Trasformata di Fourier di un integrale
Ciao a tutti, complimenti a chi ha ideato questo bel forum.
Il problema che volevo porvi e' il seguente. La trasformata di Fourier della funzione
\[ G(x) = \int_{-\infty}^x \ f(s) \ ds \] ,
dove $G(x)$ e' da ritenersi sommabile, e' data da
\[\hat{G}(k) \equiv F [G(x)] = -\frac{\hat{f}}{ik} \]
dove $\hat{f}$ e' la trasformata di Fourier di $f$
Ecco la parte che mi lascia perplesso: dimostrare che, se $G(x)$ invece non e' sommabile, vale
\[\hat{G}(k) = -\frac{\hat{f}}{ik} + \sqrt{2\pi} \ C \ \delta(k) \] ,
dove $\delta$ e' la funzione delta di Dirac e $C$ una costante per cui vale
\[\int_{-\infty}^{+\infty} ( f(s) \ - \ C) \ ds = 0 \]
Ho trovato questo risultato su un sito ma senza dimostrazione. Qualcuno sa come risolvere il problema?
Ciao a tutti
e grazie
esmiro
Il problema che volevo porvi e' il seguente. La trasformata di Fourier della funzione
\[ G(x) = \int_{-\infty}^x \ f(s) \ ds \] ,
dove $G(x)$ e' da ritenersi sommabile, e' data da
\[\hat{G}(k) \equiv F [G(x)] = -\frac{\hat{f}}{ik} \]
dove $\hat{f}$ e' la trasformata di Fourier di $f$
Ecco la parte che mi lascia perplesso: dimostrare che, se $G(x)$ invece non e' sommabile, vale
\[\hat{G}(k) = -\frac{\hat{f}}{ik} + \sqrt{2\pi} \ C \ \delta(k) \] ,
dove $\delta$ e' la funzione delta di Dirac e $C$ una costante per cui vale
\[\int_{-\infty}^{+\infty} ( f(s) \ - \ C) \ ds = 0 \]
Ho trovato questo risultato su un sito ma senza dimostrazione. Qualcuno sa come risolvere il problema?
Ciao a tutti
e grazie
esmiro
Risposte
Mah... integrando per parti formalmente ho ottenuto, salvo errori, questo risultato (indipendente dalla sommabilità di $G$):
\[\hat{G}(k)= -\frac{\hat{f}(k)}{i k}+\frac{e^{i k \infty }}{i k} G(\infty )\]
l'ultimo termine, se $G$ è sommabile, sparisce. Altrimenti si dovrebbe riuscire a dimostrare (visto il risultato) che, sotto certe condizioni, è una delta di Dirac. Ho provato con la condizione da te posta in fondo che definisce $C$, ma non mi viene una delta...
\[\hat{G}(k)= -\frac{\hat{f}(k)}{i k}+\frac{e^{i k \infty }}{i k} G(\infty )\]
l'ultimo termine, se $G$ è sommabile, sparisce. Altrimenti si dovrebbe riuscire a dimostrare (visto il risultato) che, sotto certe condizioni, è una delta di Dirac. Ho provato con la condizione da te posta in fondo che definisce $C$, ma non mi viene una delta...
Ciao Arturo,
grazie della risposta. Purtroppo però, il problema sta proprio lì. Siamo d'accordo sul fatto che il risultato senza delta è valido per funzioni che si annullano all'infinito. Non riesco a capire come dimostrare il caso esteso alle distribuzioni, con $G$ che non si annulla. Non ho trovato alcun libro in cui si discuta il problema di calcolare la trasformata di un integrale. Il risultato che ho con la delta proviene da un sito.
Esmiro
grazie della risposta. Purtroppo però, il problema sta proprio lì. Siamo d'accordo sul fatto che il risultato senza delta è valido per funzioni che si annullano all'infinito. Non riesco a capire come dimostrare il caso esteso alle distribuzioni, con $G$ che non si annulla. Non ho trovato alcun libro in cui si discuta il problema di calcolare la trasformata di un integrale. Il risultato che ho con la delta proviene da un sito.
Esmiro
Ok. Forse ci siamo.
Partiamo dal risultato stabilito precedentemente:
$ \hat{G}(k)=-\frac{\hat{f}(k)}{ik} + \frac{e^{ik\infty}}{ik} G(\infty)$.
Sapendo che:
$ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\pi}\frac{e^{ik n}}{ik}dk=1$
per ogni $n$, possiamo affermare che:
$ \frac{e^{ik\infty}}{ik}=\pi \delta(k)$.
Il risultato finale è quindi:
$ \hat{G}(k)=-\frac{\hat{f}(k)}{ik} +\pi G(\infty) \delta(k)$.
Fuochino
Partiamo dal risultato stabilito precedentemente:
$ \hat{G}(k)=-\frac{\hat{f}(k)}{ik} + \frac{e^{ik\infty}}{ik} G(\infty)$.
Sapendo che:
$ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\pi}\frac{e^{ik n}}{ik}dk=1$
per ogni $n$, possiamo affermare che:
$ \frac{e^{ik\infty}}{ik}=\pi \delta(k)$.
