Traiettoria seguita da una massa puntiforme soggetta a due forze attrattive
Ciao ragazzi, sono alle prese con un esercizio di cui sinceramente ho capito ben poco... spero vivamente che qualcuno con le idee più fresche riesca a darmi una mano 
. Allora:
"Si abbia una massa puntiforme m sospesa ad un punto fisso O da una molla di costante elastica K avente lunghezza a riposo nulla. La massa della molla sia trascurabile ed il sistema sia all'inizio fermo nella sua posizione di equilibrio stabile. In un dato istante un impulso I, inclinato a 45° rispetto all'orizzontale, viene impartito alla massa m. Determinare la quota minima (rispetto ad O) raggiunta dalla massa m durante il successivo moto. Come descrivereste il tipo di traiettoria percorsa dalla massa m? Determinare la massima distanza da O raggiunta dalla massa m durante il suo moto."
Allego un'immagine per maggior chiarezza: http://www2.ing.unipi.it/g.triggiani/fi ... 4-1213.pdf
Il massimo che sono riuscito a fare è dedurre che il moto si deve svolgere nel piano della figura (è abbastanza ovvio), quindi ho preso un riferimento cartesiano x-y con origine nel punto O. Dopo di che ho applicato il th. dell'impulso alla massa m ricavando la velocità che la massa ha non appena intraprende il suo moto, in funzione del modulo dell'impulso I.
Poi però mi blocco, l'unica cosa che mi viene in mente è applicare la conservazione dell'energia meccanica dato che non vi sono forze dissipative oppure applicare la II legge di Newton in forma angolare scegliendo come polo il punto , ma senza risultati..
Grazie mille in anticipo!
. Allora:"Si abbia una massa puntiforme m sospesa ad un punto fisso O da una molla di costante elastica K avente lunghezza a riposo nulla. La massa della molla sia trascurabile ed il sistema sia all'inizio fermo nella sua posizione di equilibrio stabile. In un dato istante un impulso I, inclinato a 45° rispetto all'orizzontale, viene impartito alla massa m. Determinare la quota minima (rispetto ad O) raggiunta dalla massa m durante il successivo moto. Come descrivereste il tipo di traiettoria percorsa dalla massa m? Determinare la massima distanza da O raggiunta dalla massa m durante il suo moto."
Allego un'immagine per maggior chiarezza: http://www2.ing.unipi.it/g.triggiani/fi ... 4-1213.pdf
Il massimo che sono riuscito a fare è dedurre che il moto si deve svolgere nel piano della figura (è abbastanza ovvio), quindi ho preso un riferimento cartesiano x-y con origine nel punto O. Dopo di che ho applicato il th. dell'impulso alla massa m ricavando la velocità che la massa ha non appena intraprende il suo moto, in funzione del modulo dell'impulso I.
Poi però mi blocco, l'unica cosa che mi viene in mente è applicare la conservazione dell'energia meccanica dato che non vi sono forze dissipative oppure applicare la II legge di Newton in forma angolare scegliendo come polo il punto , ma senza risultati..
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Non c'è proprio nessuno che abbia un'idea?
In generale la traiettoria è ellittica e il centro dell'ellisse è la posizione di equilibrio stabile.
P.S.
Quali sarebbero le due forze attrattive come da titolo? Se intendi le due componenti della forza elastica è un po' fuorviante.
P.S.
Quali sarebbero le due forze attrattive come da titolo? Se intendi le due componenti della forza elastica è un po' fuorviante.
Facendo un diagramma di corpo libero della massa le due forze attrattive che intendo sono quella di attrazione terrestre e quella di richiamo elastica della molla.
Per descrivere la traiettoria, fissato un riferimento di assi cartesiani con origine nel punto O vorrei trovarmi una funzione nelle due incognite rappresentanti le coordinate della massa in un dato istante. Una volta trovata questa funzione, magari con un po' di analisi I e geometria analitica trovarmi le distanze richieste ovviamente tenendo conto della validità che avrà tale funzione, cioè fin nel punto in cui la massa si fermerà istantaneamente. Il problema è trovare questa funzione..non riesco a saltarne fuori!
Per descrivere la traiettoria, fissato un riferimento di assi cartesiani con origine nel punto O vorrei trovarmi una funzione nelle due incognite rappresentanti le coordinate della massa in un dato istante. Una volta trovata questa funzione, magari con un po' di analisi I e geometria analitica trovarmi le distanze richieste ovviamente tenendo conto della validità che avrà tale funzione, cioè fin nel punto in cui la massa si fermerà istantaneamente. Il problema è trovare questa funzione..non riesco a saltarne fuori!
