Trovare centro di massa con integrali

[del_ta]

Ciao ragazzi ho un problema sul centro di massa che non riesco a risolvere. Non riesco a capire come impostare l'integrale. Il problem è questo: Determinare la posizione del centro di massa di una lamina quadrata di massa M e lato L se ad essa viene asportata una porzione quadrata di lato d (con d < L), con i lati paralleli a quelli della lamina e avente uno dei vertici in comune.

[mgrau]

La tua figura è costituita da un quadrato (quello grande in grigio) il cui CM è evidentemente il centro, MENO un quadrato (quello asportato) il cui CM è evidentemente il centro.
Quindi ti ritrovi (considerando i pesi) con il peso del primo quadrato applicato nel primo CM, diretto in giù; e il peso del secondo ANTIquadrato applicato nel secondo CM, diretto in su.
Hai quindi due forze, proporzionali a $L^2$ e $d^2$, applicate ai due CM, in senso opposto: devi solo trovare il punto di applicazione della risultante, e questo è il CM complessivo

[del_ta]

"TeM":Assegnata una lamina rigida omogenea \(\mathbb{L}\) descritta dal seguente insieme: \[ \mathbb{L} := \left\{ (x,\,y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \le x \le L-d, \; 0 \le y \le L \right\} \cup \left\{ (x,\,y) \in \mathbb{R}^2 : L-d \le x \le L, \; 0 \le y \le L - d \right\} \] con \(0 \le d \le L\), per definizione di centro di massa, si ha: \[ x_G := \frac{\iint\limits_{\mathbb{L}} x\,\text{d}x\,\text{d}y}{\iint\limits_{\mathbb{L}} 1\,\text{d}x\,\text{d}y}\,, \; \; \; \; \; \; y_G := \frac{\iint\limits_{\mathbb{L}} y\,\text{d}x\,\text{d}y}{\iint\limits_{\mathbb{L}} 1\,\text{d}x\,\text{d}y}\,. \] A te i conti.

Grazie,fino a qui ci ero già arrivato. Il problema è: come si risolvono quegli integrali doppi?