Il risultato finale è quindi:
$ \hat{G}(k)=-\frac{\hat{f}(k)}{ik} +\pi G(\infty) \delta(k)$.
Fuochino
Sono commosso, mi hai risposto alle 6 del mattino! 
Una rappresentazione della delta di Dirac e'
\[ \delta(x) = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\sin(nx)}{\pi x} \]
con il limite che va fatto dopo aver integrato. Sei sicuro che valga la rappresentazione che hai scritto? Perche' formalmente mi sembra che quell'integrale non esista neanche (c'e' una singolarita' in k=0).
Una rappresentazione della delta di Dirac e'
\[ \delta(x) = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\sin(nx)}{\pi x} \]
con il limite che va fatto dopo aver integrato. Sei sicuro che valga la rappresentazione che hai scritto? Perche' formalmente mi sembra che quell'integrale non esista neanche (c'e' una singolarita' in k=0).
Insonnia da troppa cioccolata L'integrale funziona. Infatti:
$ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{sin(x)}{x}dx=\pi$.
Per il discorso sulla delta, quella definizione mi sembra si trovi anche in letteratura, a parte le solite costanti moltiplicative.
L'integrale funziona. Infatti:$ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{sin(x)}{x}dx=\pi$.
Per il discorso sulla delta, quella definizione mi sembra si trovi anche in letteratura, a parte le solite costanti moltiplicative.
Ma son due integrali diversi!
$ \frac{sin(x)}{x} $ e' uguale a $1$ in $x=0$ ed e' percio' una funzione analitica per ogni $x$ reale. Per questo motivo l'integrale esiste e, quando integri, puoi passare nel piano complesso, deformare il cammino di integrazione aggirando l'origine e solo allora sei autorizzato a scrivere il seno come somma di esponenziali complessi e spezzare l'integrale.
Al contrario, l'integrale
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{is}}{s} \ ds \]
non esiste, perche' $\frac{e^{is}}{s}$ ha una singolarita' in $s=0$, che si trova sul cammino di integrazione!
Sei d'accordo su questo?
$ \frac{sin(x)}{x} $ e' uguale a $1$ in $x=0$ ed e' percio' una funzione analitica per ogni $x$ reale. Per questo motivo l'integrale esiste e, quando integri, puoi passare nel piano complesso, deformare il cammino di integrazione aggirando l'origine e solo allora sei autorizzato a scrivere il seno come somma di esponenziali complessi e spezzare l'integrale.
Al contrario, l'integrale
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{is}}{s} \ ds \]
non esiste, perche' $\frac{e^{is}}{s}$ ha una singolarita' in $s=0$, che si trova sul cammino di integrazione!
Sei d'accordo su questo?
Io mi basavo su questo (con $k$ reale):
$ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\pi}\frac{e^{ik n}}{ik}dk=1$
che mi sembra sia corretto...
$ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\pi}\frac{e^{ik n}}{ik}dk=1$
che mi sembra sia corretto...
Opps. Mi accorgo adesso che coseno di k fratto k divege in zero.
Ritiro tutto quanto e mi dò definitivamente alla flosofia... questa è roba per menti fresche. Sorry.
Ritiro tutto quanto e mi dò definitivamente alla flosofia... questa è roba per menti fresche. Sorry.
Figurati, ogni tentativo è ben accetto!
Ho fatto un altro tentativo per risolvere l'integrale che ho scritto sopra con il solito cammino chiuso nel piano complesso che esclude il centro e, facendo i limiti (raggio inrterno tendente a zero e raggio esterno tendente all'infinito). mi si riconferma il risultato...
Tu dici "risolvere l'integrale" ma mi trovo in disaccordo già su questo punto.
Una condizione necessaria perchè un integrale abbia senso (e quindi si possa, appunto, risolvere) è che la funzione non abbia singolarità lungo il cammino di integrazione. Per esempio, sarebbe un errore scrivere
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \ \frac{dx}{x^2} \ = \ \left[-\frac{1}{x}\right]_{-\infty}^{+\infty} = 0 \]
Perchè il punto $x=0$, che appartiene all'intervallo su cui si vorrebbe integrare, non appartiene al dominio di $\frac{1}{x^2}$ .
Allo stesso modo, $\frac{e^{ikx}}{x}$ non può essere integrata.
$\frac{\sin(x)}{x}$ invece sì, perchè è una funzione tende in modo continuo da entrambi i lati a $1$ quando $x\rightarrow 0$.
A questo punto, visto che è una funzione analitica, puoi deformare il cammino e calcolare l'integrale, scrivendo il seno come somma di esponenziali ecc. ecc.
Se non sei d'accordo con me, ti prego di scrivermi come hai integrato.