Qui siamo in presenza di un caso particolare. Se vuoi le equazioni parametriche del moto, basta integrare con le opportune condizioni iniziali. Orientando l'asse x verso destra e l'asse y verso l'alto dovresti ottenere:
$x=sqrt2/2v_0/\omegasin\omegat$
$y=-sqrt2/2v_0/\omegasin\omegat-g/\omega^2$
Se vuoi l'equazione della traiettoria, basta eliminare il tempo:
$x+y+g/\omega^2=0$
Si tratta di un moto armonico lungo la retta individuata dalla direzione della velocità iniziale.
Ok.
$x=sqrt2/2v_0/\omegasin\omegat$
$y=-sqrt2/2v_0/\omegasin\omegat-g/\omega^2$
Se vuoi l'equazione della traiettoria, basta eliminare il tempo:
$x+y+g/\omega^2=0$
Si tratta di un moto armonico lungo la retta individuata dalla direzione della velocità iniziale.
"arnold123":
...le due forze attrattive che intendo sono quella di attrazione terrestre e quella di richiamo elastica della molla.
Ok.
Scusa la colossale ignoranza ma ti chiedo troppo se mi spiegassi passo passo come sei arrivato a quelle equazioni? Proprio mi sfugge il modo di ragionare su questo esercizio.
Dubito fortemente che il moto sia "regolare". Quell'oggetto è come un pendolo che si allunga e si accorcia continuamente, e il moto molto probabilmente è caotico.
In ogni caso bisogna tenere conto della conservazione del momento angolare e dell'energia.
In ogni caso bisogna tenere conto della conservazione del momento angolare e dell'energia.
conservazione del momento angolare rispetto al polo O ? Se si io ci ho già provato ma con i calcoli sinceramente non arrivo a granché. Comunque il fatto che la traiettoria non fosse rettilinea un po' me lo aspettavo, visto che anche ad intuito la componente verticale della velocità è influenzata dall'accelerazione verticale offerta sia dalla forza di gravità, sia dalla componente verticale della forza di richiamo della molla e la componente orizzontale della velocità influenzata dall'accelerazione offerta dalla componente orizzontale della forza di richiamo. E sinceramente un legame "lineare" tra queste grandezze non ce lo vedo.
Queste comunque sono solo intuizioni senza il benché minimo calcolo..
Queste comunque sono solo intuizioni senza il benché minimo calcolo..
Io ho provato a buttare 2 equazioni,
Non so come sia arrivato Gordon al risultato e mi piacerebbe saperlo.
Il sistema e' a 2 gdl. La lunghezza della molla $L$ e l'angolo che essa forma con la verticale $\theta$ individuano la posizione della massa in ogni istante.
L'energia cinetica del corpo in punto di coordinate $L, \theta$ e'
$E_k=1/2m\dotL^2+1/2mL^2\dot\theta^2$
Il lavoro della forza peso e della molla per uno spostamento infinitesimo $dL, d\theta$ e':
$dw=-mgsin\thetaLd\theta+mgcos\thetadL-kLdL=(mgcos\theta-kL)dL-mgLsin\thetad\theta$.
Allora, per il buon Lagrange : $ d/dt({\partialE_k}/{\partialdotq))- {\partialE_k}/{\partialq)={\partialw}/{\partialq) $
Eseguendo tutte le derivate, mi risulta:
(1) $m\ddotL-mL\dot\theta^2=mgcos\theta-kL$
(2) $2mL\dot\theta\dotL+mL^2\ddot\theta=-mgLsin\theta$
Le condizioni iniziali (dopo la sprangata) sono:
$\theta(0)=0$
$\dot\theta(0)={Isqrt{2}k}/{2m^2g}$
$\dotL(0)={Isqrt{2}}/{2m}$
$L(0)={mg}/{k}$
Non credo che il sistema formato da (1) e (2) sia risolvibile facilmente.
Mi fate sapere?
Non so come sia arrivato Gordon al risultato e mi piacerebbe saperlo.
Il sistema e' a 2 gdl. La lunghezza della molla $L$ e l'angolo che essa forma con la verticale $\theta$ individuano la posizione della massa in ogni istante.
L'energia cinetica del corpo in punto di coordinate $L, \theta$ e'
$E_k=1/2m\dotL^2+1/2mL^2\dot\theta^2$
Il lavoro della forza peso e della molla per uno spostamento infinitesimo $dL, d\theta$ e':
$dw=-mgsin\thetaLd\theta+mgcos\thetadL-kLdL=(mgcos\theta-kL)dL-mgLsin\thetad\theta$.
