Trovare gli autostati di dell'hamiltoniano
Ciao a tutti .
Avrei una domanda, mi è chiesto di trovare gli autostati e autovalori di una tale hamiltoniana data la tale situazione:
Si consideri una particella di massa M, vincolata a muoversi nel piano xy lungo una circonferenza di raggio R e centro l’origine. Il moto della particella è governato dall’hamiltoniana
$ H=P^2/(2MR^2)=-\frac{h^2d^2}{2MR^2d\phi^2} $
con $ \phi $ angolo compreso tra il raggio vettore che va dall’origine alla particella e l’asse delle x.
(Nell'hamiltoniana, avrebbe dovuto esserci la h con il taglietto, ma non riesco a scriverla qui con LaTex, quindi ho lasciato la normale h. Perdonate l'imprecisione).
Gli autovalori so che sono
$ E_n=(h^2n^2)/(2MR^2) $ per la particella libera..
Invece non capisco bene come trovare gli autostati.
Dovrei fare qualcosa del genere (suppongo)
$ \Phi_n(\phi)=\frac{1}{\sqrt(2pi)}int_-infty^inftydk g(k)e^(-ikx) $ ma non capisco bene come fare . Mi sto vagamente incartando.
Il risultato dovrebbe essere
$ \Phi_n(\phi)=\frac{1}{\sqrt(2pi)}e^(i n\phi) $
Qualcuno potrebbe darmi un suggerimento?
Grazie mille
Avrei una domanda, mi è chiesto di trovare gli autostati e autovalori di una tale hamiltoniana data la tale situazione:
Si consideri una particella di massa M, vincolata a muoversi nel piano xy lungo una circonferenza di raggio R e centro l’origine. Il moto della particella è governato dall’hamiltoniana
$ H=P^2/(2MR^2)=-\frac{h^2d^2}{2MR^2d\phi^2} $
con $ \phi $ angolo compreso tra il raggio vettore che va dall’origine alla particella e l’asse delle x.
(Nell'hamiltoniana, avrebbe dovuto esserci la h con il taglietto, ma non riesco a scriverla qui con LaTex, quindi ho lasciato la normale h. Perdonate l'imprecisione).
Gli autovalori so che sono
$ E_n=(h^2n^2)/(2MR^2) $ per la particella libera..
Invece non capisco bene come trovare gli autostati.
Dovrei fare qualcosa del genere (suppongo)
$ \Phi_n(\phi)=\frac{1}{\sqrt(2pi)}int_-infty^inftydk g(k)e^(-ikx) $ ma non capisco bene come fare . Mi sto vagamente incartando.
Il risultato dovrebbe essere
$ \Phi_n(\phi)=\frac{1}{\sqrt(2pi)}e^(i n\phi) $
Qualcuno potrebbe darmi un suggerimento?
Grazie mille
Risposte
Eccomi 
. Allora, vediamo, io proverei così:
Innanzitutto, direi di scrivere l’equazione di schrodinger per la particella, così facciamo un paio di considerazioni.
$-h^2/{2mR^2} d^2/{d phi^2} psi = E psi$
Questa è l’equazione di schrodinger con l’hamiltoniano che hai scritto. Bene, l’equazione se ci fai caso è molto simile a quella della particella libera unidimensionale (di fatto è sempre la solita equazione differenziale del moto armonico). Solo che qui invece di andare “dritto” (verso destra o verso sinistra) la particella si muove “in cerchio” (in senso orario o in senso antiorario). In ogni caso, possiamo risolverla quasi allo stesso modo.
(È anche molto simile all’equazione azimutale del caso tridimensionale, nel caso te lo stessi chiedendo. Sarebbe quella equazione in $phi$ che incontri quando cerchi le armoniche sferiche, per intenderci. Questa osservazione la consideriamo di nuovo più avanti). Quindi abbiamo:
$d^2/{d phi^2} psi = - {2mR^2}/h^2 E psi$ poniamo $n^2 = {2mR^2}/h^2 E$ ovvero $E = {h^2n^2}/{2mR^2}$ e otteniamo
$d^2/{d phi^2} psi + n^2 psi = 0$ con soluzione $psi = Ae^{i n phi} + Be^{-i n phi}$
Aggiungiamo la dipendenza temporale $psi = Ae^{(i n phi - iE/h t)} + Be^{(-i n phi - iE/h t)} = Ae^{i n(phi - {hn}/{2mR^2} t)} + Be^{-i n(phi + {hn}/{2mR^2} t)}$
(ho sostituito $E = {h^2n^2}/{2mR^2}$)
E vediamo che $Ae^{i n phi}$ rappresenta una rotazione in senso antiorario, mentre $Be^{-i n phi}$ rappresenta una rotazione in senso orario, proprio come avevamo anticipato (e come vedi è molto simile alla particella libera che va verso destra o verso sinistra). Tuttavia, dato che ci interessa considerare una sola rotazione per volta, possiamo scrivere semplicemente
$psi = Ce^{i n phi}$ (ho tolto di nuovo la dipendenza temporale, tanto non ci serve più)
Quando vogliamo una rotazione antioraria facciamo assumere a $n$ valori positivi, e quando vogliamo una rotazione oraria facciamo assumere a $n$ valori negativi (più o meno come facciamo con il parametro $k$ per la particella libera unidimensionale)
Fantastico. Ora ci resta solo da normalizzare la funzione d’onda. Ah no, prima un'altra cosa. Dobbiamo considerare che quando la particella fa un giro di $2 pi$ ritorna alla posizione iniziale.
