Trasformazioni canoniche in meccanica quantistica
Vorrei chiedervi dei chiarimenti riguardo le trasformazioni di coordinate in meccanica quantistica. Innanzitutto, nel nostro corso siamo stati buttati in questo argomento quando abbiamo affrontato il problema a due corpi con potenziale dipendente solo dalla posizione (operatore) relativa.
Quindi i cambiamenti di coordinate nell'Hamiltoniana sono cambiamenti di operatori.
In meccanica classica hamiltoniana solitamente si richiede che le trasformazioni di coordinate dell'hamiltoniana siano canoniche, cioè che conservino la forma delle equazioni di Hamilton, il che coincide con la corservazione delle parentesi di poisson fondamentali.
In meccanica quantistica richiediamo che le trasformazioni di "coordinate" conservino le relazioni di commutazione tra operatori... non conosco però la ragione di questa richiesta, non so se comporta la conservazione di qualche equazione o secondo quale criterio sono associati posizione e impulso coniugato.
Premetto che abbiamo costruito la meccanica quantistica partendo dalla conservazione delle simmetrie con quella classica, cioè richiedendo che l'operatore impulso sia quello i cui autovalori si conservano quando c'è invarianza per traslazioni spaziali e l'hamiltoniana sia l'operatore i cui autovalori si conservano quando c'è invarianza per traslazioni temporali.
Vi sarei molto grato se mi diceste quali sono le ragioni per cui nelle trasformazioni di coordinate in meccanica quantistica si richiede che vengano conservate le relazioni di commutazione tra operatore posizione e operatore impulso coniugato. Non sono riuscito a trovare nessun materiale online riguardo a questo argomento...
Quindi i cambiamenti di coordinate nell'Hamiltoniana sono cambiamenti di operatori.
In meccanica classica hamiltoniana solitamente si richiede che le trasformazioni di coordinate dell'hamiltoniana siano canoniche, cioè che conservino la forma delle equazioni di Hamilton, il che coincide con la corservazione delle parentesi di poisson fondamentali.
In meccanica quantistica richiediamo che le trasformazioni di "coordinate" conservino le relazioni di commutazione tra operatori... non conosco però la ragione di questa richiesta, non so se comporta la conservazione di qualche equazione o secondo quale criterio sono associati posizione e impulso coniugato.
Premetto che abbiamo costruito la meccanica quantistica partendo dalla conservazione delle simmetrie con quella classica, cioè richiedendo che l'operatore impulso sia quello i cui autovalori si conservano quando c'è invarianza per traslazioni spaziali e l'hamiltoniana sia l'operatore i cui autovalori si conservano quando c'è invarianza per traslazioni temporali.
Vi sarei molto grato se mi diceste quali sono le ragioni per cui nelle trasformazioni di coordinate in meccanica quantistica si richiede che vengano conservate le relazioni di commutazione tra operatore posizione e operatore impulso coniugato. Non sono riuscito a trovare nessun materiale online riguardo a questo argomento...
Risposte
"Dal":
In meccanica quantistica richiediamo che le trasformazioni di "coordinate" conservino le relazioni di commutazione tra operatori... non conosco però la ragione di questa richiesta, non so se comporta la conservazione di qualche equazione o secondo quale criterio sono associati posizione e impulso coniugato.
Ciao, premettendo che non sono un esperto, riesco a pensare a qualche ragione. La relazione di commutazione caratterizza gli operatori in modo fondamentale. Ad esempio, il principio di indeterminazione altro non è che una conseguenza del fatto che \(\displaystyle [\hat x^i,\hat p^j]=i\hbar \delta_{ij} \). Allo stesso modo le equazioni del modo alla Heisenberg per questi operatori si costruisce a partire da un commutatore \(\displaystyle [\hat H(\hat x,\hat p), \hat A(\hat x,\hat p)] \), quindi in un certo senso anche la dinamica è caratterizzata dal commutatore canonico. Un cambiamento di coordinate non può e non deve modificare queste proprietà di base della meccanica.