Allora, per il buon Lagrange : $ d/dt({\partialE_k}/{\partialdotq))- {\partialE_k}/{\partialq)={\partialw}/{\partialq) $
Eseguendo tutte le derivate, mi risulta:
(1) $m\ddotL-mL\dot\theta^2=mgcos\theta-kL$
(2) $2mL\dot\theta\dotL+mL^2\ddot\theta=-mgLsin\theta$
Le condizioni iniziali (dopo la sprangata) sono:
$\theta(0)=0$
$\dot\theta(0)={Isqrt{2}k}/{2m^2g}$
$\dotL(0)={Isqrt{2}}/{2m}$
$L(0)={mg}/{k}$
Non credo che il sistema formato da (1) e (2) sia risolvibile facilmente.
Mi fate sapere?
A me viene da pensare alla composizione di due moti armonici su due assi ortogonali , e viene da pensare alle curve di Lissajous , di cui comunque fa parte anche l'ellisse ….
ProfK , io conosco gordnbrn, e ti assicuro che è uno buono, anzi ottimo….
ProfK , io conosco gordnbrn, e ti assicuro che è uno buono, anzi ottimo….
"navigatore":
A me viene da pensare alla composizione di due moti armonici su due assi ortogonali , e viene da pensare alle curve di Lissajous , di cui comunque fa parte anche l'ellisse ….
ProfK , io conosco gordnbrn, e ti assicuro che è uno buono, anzi ottimo….
Lo conosco anche io e non lo metto in dubbio. Per quello mi piacerebbe sapere come ha svolto i calcoli, magari ha visto una soluzione che mi fa uscire da quella fogna di 2 equazioni che ho trovato.
Non mi pare un ellisse "regolare", ho l'impressione che la massa "attraversi" la ellisse con una sorta di onda.
Le equazioni differenziali che governano il moto sono:
$\{(mddot x=-m\omega^2x),(mddot y=-m\omega^2y-mg):} rarr \{(ddot x+\omega^2x=0),(ddot y+\omega^2y+g=0):}$
L'integrale generale è:
$\{(x(t)=Acos\omegat+Bsen\omegat),(y(t)=Ccos\omegat+Dsin\omegat-g/\omega^2):}$
Le condizioni iniziali sono:
$\{(x(0)=0),(dot x(0)=sqrt2/2v_0):} ^^ \{(y(0)=-g/\omega^2),(dot y(0)=-sqrt2/2v_0):}$
L'integrale particolare è:
$x=sqrt2/2v_0/\omegasin\omegat$
$y=-sqrt2/2v_0/\omegasin\omegat-g/\omega^2$
In ogni modo, nel mio libro di meccanica razionale si dimostrava che il moto bidimensionale di una massa puntiforme attaccata ad una molla è generalmente ellittico, come casi particolari, circolare oppure rettilineo. La presenza della forza peso modifica soltanto la posizione del centro dell'ellisse, non l'origine alla quale è attaccata la molla ma la posizione di equilibrio determinata dalla presenza della forza peso medesima. A mio parere, se il testo dell'esercizio non avesse chiesto esplicitamente di determinare il tipo di moto, si sarebbe potuto partire direttamente da questi risultati notevoli e determinare la quota minima e la quota massima utilizzando solamente la conservazione dell'energia meccanica.
P.S.
Un cordiale saluto all'altrettanto ottimo navigatore, nella speranza che, da ora in poi, l'unico mare del quale solcare le onde sia quello della tranquillità. Che poeta che sono!
$\{(mddot x=-m\omega^2x),(mddot y=-m\omega^2y-mg):} rarr \{(ddot x+\omega^2x=0),(ddot y+\omega^2y+g=0):}$
L'integrale generale è:
$\{(x(t)=Acos\omegat+Bsen\omegat),(y(t)=Ccos\omegat+Dsin\omegat-g/\omega^2):}$
Le condizioni iniziali sono:
$\{(x(0)=0),(dot x(0)=sqrt2/2v_0):} ^^ \{(y(0)=-g/\omega^2),(dot y(0)=-sqrt2/2v_0):}$
L'integrale particolare è:
$x=sqrt2/2v_0/\omegasin\omegat$
$y=-sqrt2/2v_0/\omegasin\omegat-g/\omega^2$
In ogni modo, nel mio libro di meccanica razionale si dimostrava che il moto bidimensionale di una massa puntiforme attaccata ad una molla è generalmente ellittico, come casi particolari, circolare oppure rettilineo. La presenza della forza peso modifica soltanto la posizione del centro dell'ellisse, non l'origine alla quale è attaccata la molla ma la posizione di equilibrio determinata dalla presenza della forza peso medesima. A mio parere, se il testo dell'esercizio non avesse chiesto esplicitamente di determinare il tipo di moto, si sarebbe potuto partire direttamente da questi risultati notevoli e determinare la quota minima e la quota massima utilizzando solamente la conservazione dell'energia meccanica.