Quindi dobbiamo imporre $psi(phi + 2 pi) = psi(phi)$ ovvero $psi = Ce^{i n (phi+2 pi)} = Ce^{i n phi}$ perciò $e^{2ni pi) = 1$ il che significa che $n$ deve assumere valori interi (e questa è la stessa cosa che si fa nell'equazione azimutale che avevo citato prima)
Insomma, al variare di $n$ abbiamo le autofunzioni $psi_n = Ce^{i n phi}$
Perfetto, ora possiamo normalizzare. Come sai, nel caso rettilineo, dove la variabile è la posizione $x$, lo facciamo imponendo $int_{-oo}^{+oo} |psi|^2 dx = 1$. Qui però invece la nostra variabile è un angolo $phi$ perciò l’integrale lo facciamo tra $0$ e $2pi$
$int_{0}^{2 pi} |C|^2 d phi = 1$ cioè $|C| = 1/sqrt{2 pi}$ e insomma $C = 1/sqrt{2 pi} e^{i gamma}$
Ma il fattore di fase globale non ci interessa, perciò $C = 1/sqrt{2 pi}$ e quindi
$psi_n = 1/sqrt{2 pi} e^{i n phi}$
Et voilà. Ho allungato un po' il brodo, ma in realtà facendo solo i conti l'esercizio è breve. Se hai obiezioni, proteste, o insulti, dimmi pure
Una importante precisazione: l'analogia che ho fatto con la particella libera è utile per ragionare, ma dal punto di vista fisico ci sono grosse differenze. Le autofunzioni della particella libera sono onde piane, non normalizzabili, e non rappresentano stati fisici. Qui invece le autofunzioni sono normalizzabili.
Inoltre, l'energia della particella libera ha uno spettro continuo, qui invece come hai visto $n$ può assumere solo valori interi, quindi l'energia ha uno spettro discreto, è quantizzata (e i suoi autovalori sono due volte degeneri). Insomma, questo è un sistema legato.
In effetti, forse sarebbe stato più appropriato ragionare esclusivamente sulla base dell'equazione azimutale, ma quest'altro approccio mi è sembrato più intuitivo, soprattutto per la faccenda della rotazione oraria e antioraria, e poi non so se hai già studiato il momento angolare.
. Allora, vediamo, io proverei così:Innanzitutto, direi di scrivere l’equazione di schrodinger per la particella, così facciamo un paio di considerazioni.
$-h^2/{2mR^2} d^2/{d phi^2} psi = E psi$
Questa è l’equazione di schrodinger con l’hamiltoniano che hai scritto. Bene, l’equazione se ci fai caso è molto simile a quella della particella libera unidimensionale (di fatto è sempre la solita equazione differenziale del moto armonico). Solo che qui invece di andare “dritto” (verso destra o verso sinistra) la particella si muove “in cerchio” (in senso orario o in senso antiorario). In ogni caso, possiamo risolverla quasi allo stesso modo.
