Trasformata di Fourier
Ciao ragazzi,
volevo chiedervi un chiarimento sul teorema di inversione della trasformata di Fourier. Sappiamo che se una funzione f(t) appartiene ad L^1(R) sicuramente può essere definita la sua trasformata di Fourier, ma nulla si può dire sulla sua antitrasformata perché non sappiamo se anche essa è appartenente a L^1. Quindi il teorema di inversione della trasformata di Fourier dice semplicemente che se anche la trasformata di f(t) appartiene a L^1(t) allora può essere definita la sua antitrasformata?
volevo chiedervi un chiarimento sul teorema di inversione della trasformata di Fourier. Sappiamo che se una funzione f(t) appartiene ad L^1(R) sicuramente può essere definita la sua trasformata di Fourier, ma nulla si può dire sulla sua antitrasformata perché non sappiamo se anche essa è appartenente a L^1. Quindi il teorema di inversione della trasformata di Fourier dice semplicemente che se anche la trasformata di f(t) appartiene a L^1(t) allora può essere definita la sua antitrasformata?
Risposte
sì so che lo spazio di Schwartz è lo spazio delle funzioni a decrescita rapida e che se una funzione appartiene a tale spazio sicuramente consente di definire sia la trasformata che appartiene ancora a tale spazio e quindi sia la sua antitrasformata. Quindi riformulo meglio la mia domanda: come si può enunciare il teorema di inversione della trasformata di fourier, sfruttando le funzioni di schwartz o semplicemente supponendo che anche la trasformata di fourier sia appartenente a L^1?
@Armando: Non è questione di spazio di Schwartz, l'OP si è messo in una situazione dell'analisi classica di Fourier.
@lorsalva: Non esattamente così: il teorema dice che, se \(f\in L^1\) e \(\hat{f}\in L^1\) allora trasformando e antitrasformando in senso classico (ovvero mediante la trasformazione integrale che ben sai) si riottiene \(f\). Quindi, non solo l'antitrasformata classica è ben definita (essa richiede che la funzione da antitrasformare sia \(L^1\)), ma è anche l'inversa della trasformata classica.
In realtà, come dice Armando, in seguito c'è stato molto lavoro sulla questione e un tale a nome Schwartz ha mostrato che, a patto di abbandonare il quadro classico, la trasformata e l'antitrasformata sono definite "sempre" e sono "sempre" una l'inversa dell'altra. In questo nuovo contesto tutta la teoria diventa assai più trasparente.
@lorsalva: Non esattamente così: il teorema dice che, se \(f\in L^1\) e \(\hat{f}\in L^1\) allora trasformando e antitrasformando in senso classico (ovvero mediante la trasformazione integrale che ben sai) si riottiene \(f\). Quindi, non solo l'antitrasformata classica è ben definita (essa richiede che la funzione da antitrasformare sia \(L^1\)), ma è anche l'inversa della trasformata classica.
In realtà, come dice Armando, in seguito c'è stato molto lavoro sulla questione e un tale a nome Schwartz ha mostrato che, a patto di abbandonare il quadro classico, la trasformata e l'antitrasformata sono definite "sempre" e sono "sempre" una l'inversa dell'altra. In questo nuovo contesto tutta la teoria diventa assai più trasparente.
e quindi sfruttando il teorema di plancherel si può definire anche la trasformata di Fourier in \(L^2\)?
o meglio, quando introduciamo l'operatore di Fourier-Plancherel?
o meglio, quando introduciamo l'operatore di Fourier-Plancherel?
???
non capisco il senso di questa domanda. Mi pare che tu stia facendo un po' di pressapochismo, cerca di essere più preciso (con te stesso prima ancora che qui sul forum).
non capisco il senso di questa domanda. Mi pare che tu stia facendo un po' di pressapochismo, cerca di essere più preciso (con te stesso prima ancora che qui sul forum).
Sì, credo di aver sbagliato nel cambiare repentinamente il discorso
per quanto riguarda il teorema dell'inversione ho capito;
ora invece volevo concentrarmi sul teorema di plancherel: come si ottiene l'operatore di fourier-plancherel su \(L^2\) sfruttanto tale teorema?
per quanto riguarda il teorema dell'inversione ho capito;
ora invece volevo concentrarmi sul teorema di plancherel: come si ottiene l'operatore di fourier-plancherel su \(L^2\) sfruttanto tale teorema?
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