Non so cosa intendi quando parli di criterio con cui si associano posizione e impulso coniugato. In generale, un cambiamento di coordinate lineare è espresso da \(\displaystyle ^T(\mathbf{x}_1',\mathbf{x}_2')=M^T(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_1) \) dove $M$ è invertibile (e $T$ indica la trasposizione, la uso per ragioni grafiche, i vettori colonna sono più scomodi). Si dimostra quindi che, richiesta la conservazione del commutatore canonico, l'impulso coniugato è della forma \(\displaystyle (\mathbf{p}_1',\mathbf{p}_2')=(\mathbf{p}_1,\mathbf{p}_2)M^{-1} \). Se vogliamo puoi vedere questa richiesta anche come una ragione tecnica per fissare in modo univoco il cambiamento di coordinate.
le relazioni di commutazione sono introdotte in analogia con le parentesi di Poisson della meccanica classica, in quanto hanno la stessa algebra (hanno le stesse proprietà formali in pratica). quindi sembra normale richiedere che le coordinate canoniche abbiano una corrispondente quantistica. si dimostra che le trasformazioni canoniche della MQ sono le trasformazioni unitarie che svolgono un ruolo centrale: teorema di Von Neumann, evoluzione temporale (che è un op unitario), traslazione, ecc
Grazie mille per le risposte, in compenso mi hanno fatto venire altri dubbi... credo di non aver chiaro come si svolgono le trasformazioni di coordinate; perchè eseguiamo trasformazioni sugli operatori? Forse perchè vogliamo utilizzare gli autostati del nuovo operatore come base dello spazio degli stati? Però in questo processo c'è un passaggio che non riesco a capire; prendo come esempio quello dei due corpi il cui sistema è descritto dall'Hamiltoniana $ hat(H)=hat(vec(p))_1/(2m_1)+hat(vec(p))_2/(2m_2)+hat(V)(hat(vec(x))_1-hat(vec(x))_2) $ , dove gli indici 1 e 2 indicano il primo e il secondo corpo. Definiamo i nuovi operatori $ hat(vec(r))=hat(vec(x))_1-hat(vec(x))_2 $ e $ hat(vec(R))= (m_1hat(vec(x))_1+m_2hat(vec(x))_2)/(m_1+m_2) $ per ottenere la nuova Hamiltoniana $ hat(H)=hat(vec(P))/(2M)+hat(vec(p))/(2mu )+hat(V)(hat(vec(r))) $ , con M massa totale e $ mu $ massa ridotta e $ hat(vec(P)) = hat(vec(p))_1+hat(vec(p))_2 $ momento coniugato a $ hat(vec(R)) $ e $ hat(vec(p)) = (m_2hat(vec(p))_1-m_1hat(vec(p))_2)/(m_1+m_2) $ momento coniugato a $ hat(vec(r)) $. Poi risolviamo l'equazione agli autovalori dell'Hamiltoniana utilizzando la base $ |r_x>ox |r_y>ox|r_z>ox |R_x>ox |R_y>ox|R_z> $. La mia domanda è: come passo dalla base $ |x_1>ox |y_1>ox|z_1>ox |x_2>ox |y_2>ox|z_2> $ a quella $ |r_x>ox |r_y>ox|r_z>ox |R_x>ox |R_y>ox|R_z> $? In questo passaggio stiamo "mischiando" spazi vettoriali differenti, che prima erano separati nel prodotto diretto $ |x_1>ox |y_1>ox|z_1>ox |x_2>ox |y_2>ox|z_2> $? Un cambio di base in una dimensione non mi crea problemi, ma in più dimensioni con trasfromazioni che "mischiano" le coordinate non riesco a visualizzarlo
ciò che hai fatto lì è portarti nel sistema del centro di massa, usando delle coordinate canoniche. dal momento che i termini commutano il problema si scompone in
$psi(R,r)=psi_(CM)(R)psi_(rel)(r) ^^ E=E_(CM)+E_(rel)$
puoi quindi studiare separatamente i due problemi e poi sommare le soluzioni. in particolare le soluzioni per il centro di massa sono le onde piane, mentre per l'altra parte devi far intervenire le armoniche sferiche.
$psi(R,r)=psi_(CM)(R)psi_(rel)(r) ^^ E=E_(CM)+E_(rel)$
puoi quindi studiare separatamente i due problemi e poi sommare le soluzioni. in particolare le soluzioni per il centro di massa sono le onde piane, mentre per l'altra parte devi far intervenire le armoniche sferiche.
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