Trasmissione del momento tra due ruote
Salve a tutti, ho svolto un esercizio e l'ho confrontato con il risultato del mio libro. Non capisco dove sbaglio.
http://img217.imageshack.us/img217/4228/scanpic0002fl.jpg
Ho due dischi rotanti aventi masse \(\displaystyle m_A=5 Kg \) e \(\displaystyle m_B=20 Kg \) con raggi rispettivamente \(\displaystyle R_A=0.1 m \) ed \(\displaystyle R_B=0.2 m \).
Al disco A viene applicato un momento costante pari a \(\displaystyle M_A=8 Nm \).
Il disco B reagisce con un momento frenante \(\displaystyle M_B=7 Nm \).
Si vuole conoscere la velocità angolare del disco B dopo 5 secondi.
Il mio procedimento è consistito nello scrivere due equazioni per determinare le accelerazioni angolari impresse ai due dischi a seguito delle interazioni tra i due momenti: quello motore e quello frenante. Una volta trovate quelle posso conoscere la velocità angolare moltiplicando l'accelerazione angolare trovata per l'intervallo di tempo specificato.
A causa del momento frenante di B al disco A viene applicata una forza opposta alla componente tangenziale di \(\displaystyle M_A \) che ho chiamato \(\displaystyle F_2 \).
Discorso analogo per \(\displaystyle F_1 \) con cui ho indicato la forza che dovrebbe vincere la componente tangenziale del momento frenante \(\displaystyle M_B \) affinché il disco A trasmetta la rotazione al disco B.
\(\displaystyle F_2=\frac{M_B}{R_B} \) ; \(\displaystyle F_1=\frac{M_A}{R_A} \).
scrivo le due equazioni in cui ho indicato con \(\displaystyle \alpha_A \) e \(\displaystyle \alpha_B \) le accelerazioni angolari per i dischi A e B e con \(\displaystyle I_A \) e \(\displaystyle I_B \) i momenti di inerzia per i dischi A e B.
\(\displaystyle M_A - F_2R_A=I_A\alpha_A \)
\(\displaystyle M_B - F_1R_B=-I_B\alpha_B \)
e il mio esercizio finisce qui: il resto sono soltanto calcoli. Ho ricavato da queste equazioni le accelerazioni angolari e ho moltiplicato la \(\displaystyle \alpha_B \) per l'intervallo di tempo specificato di 5 secondi. Ciò che ho ottenuto non è la stessa \(\displaystyle \omega_B \) indicata come risultato. Come mai?
http://img217.imageshack.us/img217/4228/scanpic0002fl.jpg
Ho due dischi rotanti aventi masse \(\displaystyle m_A=5 Kg \) e \(\displaystyle m_B=20 Kg \) con raggi rispettivamente \(\displaystyle R_A=0.1 m \) ed \(\displaystyle R_B=0.2 m \).
Al disco A viene applicato un momento costante pari a \(\displaystyle M_A=8 Nm \).
Il disco B reagisce con un momento frenante \(\displaystyle M_B=7 Nm \).
Si vuole conoscere la velocità angolare del disco B dopo 5 secondi.
Il mio procedimento è consistito nello scrivere due equazioni per determinare le accelerazioni angolari impresse ai due dischi a seguito delle interazioni tra i due momenti: quello motore e quello frenante. Una volta trovate quelle posso conoscere la velocità angolare moltiplicando l'accelerazione angolare trovata per l'intervallo di tempo specificato.
A causa del momento frenante di B al disco A viene applicata una forza opposta alla componente tangenziale di \(\displaystyle M_A \) che ho chiamato \(\displaystyle F_2 \).
Discorso analogo per \(\displaystyle F_1 \) con cui ho indicato la forza che dovrebbe vincere la componente tangenziale del momento frenante \(\displaystyle M_B \) affinché il disco A trasmetta la rotazione al disco B.
