Trasformazione canonica di meccanica hamiltoniana
Consideriamo il seguente problema:
abbiamo che $T=1/2m \dot q^2$ e $(del U)/(del q)=-q/m$, per cui $U=-q^2/(2m)$. quindi otteniamo la lagrangiana $L=1/2m \dot q^2-q^2/(2m)$ da cui troviamo l'hamiltoniana $H=\dot q p-1/2m \dot q^2+q^2/(2m)$ con $p=m \dot q$.
La trasformazione è canonica in quanto preserva le parentesi di Poisson, infatti:
$[Q,Q]=0=[q,q]$
$[P,Q]=1=[p,q]$
$[P,P]=0=[p,p]$
Abbiamo che $p=pmsqrt((2P)/(1+tan^2Q))$ e $q=pmtan(Q)sqrt((2P)/(1+tan^2Q))$, ora in teoria basta sostituire in $H$ però voelvo sapere come faccio a trovare $\dot q$ inf unzione di $Q$ e $P$?
abbiamo che $T=1/2m \dot q^2$ e $(del U)/(del q)=-q/m$, per cui $U=-q^2/(2m)$. quindi otteniamo la lagrangiana $L=1/2m \dot q^2-q^2/(2m)$ da cui troviamo l'hamiltoniana $H=\dot q p-1/2m \dot q^2+q^2/(2m)$ con $p=m \dot q$.
La trasformazione è canonica in quanto preserva le parentesi di Poisson, infatti:
$[Q,Q]=0=[q,q]$
$[P,Q]=1=[p,q]$
$[P,P]=0=[p,p]$
Abbiamo che $p=pmsqrt((2P)/(1+tan^2Q))$ e $q=pmtan(Q)sqrt((2P)/(1+tan^2Q))$, ora in teoria basta sostituire in $H$ però voelvo sapere come faccio a trovare $\dot q$ inf unzione di $Q$ e $P$?
Risposte
Secondo me, se provi a scrivere l'hamiltoniana nelle variabili iniziali p e q (al momento c'è ancora un \(\dot{q}\) di troppo) ti accorgerai di un qualcosa che renderà la scrittura della hamiltoniana nelle variabili P e Q molto più immediata 
Non so, da quello che ho scritto mi verrebbe da dire che posso sostituire $\dot q=p/m$. In questo caso otterrei $H=(p^2+q^2)/(2m)=P/m$
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