Trasformazioni di Lorentz monodimensionali

[Varland90]

Salve a tutti,
sto studiano da autodidatta la relatività ristretta. Uno degli argomenti principali sono e trasformazioni di Lorentz e sto cercando di derivarle partendo dal caso monodimensionale per poi astrarlo fino a 3 dimensioni.
Considero lo spazio-tempo (t;x) con t il tempo e x lo spazio, un altro sistema con (t',x') che si muove in moto rettilineo uniforme rispetto al primo con velocità v. Da quello che ho capito tali trasformazioni sono ortonormali per la metrica di Minkowski: $ x^2-c^2t^2$. Di seguito i passaggi






Si tratta di determinare i coefficienti di una matrice $2x2$ quindi 4 incognite. Dalla scritta in marrone del vettore in alto a destra, che poi viene inserito come input nella trasformazione si passa da 4 a 2 incognite.
Per rispettare l'ortonormalità si ottiene il sistema in basso che dovrebbe già non ammettere soluzioni essendo la prima e la terza riga condizioni incompatibili.

[Quinzio]

La prima equazione del sistema iniziale deve essere
$T = a_{12}(t-xv)$
Nota che la $v$ moltiplica la $x$ e che sempre $v$ e' una frazione della velocita' della luce.

In modo da avere
$T = h(t-xv)$
$X = k(vt-x)$

Quello che si deve fare e'

$X^2-T^2 = x^2-t^2 = k^2(x-vt)^2 - h^2(xv-t)^2 = $

$= x^2 (k^2 - h^2 v^2) + t^2 (k^2 v^2 - h^2) - 2xtv (k^2-h^2) = x^2-t^2$

Adesso non faccio altro che prendere l'ultima parte
$ x^2 (k^2 - h^2 v^2) + t^2 (k^2 v^2 - h^2) -2xtv (k^2-h^2) = x^2-t^2$

e riarrangiare

$ x^2 (k^2 - h^2 v^2-1) + t^2 (k^2 v^2 - h^2+1) -2xtv (k^2-h^2) = 0$

Siccome $x, v$ e $t$ sono "variabili libere", l'unico modo per essere sicuro che l'equazione sopra sia sempre vera
e' porre:

$k^2 - h^2 v^2 -1 = 0$

$k^2 v^2 - h^2 + 1 = 0$

$k^2-h^2 = 0$

Di conseguenza $h=k = 1/ sqrt(1-v^2)$

[Quinzio]

Comunque piu' in generale hai una matrice

$( ( e , f ),( g , h ) ) $

che deve essere ortonormale secondo la metrica di Minkowski.
Questo comporta che

$e^2 - f^2 = 1$

$g^2 - h^2 = -1$

$eg - fh = 0$

Ora, queste equazioni sono perfette per usare le funzioni iperboliche, seno e coseno,
che sono caratterizzate dal legame

$\cosh^2 \alpha - \sinh^2 \alpha = 1$

quindi la matrice diventa

$e =h = \cosh \alpha$

$f =g = \sinh \alpha$

[Varland90]

Innanzitutto grazie per aver risposto.
Ho dei dubbi che non riesco a chiarire.
1) La relazione $T = a_{12}(t-xv)$ come si ottiene? Dal disegno che ho allegato non riesco a ricavarlo.
Per $v$, frazione della velocità della luce intendi che la velocità del sistema di riferimento è sempre minore a c oppure esprime il rapporto tra la velocità del sistema di riferimento e c che è sempre <=1?
2) La metrica non è del tipo $x^2-c^2T^2$?
3) Se le incognite sono $h=k = 1/ sqrt(1-v^2)$ allora come citato nel punto 1 v è il rapporto tra la velocità del sistema di riferimento e c, altrimenti se v=c il radicando uscirebbe negativo

[Quinzio]

"Varland90":Innanzitutto grazie per aver risposto.
Ho dei dubbi che non riesco a chiarire.
1) La relazione $T = a_{12}(t-xv)$ come si ottiene? Dal disegno che ho allegato non riesco a ricavarlo.

Infatti il disegno che hai fatto e' fuorviante. Lo avevo notato subito ma pensavo che fosse solo un errore "grafico".
Hai disegnato gli assi che ruotano, come per una matrice ortonormale con la usuale metrica euclidea.
Ma con la metrica di Minkowski gli assi si "piegano" sulla bisettrice.
Gli esempi sono ovunque su internet, ad esempio questa bella animazione: https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_di_Lorentz

Per $v$, frazione della velocità della luce intendi che la velocità del sistema di riferimento è sempre minore a c oppure esprime il rapporto tra la velocità del sistema di riferimento e c che è sempre <=1?

$v=1$ significa velocita' della luce, per cui e' sempre $v < 1$

2) La metrica non è del tipo $x^2-c^2T^2$?

Per semplificarsi la vita si puo' mettere $c=1$.
Alla fine e' solo una mera questione di scala sugli assi. Se l'asse $x$ e' graduato in modo che 1 tacca significa 1 secondo-luce e l'asse $t$ e' graduato in modo che 1 tacca significa 1 secondo, ecco che la velocita' della luce e' la bisettrice a 45 gradi, e la metrica diventa $x^2-t^2$.
Se invece, prendi $x$ in metri e $t$ in secondi allora si che devi sempre mettere il coefficiente $c$ davanti a $t$.
Ma anche in questo caso tutto si aggiusta scrivendo sempre $ct$ invece che $t$.
Pero' perche' complicarsi la vita ?

3) Se le incognite sono $h=k = 1/ sqrt(1-v^2)$ allora come citato nel punto 1 v è il rapporto tra la velocità del sistema di riferimento e c, altrimenti se v=c il radicando uscirebbe negativo

Si certo, e' sempre $v < 1$

[Varland90]

Perfetto mi sono chiari i punti 2 e 3. Circa il punto 1 ho considerato una generica trasformazione lineare, anche se nel disegno gli assi t',x' possono sembrare ortogonali in realtà formano un angolo generico.
Di seguito i passaggi che ho eseguito nel dettaglio



Ciò che devo inserire nell'input della trasformazione è il vettore marrone che si ottiene dalla sottrazione del vettore rosso, ovvero come si svolge il moto di un corpo generico P secondo il sistema di riferimento (x,t,O) e quello blu, cioè come si muove il nuovo sistema di riferimento (x',t',O') rispetto a (x,t,O) ( che so che il moto è rettilineo uniforme con velocità costante v).
Andando poi a moltiplicare il vettore marrone per la matrice $2x2$ generica si ottiene il risultato indicato nell'immagine.

[Quinzio]

Ok, quella che hai scritto tu e' la classica trasformazione galileiana.
Il punto da cui dovresti partire e' invece un generico cambio di base:

$( ( t' ),( x' ) ) = ( ( a_{11} , a_{12} ),( a_{21} , a_{22} ) ) ( ( t ),( x ) )$

che e' poi quello che ho fatto io.
No ?

[Varland90]

Risolto! Non riesco a giustificare $ T = a_{12}(t-xv) $ come relazione all'inizio ma, come hai detto tu considerando una generica trasformazione lineare (la differenza vettoriale come hai menzionato è fuorviante) e 2 condizioni:
1) se il corpo è fermo in $x'=0$ rispetto al sistema di riferimento $(O',t',x')$ allora $x=vt$
2) conservazione della metrica di Minkowski

Si arriva al risultato.

Grazie