Trasformazione adiabatica

[claudio_p88]

in un cilindro di motore Diesel, l'aria inizialmente alla pressione atmosfericae alla temperatura di 310K occupa un volume di 0,42 l. Essa viene compressa in modo quasi statico(trasformazione reversibile) e adiabatico fino a raggiungere un volume di 0,028l. Determinare i valori finali ti pressione e temperature. Determinare inoltre il lavoro compiuto dall'aria e la variazione di energia interna. \(\displaystyle \lambda=1.4 \)
Usando l'equazione di Poisson, si ha: \(\displaystyle P_f=P_0(v_0/v_f)^{\lambda}=4500kPa \)
\(\displaystyle T_f=T_0(V_0/V_f)^{\lambda-1}=920k \)
ora ho qualche difficoltà nel calcolarmi il lavoro so che \(\displaystyle \int pdv\), come si svolge tale integrale? grazie in anticipo per la spiegazione

[claudio_p88]

Ragazzi per favore un suggerimento

[mathbells]

"claudio_p88":come si svolge tale integrale?

Il lavoro fatto dal sistema in una adiabatica reversibile si calcola in modo semplice tramite il primo principio:

\(\displaystyle \Delta U=Q-L\quad \Rightarrow \quad \Delta U=-L \quad \Rightarrow \quad L=-\Delta U = nc_v(T_0-T_f)\)

Nel tuo caso, l'indice adiabatico $\gamma =1,4$ corrisponde a quello di un gas biatomico e quindi $c_v=\frac{5}{2}R$, mentre $n$ lo ricavi dall'equazione di stato con i valori iniziali di $P$, $V$ e $T$.

Venendo alla tua domanda, la formula sopra si può anche ricavare applicando direttamente la definizione di lavoro $L=\int pdV$ ed usando l'equazione di Poisson:

\(\displaystyle L=\int_{V_0}^{V_f} pdV =\int \frac{p_0V_0^\gamma}{V^\gamma}dV = p_0V_0^\gamma \int \frac{1}{V^\gamma}dV =p_0V_0^\gamma \frac{V_f^{1-\gamma}-V_0^{1-\gamma}}{1-\gamma}\)

Osservando che $p_0V_0^\gamma$ si può anche scrivere come \(\displaystyle p_f V_f^\gamma \), e ricordando che dall'equazione di stato si ha che $PV=nRT$, si trova

\(\displaystyle L=nR\frac{T_f-T_0}{1-\gamma} \).

Infine, ricordando che $\gamma =\frac{c_p}{c_v}$, con qualche passaggio ricavi la relazione cercata $L=nc_v(T_0-T_f)$.

[claudio_p88]

Grazie mille ora ho capito gentilissimo