Trasformazione di gauge

[nirvana2]

Parliamo di elettrodinamica: per trasformazione di gauge si intendono trasformazioni dei potenziali (scalare e vettore) del tipo:

$A -> A'=A+nablapsi$
$phi -> phi'=phi - (dpsi)/dt$
dove $psi$ è una qualunque funzione scalare.

I campi elettrico e magnetico che si possono esprimere in funzione dei potenziali, rimangono invariati se sottoposti ad una trasformazione di gauge.

Inserendo quindi $B=nablaXA$ e $E=-nablaphi -(dA)/dt$ nelle due equazioni non omogenee di Maxwell (di Gauss e di Ampere/Maxwell rispettivamente) otteniamo due equazioni differenziali ACCOPPIATE (cioè entrambe dipendono dai due potenziali, ma una è in funzione della densità di carica, l'altra della densità di corrente). Le scrivo per farmi capire:

$Deltaphi +d/dt(nabla*A)=-rho/epsilon_0$
$DeltaA - 1/c^2*(d^2A)/(dt^2)-nabla(nabla*A+1/c^2*(dphi)/dt)=-mu_0*J$
sono accoppiate come detto sopra.

Ora notate nella seconda equazione il termine $nabla*A+1/c^2*(dphi)/dt$
La condizione $nabla*A+1/c^2*(dphi)/dt=0$ è detta GAUGE DI LORENTZ.
Se mettete qeusto termine uguale a zero vedete che le due equazioni diventano DISACCOPPIATE.
Di solito si dice che vista la libertà della trasformazione di Gauge scritta all'inizio si possono trovare sempre i potenziali che soddisfano la Gauge di Lorentz, e quindi disaccoppiare le equazione, rendendolo cosi piu facili. Infatti le equazioni disaccoppiate si vede subito che sono equazioni d'ONDA (inomogenee).

Però c'è un'altra condizione che di solito si usa: la gauge di Coulomb: $nabla*A=0$
Dovrebbe essere un caso particolare della gauge di Lorentz, però in questo caso si avrebbe $rho=costante$ quindi andrebbe bene solo nel caso statico mi pare.

Ora arrivo alla mia domanda: l'introduzione era d'obbligo. In fin dei conti non mi è molto chiaro perché dobbiamo soddisfare la GAUGE di LORENTZ. È vero che tenendo le equazioni accoppiate probabilmente non andiamo da nessuna parte, però utilizzando quelle condizioni non è che si arrivano a casi particolari e non a generali conclusioni?
Grazie.

[alle.fabbri]

Le conclusioni rimangono generali perchè è come se il campo elettromagnetico fosse dotato di un ulteriore grado di libertà, non fisico ma matematico, che puoi usare a tuo vantaggio per semplificarti i calcoli. Pensa alla risoluzione delle quattro equazioni per i potenziali (tre per $\vec A$ e una per $\phi$) usi prima la libertà di gauge per ottenere equazioni disaccoppiate e poi la seconda libertà di gauge (quella delle funzioni armoniche) per ottenere il vettore d'onda dell'onda e scoprire che le polarizzazioni indipendenti sono solo due. In realtà questo è un fatto piuttosto generale che lega la libertà di gauge di un campo con la sua polarizzazione, cioè lo spin, o meglio alla elicità, cioè la proiezione dello spin lungo la direzione del moto.
Sfruttare la libertà di gauge è quindi contestuale al problema che stai studiando:
- Gauge di Lorentz: onde elettromagnetiche libere.
- Gauge di Coulomb: elettrodinamica di campi e particelle.
- Gauge di Landau (o Simmetrica): utile per risolvere l'equazione di Schroedinger e ottenere le frequenze di precessione degli spin, quello su cui si basa la risonanza magnetica.

Spero di averti chiarito le idee.....ciao!