Una condizione necessaria perchè un integrale abbia senso (e quindi si possa, appunto, risolvere) è che la funzione non abbia singolarità lungo il cammino di integrazione. Per esempio, sarebbe un errore scrivere
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \ \frac{dx}{x^2} \ = \ \left[-\frac{1}{x}\right]_{-\infty}^{+\infty} = 0 \]
Perchè il punto $x=0$, che appartiene all'intervallo su cui si vorrebbe integrare, non appartiene al dominio di $\frac{1}{x^2}$ .
Allo stesso modo, $\frac{e^{ikx}}{x}$ non può essere integrata.
$\frac{\sin(x)}{x}$ invece sì, perchè è una funzione tende in modo continuo da entrambi i lati a $1$ quando $x\rightarrow 0$.
A questo punto, visto che è una funzione analitica, puoi deformare il cammino e calcolare l'integrale, scrivendo il seno come somma di esponenziali ecc. ecc.
Se non sei d'accordo con me, ti prego di scrivermi come hai integrato.
L'integrale è:
$ \int_{\gamma_1+\gamma_2+\gamma_3+\gamma_4} \frac{e^{izn}} {iz}dz=0$,
dove:
$\gamma_1$ è il segmento sull'asse delle $x$ del piano complesso da $-R$ a $-\epsilon$
$\gamma_2$ è la semicirconferenza centrata nell'origine del piano complesso di raggio $\epsilon$
$\gamma_3$ è il segmento sull'asse delle $x$ da $\epsilon$ a $R$
$\gamma_4$ è la semicirconferenza centrata nell'origine di raggio $R$.
Facendo il limite $ \epsilon \rightarrow 0, R \rightarrow +\infty$ si ottiene il risultato.
Il termine divergente $\frac{cos nx}{x}$ è dispari. per questo motivo, integrando in modo simmetrico si ottiene 0 e rimane solo l'integrale di $\frac{sin nx}{x}$ che invece converge e definisce la delta di Dirac.
Sinceramente, da fisico, io sarei soddissfatto del risultato. Magari, se posti in Analisi, potrai trovare giudizi più analitici
$ \int_{\gamma_1+\gamma_2+\gamma_3+\gamma_4} \frac{e^{izn}} {iz}dz=0$,
dove:
$\gamma_1$ è il segmento sull'asse delle $x$ del piano complesso da $-R$ a $-\epsilon$
$\gamma_2$ è la semicirconferenza centrata nell'origine del piano complesso di raggio $\epsilon$
$\gamma_3$ è il segmento sull'asse delle $x$ da $\epsilon$ a $R$
$\gamma_4$ è la semicirconferenza centrata nell'origine di raggio $R$.
Facendo il limite $ \epsilon \rightarrow 0, R \rightarrow +\infty$ si ottiene il risultato.
Il termine divergente $\frac{cos nx}{x}$ è dispari. per questo motivo, integrando in modo simmetrico si ottiene 0 e rimane solo l'integrale di $\frac{sin nx}{x}$ che invece converge e definisce la delta di Dirac.
Sinceramente, da fisico, io sarei soddissfatto del risultato. Magari, se posti in Analisi, potrai trovare giudizi più analitici
Io non credo che l'inesattezza della tua integrazione sia puramente formale, ossia una pignoleria da matematici. Secondo me si tratta di un vero e proprio errore.
Inoltre, purtroppo mi serve una soluzione il più rigorosa possibile perchè dovrò metterla in un'esercitazione.
In ogni caso, molte grazie per il tempo che mi hai dedicato,
buona serata!
Esmiro
Inoltre, purtroppo mi serve una soluzione il più rigorosa possibile perchè dovrò metterla in un'esercitazione.
In ogni caso, molte grazie per il tempo che mi hai dedicato,
buona serata!
Esmiro
D'accordo. Allora proviamo a rovesciare il problema.
Se $G$ non è sommabile, dovrà saltare fuori una delta di Dirac. Ebbene introduciamo euristicamente la soluzione:
$ \hat{G}(k)=-\frac{\hat{f}(k)}{ik}+a\delta(k)$
dove $a$ è una costante. Poi facciamo una bella antitrasformata e vediamo se funziona
Siccome l'antitrasformata della delta è una costante, le cose povrebbero andare a posto
Se $G$ non è sommabile, dovrà saltare fuori una delta di Dirac. Ebbene introduciamo euristicamente la soluzione:
$ \hat{G}(k)=-\frac{\hat{f}(k)}{ik}+a\delta(k)$
dove $a$ è una costante. Poi facciamo una bella antitrasformata e vediamo se funziona
Siccome l'antitrasformata della delta è una costante, le cose povrebbero andare a posto
Ho provato anche nel modo che ho postato sopra, ma gli infiniti spuntano come i funghi... mi arrendo.
Domanda. Perchè lavorare con funzioni non sommabili, quando è già fatica farlo con quelle sommabili?
Domanda. Perchè lavorare con funzioni non sommabili, quando è già fatica farlo con quelle sommabili?
Fai bene ad arrenderti, non sono neanche certo al cento per cento che quella relazione sia vera. Come ho detto, chi me l'ha proposta l'ha trovata su un sito (uno solo).
Valeva comunque la pena provarci, se non altro per tenersi in esercizio
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