\(\displaystyle F_2=\frac{M_B}{R_B} \) ; \(\displaystyle F_1=\frac{M_A}{R_A} \).
scrivo le due equazioni in cui ho indicato con \(\displaystyle \alpha_A \) e \(\displaystyle \alpha_B \) le accelerazioni angolari per i dischi A e B e con \(\displaystyle I_A \) e \(\displaystyle I_B \) i momenti di inerzia per i dischi A e B.
\(\displaystyle M_A - F_2R_A=I_A\alpha_A \)
\(\displaystyle M_B - F_1R_B=-I_B\alpha_B \)
e il mio esercizio finisce qui: il resto sono soltanto calcoli. Ho ricavato da queste equazioni le accelerazioni angolari e ho moltiplicato la \(\displaystyle \alpha_B \) per l'intervallo di tempo specificato di 5 secondi. Ciò che ho ottenuto non è la stessa \(\displaystyle \omega_B \) indicata come risultato. Come mai?
Risposte
Luca,
il tuo esercizio è una ( brutta, a mio parere, e ti dirò poi perchè) semplificazione del problema della " trasmissione del moto" tra due assi paralleli mediante cinghia. Questa trasmissione si studia, con dovizia di particolari e di formule, in Meccanica delle MAcchine, e non è il caso, a mio parere, di assegnare un esercizio di questo genere in Fisica,perchè induce ad assumere delle semplificazioni eccessive, che non sussistono.
Comunque, ti dico subito: la velocità del ramo di cinghia superiore (il tratto "motore", che si avvolge nella ruota motrice), che devi supporre inestensibile ( ma nella realtà delle cose la cinghia va considerata deformabile...) è uguale evidentemente alla velocità periferica di entrambe le ruote, perciò : $ v_p = \omega_A*R_A = \omega_B*R_B $ . Questo vuol dire che le velocità angolari delle due ruote sono inversamente proporzionali ai raggi.
Analogamente, derivando la precedente uguaglianza, hai che anche le accelerazioni angolari sono inversamente proporzionali ai due raggi. Questo ti consente di scrivere una prima equazione per le accelerazioni angolari.
Una seconda relazione si ricava da considerazioni dinamiche. Considerando la cinghia inestensibile ( il che ripeto è un assurdo meccanico, ma non è il caso di approfondirlo qui), è anche chiaro che le due forze che tu hai considerato non possono essere diverse: esse sono uguali, e pari alla tensione nel tratto superiore della cinghia.
( In Meccanica delle MAcchine, si vede che la tensione ora considerata è diversa da quella che si ha nel tratto inferiore, il tratto cioè che si avvolge nella ruota condotta. Entra in gioco l'angolo di avvolgimento della cinghia sulla ruota motrice e il coefficiente di attrito, tutte cose che tu non devi considerare).
Ma le considerazioni dinamiche si possono fare anche senza considerare la tensione detta. Si può dire : il momento motore applicato alla ruota motrice deve : 1) accelerare angolarmente la ruota $A$ ; 2)accelerare anche la ruota $B$ ; 3) vincere il momento resistente applicato alla ruota $B$.
Così facendo, ho trovato che l'accelreazione angolare di $B$ vale : $\alpha_B = 0.952 (rad)/s^2 $ ( quella di $A$ è doppia) , e dopo $5s$ la velocità angolare della ruota condotta vale $4.762 (rad)/s $ .
Coincide col risultato del tuo libro, o no ? Se non va bene, dimmelo e rivedremo l'esercizio, io posso sbagliare come tutti.
il tuo esercizio è una ( brutta, a mio parere, e ti dirò poi perchè) semplificazione del problema della " trasmissione del moto" tra due assi paralleli mediante cinghia. Questa trasmissione si studia, con dovizia di particolari e di formule, in Meccanica delle MAcchine, e non è il caso, a mio parere, di assegnare un esercizio di questo genere in Fisica,perchè induce ad assumere delle semplificazioni eccessive, che non sussistono.
