}{2} 150 \cdot 0,4 ^2 = \frac{1}{2} \cdot 150 \cdot 0,16 = 12 J$
$E_{p} = mgh \rightarrow m = \frac{-E_{k}}{gh} = \frac{-12}{-9,81 \cdot 1} = 1,22 kg$


si chiedeva poi l'equazione del moto, quindi ho risolto la II legge di Newton questa volta però con l'aggiunta dell'equazione del moto della molla e considerando la massa (anche perché in questo caso non è più semplificabile)
$ma = -k(z - l_{o}) \underline{i} - \mu _{d} mg \cos \alpha + mg \cos \alpha - mg \sin \alpha$
sostituendo e risolvendo:
$ma = -150 (z - l_{o}) \underline{i} + 0,18$


Infine si chiede di calcolare la legge oraria della molla e, visto che non è un'omogenea perché $(z-l_{o}) + \frac{k}{m} (z-l_{o}) = 0,18$ bisogna calcolare la soluzione generale e particolare.
si parte perciò dalla legge oraria così formata:$ \ z = A \sin (\omega t + \phi) + \frac{0,18}{k} $
Considerando le condizioni iniziali $z(t_{0}) = z_{eq} = l_{o} = 1,2 m $ e $\dot{z}(t_{0}) = 2,44 \frac{m}{s}$ si sostituisce alla legge sopra citata e alla sua derivata:
$1,2 = A \sin(\omega t + \phi) + \frac{0,18}{k}$
$2,44 = A \omega \cos (\phi)$
poiché $A \omega \cos (\phi)$ deve essere positivo per la scelta di $phi$ e $\sin \phi = 0$ sse $\phi = 0; \pi$ allora $phi = 0$
A corrisponde a $A = \frac{2,44}{\omega}$ con $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = 11, 18 $ quindi $A = 0,2 m$
Quindi dalla prima equazione si ottiene la legge oraria del moto:

$z = 1,2 + 0,2 \sin(11,18 \cdot t) + 0,0012 $



ovviamente non so se è giusto, però mi sembra di si :-D

gio73
Ciao Ennegi, non ho controlato tutto il tuo esercizio (ora purtroppo non ho tempo), ma mi sembra che tu non tenga conto dell'attrito.

ennegi
non preoccuparti, se avrai tempo e voglia con calma tanto quello che ho scritto rimane :) Sei sicuro riguardo all'attrito? Perché (forse non l'ho scritto) ma lo includo in tutte le equazioni del moto :|

gio73
Ciao ennegi, i conti non li controllo tutti, ma il passaggio che non mi convince è questo
"EnneGi":

ora arriviamo al punto "clou" in cui si chiedeva la massa del corpo e ho risolto con la formula $W = \frac{1}{2} k s^2$, poi sapendo che $W = - E_{p}$ (energia potenziale) ho esplicitato la formula $E_{p} = m g h$ rispetto a $m$. Con i calcoli:
$W = \frac{1}{2} 150 \cdot 0,4 ^2 = \frac{1}{2} \cdot 150 \cdot 0,16 = 12 J$
$E_{p} = mgh \rightarrow m = \frac{-E_{k}}{gh} = \frac{-12}{-9,81 \cdot 1} = 1,22 kg$


Rientro ora e la stanchezza può giocarmi qualche scherzo, ma dove è finita l'energia dissipata dall'attrito?

ennegi
effettivamente ... :oops: ecco un'altra cosa che non so...come si calcola? Porta pazienza, ma prendere esercizi di altri corsi a volte non è soddisfacente :smt012

gio73
Ciao Ennegi, rifletti ben bene su quello che ti dico e vai a controllare su libri/appunti/dispense
Il lavoro fatto da una forza è uguale al prodotto della forza per lo sposatmento ad essa parallelo, quindi il lavoro della forza d'attrito è uguale alla forza d'attrito per lo spostamento lungo il piano inclinato. Ti sembra sensato?

ennegi
ok fin qui nulla di strano v.v Ma quindi una volta trovata l' energia potenziale della molla come unisco le due informazioni? Devo sottrarre le due energie perché sono opposte e poi esplicito m nella formula dell'energia cinetica?

gio73
Io la vedrei così, ma sei tu a doverci riflettere e a convincerti: l'energia non si crea nè si distrugge ma si trasforma, la pallina ha una certa energia potenziale che si trasforma in energia cinetica quando si muove, una parte viene dissipata dall'attrito il resto comprime la molla. In simboli:
$mgh-E_a=1/2ks^2$
Mi sembra che si tratti di una equazione di primo grado ad una variabile perchè tu hai tutte le informazioni tranne la massa.
Ripeto: l'interpretazione del problema sta a te, non devi accettare per buona una spiegazione per quanto sia autorevole la fonte, e non è questo il caso, devi prorpio capirla tu.

ennegi
ok mi sembra di aver capito :) ti ringrazio veramente tanto, perché fa sempre bene confrontarsi con persone più esperte :) tra un mesetto ho l'esame quindi speriamo che non ci siano problemi :smt023 grazie mille ancora!

gio73
"EnneGi":
persone più esperte

qui ti sbagli!
Per l'esame in bocca al lupo e facci sapere!

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