P.S.
Un cordiale saluto all'altrettanto ottimo navigatore, nella speranza che, da ora in poi, l'unico mare del quale solcare le onde sia quello della tranquillità. Che poeta che sono!
P.S.
Un cordiale saluto all'altrettanto ottimo navigatore, nella speranza che, da ora in poi, l'unico mare del quale solcare le onde sia quello della tranquillità. Che poeta che sono!
Ma il Mare della Tranquillità non sta sulla Luna ? Vuoi mettermi in orbita ?
"navigatore":
Ma il Mare della Tranquillità non sta sulla Luna ? Vuoi mettermi in orbita ?
Ci mancherebbe altro. Mica voglio farmi "un giro di chiglia".
(Citazione tratta da "Gli ammutinati del Bounty")
"gordnbrn":
Le equazioni differenziali che governano il moto sono:
$\{(mddot x=-m\omega^2x),(mddot y=-m\omega^2y-mg):} rarr \{(ddot x+\omega^2x=0),(ddot y+\omega^2y+g=0):}$
L'integrale generale è:
$\{(x(t)=Acos\omegat+Bsen\omegat),(y(t)=Ccos\omegat+Dsin\omegat-g/\omega^2):}$
Le condizioni iniziali sono:
$\{(x(0)=0),(dot x(0)=sqrt2/2v_0):} ^^ \{(y(0)=-g/\omega^2),(dot y(0)=-sqrt2/2v_0):}$
L'integrale particolare è:
$x=sqrt2/2v_0/\omegasin\omegat$
$y=-sqrt2/2v_0/\omegasin\omegat-g/\omega^2$
In ogni modo, nel mio libro di meccanica razionale si dimostrava che il moto bidimensionale di una massa puntiforme attaccata ad una molla è generalmente ellittico, come casi particolari, circolare oppure rettilineo. La presenza della forza peso modifica soltanto la posizione del centro dell'ellisse, non l'origine alla quale è attaccata la molla ma la posizione di equilibrio determinata dalla presenza della forza peso medesima. A mio parere, se il testo dell'esercizio non avesse chiesto esplicitamente di determinare il tipo di moto, si sarebbe potuto partire direttamente da questi risultati notevoli e determinare la quota minima e la quota massima utilizzando solamente la conservazione dell'energia meccanica.
P.S.
Un cordiale saluto all'altrettanto ottimo navigatore, nella speranza che, da ora in poi, l'unico mare del quale solcare le onde sia quello della tranquillità. Che poeta che sono!
Disturbing...
Se applico Lagrange al sistema di riferimento x,y mi trovo lo stesso risultato tuo!
$E_k=1/2m\dotx^2+1/2m\doty^2$
$dw=-mgdy-kxdx-kydy$
Alle derivate
$m\ddotx=-kx$
$m\ddoty=-ky-mg$
dividendo per m e assegnando $\omega^2=k/m$ esce esattamente lo stesso risultato tuo
Ma come mai in coordinate polari si incasina con un termine misto $\dotL\dot\theta$ che non appare se scelgo x-y. E appara anche un $\dot\theta^2$.
Piuttosto noioso, anzicheno'. E' aperta la discussione, per chi vuole partecipare.
Ciao professorkappa. Qui non mi torna:
$m\ddotL-mL\dot\theta^2=mgcos\theta-kL$
Dovresti avere solo il termine $m\ddotL$ a primo membro. Probabilmente una svista.
$m\ddotL-mL\dot\theta^2=mgcos\theta-kL$
Dovresti avere solo il termine $m\ddotL$ a primo membro. Probabilmente una svista.
"gordnbrn":
Ciao professorkappa. Qui non mi torna:
$m\ddotL-mL\dot\theta^2=mgcos\theta-kL$
Dovresti avere solo il termine $m\ddotL$ a primo membro. Probabilmente una svista.
Si, ho derivato un termine di troppo.
Scusate se visualizzo in ritardo, comunque davvero grazie mille a tutti...spiegazione chiara ed esaustiva! 
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