Comunque, ti dico subito: la velocità del ramo di cinghia superiore (il tratto "motore", che si avvolge nella ruota motrice), che devi supporre inestensibile ( ma nella realtà delle cose la cinghia va considerata deformabile...) è uguale evidentemente alla velocità periferica di entrambe le ruote, perciò : $ v_p = \omega_A*R_A = \omega_B*R_B $ . Questo vuol dire che le velocità angolari delle due ruote sono inversamente proporzionali ai raggi.
Analogamente, derivando la precedente uguaglianza, hai che anche le accelerazioni angolari sono inversamente proporzionali ai due raggi. Questo ti consente di scrivere una prima equazione per le accelerazioni angolari.
Una seconda relazione si ricava da considerazioni dinamiche. Considerando la cinghia inestensibile ( il che ripeto è un assurdo meccanico, ma non è il caso di approfondirlo qui), è anche chiaro che le due forze che tu hai considerato non possono essere diverse: esse sono uguali, e pari alla tensione nel tratto superiore della cinghia.
( In Meccanica delle MAcchine, si vede che la tensione ora considerata è diversa da quella che si ha nel tratto inferiore, il tratto cioè che si avvolge nella ruota condotta. Entra in gioco l'angolo di avvolgimento della cinghia sulla ruota motrice e il coefficiente di attrito, tutte cose che tu non devi considerare).
Ma le considerazioni dinamiche si possono fare anche senza considerare la tensione detta. Si può dire : il momento motore applicato alla ruota motrice deve : 1) accelerare angolarmente la ruota $A$ ; 2)accelerare anche la ruota $B$ ; 3) vincere il momento resistente applicato alla ruota $B$.
Così facendo, ho trovato che l'accelreazione angolare di $B$ vale : $\alpha_B = 0.952 (rad)/s^2 $ ( quella di $A$ è doppia) , e dopo $5s$ la velocità angolare della ruota condotta vale $4.762 (rad)/s $ .
Coincide col risultato del tuo libro, o no ? Se non va bene, dimmelo e rivedremo l'esercizio, io posso sbagliare come tutti.
Il mio libro dà un altro risultato seguendo questo procedimento.
\(\displaystyle M_A-TR_A=I_A\alpha_A=\frac{1}{2}m_A{R_A}^2\alpha_A \)
\(\displaystyle TR_B-M_B=I_B\alpha_B=\frac{1}{2}m_B{R_B}^2\alpha_B \)
\(\displaystyle \alpha_AR_A=\alpha_BR_B \)
\(\displaystyle \alpha_B=2\frac{M_AR_B-M_BR_A}{(M_A+M_B)R_A{R_B}^2}=18 rad/s^2 \)
\(\displaystyle \alpha_A=36 rad/s^2 \)
\(\displaystyle \omega_B=\alpha_Bt=90 rad/s \)
\(\displaystyle M_A-TR_A=I_A\alpha_A=\frac{1}{2}m_A{R_A}^2\alpha_A \)
\(\displaystyle TR_B-M_B=I_B\alpha_B=\frac{1}{2}m_B{R_B}^2\alpha_B \)
\(\displaystyle \alpha_AR_A=\alpha_BR_B \)
\(\displaystyle \alpha_B=2\frac{M_AR_B-M_BR_A}{(M_A+M_B)R_A{R_B}^2}=18 rad/s^2 \)
\(\displaystyle \alpha_A=36 rad/s^2 \)
\(\displaystyle \omega_B=\alpha_Bt=90 rad/s \)
Luca,
io l'ho detto che questo è un brutto esercizio, e ancora più brutta è la soluzione concettualmente sbagliata del tuo libro, che a prima vista mi ha spiazzato! Ma poi ci ho pensato bene.