(È anche molto simile all’equazione azimutale del caso tridimensionale, nel caso te lo stessi chiedendo. Sarebbe quella equazione in $phi$ che incontri quando cerchi le armoniche sferiche, per intenderci. Questa osservazione la consideriamo di nuovo più avanti). Quindi abbiamo:
$d^2/{d phi^2} psi = - {2mR^2}/h^2 E psi$ poniamo $n^2 = {2mR^2}/h^2 E$ ovvero $E = {h^2n^2}/{2mR^2}$ e otteniamo
$d^2/{d phi^2} psi + n^2 psi = 0$ con soluzione $psi = Ae^{i n phi} + Be^{-i n phi}$
Aggiungiamo la dipendenza temporale $psi = Ae^{(i n phi - iE/h t)} + Be^{(-i n phi - iE/h t)} = Ae^{i n(phi - {hn}/{2mR^2} t)} + Be^{-i n(phi + {hn}/{2mR^2} t)}$
(ho sostituito $E = {h^2n^2}/{2mR^2}$)
E vediamo che $Ae^{i n phi}$ rappresenta una rotazione in senso antiorario, mentre $Be^{-i n phi}$ rappresenta una rotazione in senso orario, proprio come avevamo anticipato (e come vedi è molto simile alla particella libera che va verso destra o verso sinistra). Tuttavia, dato che ci interessa considerare una sola rotazione per volta, possiamo scrivere semplicemente
$psi = Ce^{i n phi}$ (ho tolto di nuovo la dipendenza temporale, tanto non ci serve più)
Quando vogliamo una rotazione antioraria facciamo assumere a $n$ valori positivi, e quando vogliamo una rotazione oraria facciamo assumere a $n$ valori negativi (più o meno come facciamo con il parametro $k$ per la particella libera unidimensionale)
Fantastico. Ora ci resta solo da normalizzare la funzione d’onda. Ah no, prima un'altra cosa. Dobbiamo considerare che quando la particella fa un giro di $2 pi$ ritorna alla posizione iniziale.
Quindi dobbiamo imporre $psi(phi + 2 pi) = psi(phi)$ ovvero $psi = Ce^{i n (phi+2 pi)} = Ce^{i n phi}$ perciò $e^{2ni pi) = 1$ il che significa che $n$ deve assumere valori interi (e questa è la stessa cosa che si fa nell'equazione azimutale che avevo citato prima)
Insomma, al variare di $n$ abbiamo le autofunzioni $psi_n = Ce^{i n phi}$
Perfetto, ora possiamo normalizzare. Come sai, nel caso rettilineo, dove la variabile è la posizione $x$, lo facciamo imponendo $int_{-oo}^{+oo} |psi|^2 dx = 1$. Qui però invece la nostra variabile è un angolo $phi$ perciò l’integrale lo facciamo tra $0$ e $2pi$
$int_{0}^{2 pi} |C|^2 d phi = 1$ cioè $|C| = 1/sqrt{2 pi}$ e insomma $C = 1/sqrt{2 pi} e^{i gamma}$
Ma il fattore di fase globale non ci interessa, perciò $C = 1/sqrt{2 pi}$ e quindi
$psi_n = 1/sqrt{2 pi} e^{i n phi}$
Et voilà. Ho allungato un po' il brodo, ma in realtà facendo solo i conti l'esercizio è breve. Se hai obiezioni, proteste, o insulti, dimmi pure
Una importante precisazione: l'analogia che ho fatto con la particella libera è utile per ragionare, ma dal punto di vista fisico ci sono grosse differenze. Le autofunzioni della particella libera sono onde piane, non normalizzabili, e non rappresentano stati fisici. Qui invece le autofunzioni sono normalizzabili.
Inoltre, l'energia della particella libera ha uno spettro continuo, qui invece come hai visto $n$ può assumere solo valori interi, quindi l'energia ha uno spettro discreto, è quantizzata (e i suoi autovalori sono due volte degeneri). Insomma, questo è un sistema legato.
In effetti, forse sarebbe stato più appropriato ragionare esclusivamente sulla base dell'equazione azimutale, ma quest'altro approccio mi è sembrato più intuitivo, soprattutto per la faccenda della rotazione oraria e antioraria, e poi non so se hai già studiato il momento angolare.
Grazie mille per la risposta.
E' stata molto esaustiva, chiara e davvero efficace per farmi capire come affrontare il problema. Non avevo idea di come svolgerlo all'esame e mi ha fregata bellamente (Poi il prof ha messo le correzioni online, ma ha scritto per questo quesito solamente la soluzione diretta senza troppe parole... quindi per quanto riguarda la comprensione ero punto a capo in sostanza
).
E' stata molto esaustiva, chiara e davvero efficace per farmi capire come affrontare il problema. Non avevo idea di come svolgerlo all'esame e mi ha fregata bellamente (Poi il prof ha messo le correzioni online, ma ha scritto per questo quesito solamente la soluzione diretta senza troppe parole... quindi per quanto riguarda la comprensione ero punto a capo in sostanza
).
Ah ok, se ha messo solo una soluzione diretta, allora probabilmente ha risolto proprio sulla base dell'equazione azimutale (che comunque si risolve praticamente nel modo che ho scritto sopra).
