Trasformazioni Canoniche
Ciao ragazzi!
Sto cercando di risolvere questo esercizio:
Dato l'oscillatore iperbolico $ H = p^2/2-omega^2q^2/2 $ determinare la trasformazione $ (q,p)to(Q,P) $ che porta l'hamiltoniano nella forma $ H=omegaP $.
Non so proprio da dove cominciare, bisogna per caso sfruttare le funzioni iperboliche
$ p= a cosh theta $ e $ q= b sinh theta $
Se si come??
Una volta date le traformazioni canoniche è un gioco da ragazzi trovare la generatriche, ma con questo esercizio qui non so proprio come fare..
Vi ringrazio per la risposta!
Sto cercando di risolvere questo esercizio:
Dato l'oscillatore iperbolico $ H = p^2/2-omega^2q^2/2 $ determinare la trasformazione $ (q,p)to(Q,P) $ che porta l'hamiltoniano nella forma $ H=omegaP $.
Non so proprio da dove cominciare, bisogna per caso sfruttare le funzioni iperboliche
$ p= a cosh theta $ e $ q= b sinh theta $
Se si come??
Una volta date le traformazioni canoniche è un gioco da ragazzi trovare la generatriche, ma con questo esercizio qui non so proprio come fare..
Vi ringrazio per la risposta!
Risposte
Ciao fede!
Come credo saprai, il problema che stai affrontando è stato risolto qualche annetto fa dai due signori Hamilton e Jacob (immagino infatti che il nome della relativa teoria sia proprio dovuta ai suoi sviluppatori). In internet e sui libri di testo troverai molte informazioni al riguardo.
In breve, il nostro obiettivo è determinare una nuova coppia di variabili canoniche di modo che l'hamiltoniana trasformata dipenda dalla sola $J$, detta variabile azione (la $\phi$ si chiamerà variabile angolo).
Per prima cosa notiamo che l'hamiltoniana è un integrale primo del moto: non vi è infatti dipendenza esplicita dal tempo e pertanto è una quantità che si conserva con l'evolvere del sistema verso nuovi stati ($H=E=cost$). Possiamo quindi ricavare la curva di livello che lega $q$ a $p$ nello spazio delle fasi al variare del parametro $E$:
$\gamma_E: p = \pm \sqrt{2E+\omega^2 q^2}$.
Dai risultati della suddetta teoria di H-J si sa che la variabile azione è l'integrale della forma differenziale $pdq$ lungo la curva di livello $\gamma_E$:
$$J_E = \frac{1}{2\pi} \oint_{\gamma_E} pdq = \frac{2}{\pi}\int_0^{\frac{\sqrt{2E}}{\omega}} dq\sqrt{2E+\omega^2 q^2} = \frac{2E}{\pi\omega}(\sqrt{2}+\sinh^{-1}1)\equiv \frac{2kE}{\pi\omega}$$.
Riesci a continuare su questa strada? Ricordi come determinare $\phi$?
Come credo saprai, il problema che stai affrontando è stato risolto qualche annetto fa dai due signori Hamilton e Jacob (immagino infatti che il nome della relativa teoria sia proprio dovuta ai suoi sviluppatori). In internet e sui libri di testo troverai molte informazioni al riguardo.
In breve, il nostro obiettivo è determinare una nuova coppia di variabili canoniche di modo che l'hamiltoniana trasformata dipenda dalla sola $J$, detta variabile azione (la $\phi$ si chiamerà variabile angolo).
Per prima cosa notiamo che l'hamiltoniana è un integrale primo del moto: non vi è infatti dipendenza esplicita dal tempo e pertanto è una quantità che si conserva con l'evolvere del sistema verso nuovi stati ($H=E=cost$). Possiamo quindi ricavare la curva di livello che lega $q$ a $p$ nello spazio delle fasi al variare del parametro $E$:
$\gamma_E: p = \pm \sqrt{2E+\omega^2 q^2}$.
Dai risultati della suddetta teoria di H-J si sa che la variabile azione è l'integrale della forma differenziale $pdq$ lungo la curva di livello $\gamma_E$:
$$J_E = \frac{1}{2\pi} \oint_{\gamma_E} pdq = \frac{2}{\pi}\int_0^{\frac{\sqrt{2E}}{\omega}} dq\sqrt{2E+\omega^2 q^2} = \frac{2E}{\pi\omega}(\sqrt{2}+\sinh^{-1}1)\equiv \frac{2kE}{\pi\omega}$$.
Riesci a continuare su questa strada? Ricordi come determinare $\phi$?
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