Traslazione Temporale (Equazione di Schrödinger)
Ciao ragazzi, abbiamo fatto le traslazioni spaziali in MQ, ma ho un dubbio esistenziale quindi vi porgo la domanda (il ricevimento del prof e' tra 5 gg, troppo in la per poter dormire tranquillo).
Di seguito vi mostro lo svolgimento del ragionamento del prof.
In Meccanica hamiltoniana (MC) ho che le equazioni di Hamilton per un tempo breve \varepsilon posso scriverle:
$ dq=\frac{\partial H}{\partial p} \varepsilon $ ; $ dp=-\frac{\partial H}{\partial q} \varepsilon$
Ora affermo che la mia trasformazione associata e':
$ Q = q+dq = q + \frac{\partial H}{\partial p} \varepsilon $ ; $ P= p+dp = p - \frac{\partial H}{\partial q} \varepsilon $
dove la mia funzione generatrice $F(qP)$ e' la seguente:
$ F(qP)=qP+\varepsilon H(qP)$
infatti se:
$Q=\frac{\partial F}{\partial P} = q + \varepsilon \frac{\partial H}{\partial P}$ ; $ p=\frac{\partial F}{\partial q} = P+\varepsilon \frac{\partial H}{\partial q}$
allora la $F(qP)$ e' la funzione generatrice associata alla trasformazione.
Ora considerando una funzione d'onda dipendente da x e t (monodimensionale), volendo valutare tale funzione dopo un tempo $t+\varepsilon$ posso espandete con Taylor attorno a t:
$\psi(x,t+\varepsilon)=\psi(x,t)+\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}\varepsilon+\theta(\varepsilon^2)$
allora facendo un troncamento al primo ordine:
$\psi(x,t+\varepsilon)=(\mathbb{1}+\varepsilon\frac{\partial}{\partial t})\psi(x,t)$
come per l'impulso ottengo che $(1+\varepsilon\frac{\partial}{\partial t}$ e' l'operatore di traslazioni temporali infinitesimi, e ragionando dimensionalmente ed usando il principio di corrispondenza ottengo che ad $H$ DEVO ASSOCIARE (riporto testualmente il prof.) $\alpha \frac{\partial}{\partial t}$ dove ottengo sperimentalmente che vale $i \hbar
Di seguito vi mostro lo svolgimento del ragionamento del prof.
In Meccanica hamiltoniana (MC) ho che le equazioni di Hamilton per un tempo breve \varepsilon posso scriverle:
$ dq=\frac{\partial H}{\partial p} \varepsilon $ ; $ dp=-\frac{\partial H}{\partial q} \varepsilon$
Ora affermo che la mia trasformazione associata e':
$ Q = q+dq = q + \frac{\partial H}{\partial p} \varepsilon $ ; $ P= p+dp = p - \frac{\partial H}{\partial q} \varepsilon $
dove la mia funzione generatrice $F(qP)$ e' la seguente:
$ F(qP)=qP+\varepsilon H(qP)$
infatti se:
$Q=\frac{\partial F}{\partial P} = q + \varepsilon \frac{\partial H}{\partial P}$ ; $ p=\frac{\partial F}{\partial q} = P+\varepsilon \frac{\partial H}{\partial q}$
allora la $F(qP)$ e' la funzione generatrice associata alla trasformazione.