Cioè, l'hamiltoniano qui è essenzialmente il quadrato dell'operatore momento angolare $L_z = h/i d/{d phi}$ in coordinate polari. Perciò la nostra equazione di schrodinger, come dicevo nel post precedente, è sostanzialmente la parte azimutale $d^2/{d phi^2} psi = -m^2 psi$ dell'equazione angolare usata nei problemi tridimensionali (dove $m$ sarebbe quello che noi abbiamo chiamato $n$, cioè il numero quantico associato all'operatore $L_z$, perciò non confonderti con la massa mi raccomando!).
Quindi potevamo anche semplicemente osservare che le autofunzioni $psi_n$ cercate sono esattamente le componenti azimutali $F(phi)$ delle più generali armoniche sferiche $Y(theta, phi) = T(theta)F(phi)$
E facendo questa osservazione potevamo chiudere il problema in due righe, senza neanche fare il procedimento che ho scritto, anche se magari qualche appunto riguardo al modo in cui si ottiene la quantizzazione dell'energia e la normalizzazione della funzione d'onda andava fatto comunque, non saprei. Insomma, probabilmente l'esercizio voleva proprio farti ragionare sull'operatore $L_z$.
Comunque, questi problemi "bidimensionali" sono abbastanza fastidiosi, perchè negli esercizi non si incontrano quasi mai, perciò quando te li trovi davanti devi un po' improvvisare. L'idea generale è di ispirarti ai casi che già conosci, perchè alla fine gli hamiltoniani che puoi risolvere esattamente sono molto pochi. Volendo, alla fine questo caso lo puoi vedere anche come qualcosa di simile alla particella su un segmento, cioè la buca infinita di potenziale con la particella libera di muoversi all'interno. Solo che mentre in quel caso la particella si muove su un segmento rettilineo (e quindi la quantizzazione dell'energia emerge dalle solite condizioni al contorno), in questo caso la particella si muove su un segmento "arrotolato" a forma di cerchio (e quindi la quantizzazione dell'energia emerge dalla condizione di periodicità $psi(phi + 2 pi) = psi(phi)$ che abbiamo visto).
Comunque, dovendo farlo ad un esame l'approccio dell'equazione azimutale forse è il più indicato.
PS: Una curiosità, che libri usi per teoria/esercizi?
Cioè, l'hamiltoniano qui è essenzialmente il quadrato dell'operatore momento angolare $L_z = h/i d/{d phi}$ in coordinate polari. Perciò la nostra equazione di schrodinger, come dicevo nel post precedente, è sostanzialmente la parte azimutale $d^2/{d phi^2} psi = -m^2 psi$ dell'equazione angolare usata nei problemi tridimensionali (dove $m$ sarebbe quello che noi abbiamo chiamato $n$, cioè il numero quantico associato all'operatore $L_z$, perciò non confonderti con la massa mi raccomando!).
Quindi potevamo anche semplicemente osservare che le autofunzioni $psi_n$ cercate sono esattamente le componenti azimutali $F(phi)$ delle più generali armoniche sferiche $Y(theta, phi) = T(theta)F(phi)$
E facendo questa osservazione potevamo chiudere il problema in due righe, senza neanche fare il procedimento che ho scritto, anche se magari qualche appunto riguardo al modo in cui si ottiene la quantizzazione dell'energia e la normalizzazione della funzione d'onda andava fatto comunque, non saprei. Insomma, probabilmente l'esercizio voleva proprio farti ragionare sull'operatore $L_z$.
Comunque, questi problemi "bidimensionali" sono abbastanza fastidiosi, perchè negli esercizi non si incontrano quasi mai, perciò quando te li trovi davanti devi un po' improvvisare. L'idea generale è di ispirarti ai casi che già conosci, perchè alla fine gli hamiltoniani che puoi risolvere esattamente sono molto pochi. Volendo, alla fine questo caso lo puoi vedere anche come qualcosa di simile alla particella su un segmento, cioè la buca infinita di potenziale con la particella libera di muoversi all'interno. Solo che mentre in quel caso la particella si muove su un segmento rettilineo (e quindi la quantizzazione dell'energia emerge dalle solite condizioni al contorno), in questo caso la particella si muove su un segmento "arrotolato" a forma di cerchio (e quindi la quantizzazione dell'energia emerge dalla condizione di periodicità $psi(phi + 2 pi) = psi(phi)$ che abbiamo visto).
Comunque, dovendo farlo ad un esame l'approccio dell'equazione azimutale forse è il più indicato.
