Trasformazione Adiabatica
Ciao a tutti, ultimamente sto preparando un esame di Termodinamica e mi sono trovato davanti
all'impossibilita' di trovare una dimostrazione sull'unicita' di una trasformazione adiabatica: ossia
si tratta di dimostrare che adiabatiche differenti non si intersecano mai tra loro, ossia sono tutte
parallele un po' come le rette(anche se le adiabatiche sono delle curve).Come è possibile dimostrare
questo fatto? E' stato richiesto ad un appello ma non c'è alcun riferimento nè nei libri nè negli appunti
presi a lezione: e anche facendo ricerche in rete nessun risultato....
grazie a chi mi risponderà
all'impossibilita' di trovare una dimostrazione sull'unicita' di una trasformazione adiabatica: ossia
si tratta di dimostrare che adiabatiche differenti non si intersecano mai tra loro, ossia sono tutte
parallele un po' come le rette(anche se le adiabatiche sono delle curve).Come è possibile dimostrare
questo fatto? E' stato richiesto ad un appello ma non c'è alcun riferimento nè nei libri nè negli appunti
presi a lezione: e anche facendo ricerche in rete nessun risultato....
grazie a chi mi risponderà
Risposte
Mah, è una domanda un po' bastarda. Questa è geometria non termodinamica.
Le adiabatiche sono a $T$ costante e sono delle iperboli di pressione e volume.
Cioè:
$pV = nRT = k$
A k costante, p e V descrivono una iperbole.
Ora la domanda è:
date due temperature diverse $k$ e $k'$ dimostrare che non esistono due coppie $(p,V) = (p', V') : (pV=k,\ p'V'=k')$
Si può dimostrare in modo abbastanza spiccio, dicendo che a parità di pressione $p=p'$
la differenza tra i volumi è sempre diversa da zero, cioè:
$V-V'=k/p -(k')/p=(k-k')/p$
Ora:
$k' \ne k \Rightarrow V' \ne V$
Una dim. un po' più completa deve tirare in ballo i gradienti.
Mah, una vera domanda di termodinamica:
basta dire che le iperboli non si intersecano mai.
Le adiabatiche sono a $T$ costante e sono delle iperboli di pressione e volume.
Cioè:
$pV = nRT = k$
A k costante, p e V descrivono una iperbole.
Ora la domanda è:
date due temperature diverse $k$ e $k'$ dimostrare che non esistono due coppie $(p,V) = (p', V') : (pV=k,\ p'V'=k')$
Si può dimostrare in modo abbastanza spiccio, dicendo che a parità di pressione $p=p'$
la differenza tra i volumi è sempre diversa da zero, cioè:
$V-V'=k/p -(k')/p=(k-k')/p$
Ora:
$k' \ne k \Rightarrow V' \ne V$
Una dim. un po' più completa deve tirare in ballo i gradienti.
Mah, una vera domanda di termodinamica:
basta dire che le iperboli non si intersecano mai.
Grazie mille ma io cercavo una dimostrazione un po' meno geometrica e piu' concettuale ^^
"Quinzio":
Mah, è una domanda un po' bastarda. Questa è geometria non termodinamica.
Le adiabatiche sono a $T$ costante e sono delle iperboli di pressione e volume.
LE adiabatiche non sono a temperatura costante.. altrimenti sarebbero delle isoterme.Appena riesco provo a rispondere alla domanda.
Nella domanda occorrerebbe specificare a che piano ci si riferisce (p-v? T-s? ecc...) Comunque la risposta è banale in ogni caso.
Nel piano p-v le adiabatiche (reversibili, altrimenti la domanda non ha senso) sono date dall'espressione
$p v^gamma="cost"$ per cui se avessimo $p$ e $v$ uguali le sue adiabatiche avrebbero la stessa costante e quindi sarebbero coincidenti di fatto.
Questo per gas perfetti, nel caso più generale possibile la deduzione si può far in modo ancora più semplice: le adiabatiche sono isoentropiche per cui se due punti hanno la stessa $p$ e $v$ quando si intersecano devono avere anche la stessa entropia, quindi sarebbero sulla stessa adiabatica (isoentropica). Perché devono avere la stessa entropia? Perché l'entropia è una variabile di stato. Alla fine la risposta sintetica è proprio in questa ultima frase.
Nel piano p-v le adiabatiche (reversibili, altrimenti la domanda non ha senso) sono date dall'espressione
$p v^gamma="cost"$ per cui se avessimo $p$ e $v$ uguali le sue adiabatiche avrebbero la stessa costante e quindi sarebbero coincidenti di fatto.
Questo per gas perfetti, nel caso più generale possibile la deduzione si può far in modo ancora più semplice: le adiabatiche sono isoentropiche per cui se due punti hanno la stessa $p$ e $v$ quando si intersecano devono avere anche la stessa entropia, quindi sarebbero sulla stessa adiabatica (isoentropica). Perché devono avere la stessa entropia? Perché l'entropia è una variabile di stato. Alla fine la risposta sintetica è proprio in questa ultima frase.
Le adiabatiche (reversibili) sono curve ad entropia costante. Due adiabatiche sono diverse se hanno valori dell'entropia diversi, e siccome questa è una funzione di stato non può esserci un punto di intersezione tra due di esse.
interessa anche a me questa domanda.
come si può procedere senza toccare il concetto di entropia? è possibile?
grazie
come si può procedere senza toccare il concetto di entropia? è possibile?
grazie
Probabilmente non hai letto l'intervento di Faussone...
Non capisco: perchè in quanto funzione di stato non è possibile un intersezione tra due di queste?
"MattiaAnimeRex":
Non capisco: perchè in quanto funzione di stato non è possibile un intersezione tra due di queste?
Funzione di stato significa che ogni stato ha la sua entropia. Ad uno stato non possono corrispondere due entropie diverse (questo accadrebbe in un punto di intersezione).
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