Ora considerando una funzione d'onda dipendente da x e t (monodimensionale), volendo valutare tale funzione dopo un tempo $t+\varepsilon$ posso espandete con Taylor attorno a t:
$\psi(x,t+\varepsilon)=\psi(x,t)+\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}\varepsilon+\theta(\varepsilon^2)$
allora facendo un troncamento al primo ordine:
$\psi(x,t+\varepsilon)=(\mathbb{1}+\varepsilon\frac{\partial}{\partial t})\psi(x,t)$
come per l'impulso ottengo che $(1+\varepsilon\frac{\partial}{\partial t}$ e' l'operatore di traslazioni temporali infinitesimi, e ragionando dimensionalmente ed usando il principio di corrispondenza ottengo che ad $H$ DEVO ASSOCIARE (riporto testualmente il prof.) $\alpha \frac{\partial}{\partial t}$ dove ottengo sperimentalmente che vale $i \hbar
Risposte
Il dubbio esistenziale non l'hai detto però 
"Nikikinki":
Il dubbio esistenziale non l'hai detto però
Ciao, il perchè non posso scrivere $H=ih\frac{\partial}{\partial t}$
Se pensi al fatto che puoi risolvere il problema agli autovalori del tipo
$H\phi=ih(\partial)/(\partialt)\phi$
in pratica lo fai. Questa è l'equazione d'onda.
Il concetto, detto in soldoni, è che un operatore è definito dal modo in cui viene applicato alla funzione d'onda, quindi, la relazione, deve necessariamente coinvolgere anche $\phi$.
$H\phi=ih(\partial)/(\partialt)\phi$
in pratica lo fai. Questa è l'equazione d'onda.
Il concetto, detto in soldoni, è che un operatore è definito dal modo in cui viene applicato alla funzione d'onda, quindi, la relazione, deve necessariamente coinvolgere anche $\phi$.
Ciao Nikikinki, credo di aver capito. H è un operatore mentre $ih\frac{\partial}{\partial t}$ è un semplice numero complex, mentre caso dell impulso $ih\frac{\partial }{\partial x}$ è proprio un operatore?!?!?
Comunque il messaggio è stato tagliato dal forum, ecco perche non cisono le domande xD
Comunque il messaggio è stato tagliato dal forum, ecco perche non cisono le domande xD
Non ho capito la faccenda del numero complesso (o meglio ho capito ma non è corretto detto così), quello è un operatore di derivata.
Formalmente anche l'impulso è definito attraverso l'equazione del tipo precedente.
Sono tutti operatori, se non mi dici quale è l'oggetto si cui agisce l'operatore l'informazione è incompleta, ecco perché la connessione deve avvenire in quel modo.
Puoi pensare ad esempio alla lettura matriciale di una applicazione lineare, quindi ancora un problema agli autovalori.
$Av=\lambda v$ .
Cosa significa questo? Che moltiplicare la matrice A per il vettore v è come moltiplicare lo scalare $\lambda$ per il vettore v. Ma non diresti mai $A=\lambda$ ; una è una matrice l'altro un numero, non ha proprio senso. Concetto analogo sugli operatori. La connessione è fatta rispetto all'applicazione dell'operatore X sull'oggetto Y.
Formalmente anche l'impulso è definito attraverso l'equazione del tipo precedente.
Sono tutti operatori, se non mi dici quale è l'oggetto si cui agisce l'operatore l'informazione è incompleta, ecco perché la connessione deve avvenire in quel modo.
Puoi pensare ad esempio alla lettura matriciale di una applicazione lineare, quindi ancora un problema agli autovalori.
$Av=\lambda v$ .
Cosa significa questo? Che moltiplicare la matrice A per il vettore v è come moltiplicare lo scalare $\lambda$ per il vettore v. Ma non diresti mai $A=\lambda$ ; una è una matrice l'altro un numero, non ha proprio senso. Concetto analogo sugli operatori. La connessione è fatta rispetto all'applicazione dell'operatore X sull'oggetto Y.
"fisico8":
[quote="Nikikinki"]Il dubbio esistenziale non l'hai detto però
Ciao, il perchè non posso scrivere $H=ih\frac{\partial}{\partial t}$[/quote]
E' come affermare l'uguaglianza de l'operatore "alla seconda" e "moltiplicare per 2", i.e. $$(\cdot)^2=2(\cdot)$$
Basandosi sull'uguaglianza $$(2)^2=2(2)$$
Nel caso in cui i suddetti operatori agiscano sul numero 2 l'uguaglianza ha senso, altrimenti no.
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