PS: Una curiosità, che libri usi per teoria/esercizi?
Guarda, noi la roba dell'equazione azimutale non l'abbiamo fatta (magari la vedremo in Quantistica 2), quindi non credo che l'abbia risolta così.. ma la mia è solo una supposizione.
Ho comunque letto la tua spiegazione, solo che non conoscondo l'operatore $ L_(z) $ mi rimane un po' vaga la questione.
Io tendenzialmente uso gli esercizi che da il prof/temi d'esame, esercizi di eserciziari online (ad esempio Angelini - Meccanica Quantistica Pratica) e il Griffiths (anche per la teoria) e per la teoria uso anche il Tannoudji.
Ho comunque letto la tua spiegazione, solo che non conoscondo l'operatore $ L_(z) $ mi rimane un po' vaga la questione.
Io tendenzialmente uso gli esercizi che da il prof/temi d'esame, esercizi di eserciziari online (ad esempio Angelini - Meccanica Quantistica Pratica) e il Griffiths (anche per la teoria) e per la teoria uso anche il Tannoudji.
You've got to be kidding me 
. Cioè, non avete nel programma il momento angolare, ne' la MQ in tre dimensioni (e perciò neanche l'atomo di idrogeno)? Woah, strano... eppure lo spin invece lo avete fatto, perchè mi ricordo che tempo fa postavi esercizi con le matrici di Pauli, e via dicendo...
Vabbe' allora niente, a questo punto può aver usato solo la soluzione che ho scritto nel mio primo post. Però è molto strano perchè comunque la roba sulla condizione di periodicità non potrebbe mai venirti in mente, se prima non l'hai già vista nella quantizzazione del momento angolare.
Comunque, anche io per l'esame ho usato la combo Griffiths + esercizi online, e poi ogni tanto ho consultato il Gasiorowicz, invece il Cohen-Tannoudji non l'ho mai provato, però ne ho sentito parlare in varie occasioni
. Cioè, non avete nel programma il momento angolare, ne' la MQ in tre dimensioni (e perciò neanche l'atomo di idrogeno)? Woah, strano... eppure lo spin invece lo avete fatto, perchè mi ricordo che tempo fa postavi esercizi con le matrici di Pauli, e via dicendo...Vabbe' allora niente, a questo punto può aver usato solo la soluzione che ho scritto nel mio primo post. Però è molto strano perchè comunque la roba sulla condizione di periodicità non potrebbe mai venirti in mente, se prima non l'hai già vista nella quantizzazione del momento angolare.
Comunque, anche io per l'esame ho usato la combo Griffiths + esercizi online, e poi ogni tanto ho consultato il Gasiorowicz, invece il Cohen-Tannoudji non l'ho mai provato, però ne ho sentito parlare in varie occasioni
No lies! ahahah
Si, abbiamo fatto lo spin e i sistemi a due livelli, ma non il momento angolare e la quantistica in tre dimensioni. Ebbene si. Magari lo faremo nel prossimo modulo... Non so che dirti davvero
Io so solo quello che ci hanno spiegato
Si, abbiamo fatto lo spin e i sistemi a due livelli, ma non il momento angolare e la quantistica in tre dimensioni. Ebbene si. Magari lo faremo nel prossimo modulo... Non so che dirti davvero
Io so solo quello che ci hanno spiegato
Aaaahh ok, nel prossimo modulo, perciò lo farete comunque durante la triennale. Credevo che con "Meccanica Quantistica 2" intendessi il corso della magistrale, cioè il corso di MQ relativistica, per questo mi sembrava strano che rimandassero la parte tridimensionale fino a quel punto.
Comunque, non era una critica, figurati. Ero solo sorpreso, perchè di solito lo spin si fa subito dopo il momento angolare, visto che (per citare il nostro comune amico David Griffiths 
) la teoria dello spin è una "copia carbone" di quella del momento angolare orbitale.
Ma se avete due moduli di MQ tanto meglio, finirete la triennale con una preparazione ottima
Bye!
Comunque, non era una critica, figurati
. Ero solo sorpreso, perchè di solito lo spin si fa subito dopo il momento angolare, visto che (per citare il nostro comune amico David Griffiths ) la teoria dello spin è una "copia carbone" di quella del momento angolare orbitale. Ma se avete due moduli di MQ tanto meglio, finirete la triennale con una preparazione ottima
Bye!
si, è tutto nella triennale. Al terzo anno la facciamo (quindi a ottobre )Grazie ancora per l'aiuto. Ciaoo
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