Tronchetto su un piano, collegato tramite puleggia a un grave
PROBLEMA: Un corpo di massa $m$ è appeso all'estremità di una fune inestensibile e di massa trascurabile. La fune scorre sulla puleggia C, di massa trascurabile, ed è avvolta per molti giri su un rocchetto di raggio interno$ r$. Siano $R$,$M$, e $I$ rispettivamente il raggio esterno, la massa e il momento d'inerzia rispetto al $CM$ del rocchetto. Calcolare la tensione della fune nei due seguenti casi:
a)il rocchetto rotola senza strisciare sul piano orizzontale;
b)il piano orizzontale è liscio
______________
Il primo quesito l' ho risolto, ma il secondo, nella sua apparente semplicità mi ha fatto venire un sacco di dubbi. Sul blocco $m$ appeso alla fune agiscono la tensione e la forza peso: $mg-T=ma$
Lungo il piano non c'è attrito. L'unica forza che agisce sul ronchetto è la tensione. La tensione fa momento sul rocchetto interno di raggio $r$, quindi $Tr=Ialpha$. Il rocchetto ruoterà quindi a causa del momento.
Se dovessi descrivere il moto del centro di massa lungo l' asse x: $T=MA$ verso destra in quano la tensione è l' unica forza ad agire (anche se ho pensato stupidamente che prima di tirare, la fune si dovrebbe srotolare tutta). Il moto di rotolamento non ha però alcun effetto sul moto di slittamento poiché non c' è attrito ma lo ha su quello del corpo $m$. L'accelerazione di un punto della fune è uguale ad $alpha\timesr$. Tuttavia questa accelerazione non è uguale a quella del blocchetto $m$, poiché anche l' accelerazione del centro di massa del rocchetto $A$. Quindi $a=alphatimesr+A$.
Quindi essendo $alpha=(Ttimesr)/I$ e $A=T/M$, ricavo $mg-T=m[((Ttimesr^2)/I)+T/M]$, con una sola incognita.
Infine $T=(mg)/[((mr^2)/(I))+(m/M)+1]$.
Concordate? Non sono nemmeno sicurissimo, e questo semplice quesito mi ha fatto scervellare per un bel po'.
Grazie dell' aiuto a chiunque mi aiuti a controllare queste equazioni e il ragionamento che ho fatto.
a)il rocchetto rotola senza strisciare sul piano orizzontale;
b)il piano orizzontale è liscio
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Il primo quesito l' ho risolto, ma il secondo, nella sua apparente semplicità mi ha fatto venire un sacco di dubbi. Sul blocco $m$ appeso alla fune agiscono la tensione e la forza peso: $mg-T=ma$
Lungo il piano non c'è attrito. L'unica forza che agisce sul ronchetto è la tensione. La tensione fa momento sul rocchetto interno di raggio $r$, quindi $Tr=Ialpha$. Il rocchetto ruoterà quindi a causa del momento.
Se dovessi descrivere il moto del centro di massa lungo l' asse x: $T=MA$ verso destra in quano la tensione è l' unica forza ad agire (anche se ho pensato stupidamente che prima di tirare, la fune si dovrebbe srotolare tutta). Il moto di rotolamento non ha però alcun effetto sul moto di slittamento poiché non c' è attrito ma lo ha su quello del corpo $m$. L'accelerazione di un punto della fune è uguale ad $alpha\timesr$. Tuttavia questa accelerazione non è uguale a quella del blocchetto $m$, poiché anche l' accelerazione del centro di massa del rocchetto $A$. Quindi $a=alphatimesr+A$.
Quindi essendo $alpha=(Ttimesr)/I$ e $A=T/M$, ricavo $mg-T=m[((Ttimesr^2)/I)+T/M]$, con una sola incognita.
Infine $T=(mg)/[((mr^2)/(I))+(m/M)+1]$.
Concordate? Non sono nemmeno sicurissimo, e questo semplice quesito mi ha fatto scervellare per un bel po'.
Grazie dell' aiuto a chiunque mi aiuti a controllare queste equazioni e il ragionamento che ho fatto.
Risposte
Mi sembra tutto corretto.
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