Trasformazioni canoniche

[vitunurpo]

Ciao a tutti, ho questo esercizio sulle trasformazioni canoniche che non so se ho svolto correttamente (per quanto riguarda la prima parte) e non so bene come svolgere per la seconda parte.
Mi aiutereste?

Ecco la foto del testo





Per la prima domanda, ho considerato

$ P_m=-\frac{\partialF_3}{\partialQ_k} $ e
$ q_k=-\frac{\partialF_3}{\partialp_m} $

ricavando così (sempre se i conti non sono errati, nel caso chiedo pardon e li sistemo)
$ Q=ln(-\sqrt{qcos^2(p)}+1) $ e
$ P=2\sqrt{qcos^2p}tan(p) $

Per il secondo quesito... non saprei bene come fare.
Tendenzialmente so che dovrei porre questa uguaglianza
$ [Q_k,H]_{q,p}=[Q_k,H]_{Q,P} $ e
$ [P_m,H]_{q,p}=[P_m,H]_{Q,P} $ però non ho l'hamiltoniana effettivamente....
Molto probabilmente mi sto incasinando. Mi aiutereste?
Grazie

[Studente Anonimo]

Intanto, nel calcolare $P$, hai dimenticato di derivare come funzione composta:

$[F_3(Q,p)=-(e^Q-1)^2tanp] rarr$

$rarr [q=-(delF_3)/(delp)=(e^Q-1)^2/cos^2p] ^^ [P=-(delF_3)/(delQ)=2e^Q(e^Q-1)tanp] rarr$

$rarr [Q=ln(1+-sqrt(qcos^2p))] ^^ [P=2(qcos^2p+-sqrt(qcos^2p))tanp]$

Inoltre, per quanto riguarda il secondo punto, devi dimostrare la seguente relazione:

$[Q,P]=(delQ)/(delq)(delP)/(delp)-(delQ)/(delp)(delP)/(delq)=1$

Quindi:

$(delQ)/(delq)=cos^2p/(2(qcos^2p+-sqrt(qcos^2p)))$

$(delQ)/(delp)=(-qcosp sinp)/(qcos^2p+-sqrt(qcos^2p))$

$(delP)/(delq)=2cosp sinp(1+-1/(2sqrt(qcos^2p)))$

$(delP)/(delp)=2/cos^2p(qcos^2p+-sqrt(qcos^2p))-4qsin^2p(1+-1/(2sqrt(qcos^2p)))$

Ad ogni modo, prova tu a concludere dopo aver controllato che non abbia commesso una qualche svista.

[vitunurpo]

Ti ringrazio tantissimo per la risposta.
Chiedo scusa per il conto, l'ho fatto senza ricontrollare.

Ora provo a rifarlo dopo aver letto la tua risposta
grazie mille

[Studente Anonimo]

I calcoli sono senz'altro corretti. Infatti, poichè:

$(delQ)/(delq)(delP)/(delp)=$

$=cos^2p/(2(qcos^2p+-sqrt(qcos^2p)))[2/cos^2p(qcos^2p+-sqrt(qcos^2p))-4qsin^2p(1+-1/(2sqrt(qcos^2p)))]=$

$=1-(2qcos^2p sin^2p)/(qcos^2p+-sqrt(qcos^2p))(1+-1/(2sqrt(qcos^2p)))$

$(delQ)/(delp)(delP)/(delq)=-(2qcos^2p sin^2p)/(qcos^2p+-sqrt(qcos^2p))(1+-1/(2sqrt(qcos^2p)))$

si ha:

$(delQ)/(delq)(delP)/(delp)-(delQ)/(delp)(delP)/(delq)=1$

[vitunurpo]

Ho ricontrollato
Grazie ancora!