Il libro ignora che la cinghia è completamente avvolta, chiusa, su entrambe le pulegge, per cui, pur ammettendo le semplificazioni dette, e cioè :
1) cinghia perfettamente flessibile e inestensibile;
2) tensione $T$ uguale nei due rami superiore ed inferiore della cinghia;
non si può ignorare appunto che la tensione agisce in entrambi i tratti ! PEr cui, se isoli la ruota motrice $A$ tagliando i due capi della cinghia, devi applicare due forze uguali in valore a $T$ , una sopra e una sotto, entrambe uscenti tangenzialmente dalla ruota stessa . I relativi momenti ( assumendo positivo il verso del momento motore da te dato) :
$-T*R_A $ e $ + T*R_A$ si elidono tranquillamente tra loro , e l'equazione per la ruota $A$ è semplicemente :
$ M_A -T*R_A + T*R_A = I_A*\alpha_A $ , cioè : $ M_A = I_A*\alpha_A $ ------(1)
analogamente per la ruota condotta $B$ , si ha, con la convenzione detta per i versi di momenti e accelerazioni :
$ -M_B + T*R_B -T*R_B = I_B*\alpha_B $ , cioè : $ -M_B = I_B*\alpha_B $ ------(2)
sommando (1) e (2) , si ha, come ti dicevo :
$ M_A -M_B = I_A*\alpha_A + I_B*\alpha_B $ -----(3)
E questo è fisicamente ovvio, perchè è il momento delle forze esterne al sistema, che causa variazione del momento angolare del sistema! E non importa che il sistema sia fatto da due ruote diverse, esse sono fisicamente connesse dalla cinghia.
Si aggiunge la relazione tra le accelerazioni angolari, che dà anche il libro: $ \alpha_A*R_A = \alpha_B*R_B $ --------(4)
La (3) e la (4) risolvono il problema, per quanto ne so io. Ciao.
PS. Mi viene un dubbio: non è che, per caso, la figura sia sbagliata, nel senso che invece di una cinghia che avvolge entrambe le pulegge ci sia un cavo, che si svolge dal tamburo $B$ e si avvolge sul tamburo $A$ ?
io l'ho detto che questo è un brutto esercizio, e ancora più brutta è la soluzione concettualmente sbagliata del tuo libro, che a prima vista mi ha spiazzato! Ma poi ci ho pensato bene.
Il libro ignora che la cinghia è completamente avvolta, chiusa, su entrambe le pulegge, per cui, pur ammettendo le semplificazioni dette, e cioè :
1) cinghia perfettamente flessibile e inestensibile;
2) tensione $T$ uguale nei due rami superiore ed inferiore della cinghia;
non si può ignorare appunto che la tensione agisce in entrambi i tratti ! PEr cui, se isoli la ruota motrice $A$ tagliando i due capi della cinghia, devi applicare due forze uguali in valore a $T$ , una sopra e una sotto, entrambe uscenti tangenzialmente dalla ruota stessa . I relativi momenti ( assumendo positivo il verso del momento motore da te dato) :
$-T*R_A $ e $ + T*R_A$ si elidono tranquillamente tra loro , e l'equazione per la ruota $A$ è semplicemente :
$ M_A -T*R_A + T*R_A = I_A*\alpha_A $ , cioè : $ M_A = I_A*\alpha_A $ ------(1)
analogamente per la ruota condotta $B$ , si ha, con la convenzione detta per i versi di momenti e accelerazioni :
$ -M_B + T*R_B -T*R_B = I_B*\alpha_B $ , cioè : $ -M_B = I_B*\alpha_B $ ------(2)
sommando (1) e (2) , si ha, come ti dicevo :
$ M_A -M_B = I_A*\alpha_A + I_B*\alpha_B $ -----(3)
E questo è fisicamente ovvio, perchè è il momento delle forze esterne al sistema, che causa variazione del momento angolare del sistema! E non importa che il sistema sia fatto da due ruote diverse, esse sono fisicamente connesse dalla cinghia.
Si aggiunge la relazione tra le accelerazioni angolari, che dà anche il libro: $ \alpha_A*R_A = \alpha_B*R_B $ --------(4)
La (3) e la (4) risolvono il problema, per quanto ne so io. Ciao.
PS. Mi viene un dubbio: non è che, per caso, la figura sia sbagliata, nel senso che invece di una cinghia che avvolge entrambe le pulegge ci sia un cavo, che si svolge dal tamburo $B$ e si avvolge sul tamburo $A$ ?
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