Traiettoria particella che si sposta incampo di forze inversamente proporzionali alla distanza non quadrata

[40rob]

So che è possibile determinare l'equazione della traiettoria di un punto materiale che si sposta in un campo di forze centrali in cui queste sono direttamente proporzionali ad una certa costante positiva che chiamiamo $k$ moltiplicata per la massa della particella ed inversamente proporzionali a quadrato della distanza $r$ (dal punto di attrazione)[in modulo $F = (k*m)/r^2$]. Per semplicità si può supporre che il sistema di riferimento a due dimensioni usato abbia l'origine coincidente col punto verso cui convergono le forze.

Quel che volevo chiedere è se qualcuno è capace di determinare le traiettorie (date le componenti della velocità e posizione iniziali del punto materiale) in forma esplicita (non con equazioni che contengono derivate o integrali e non con sistemi di equazioni ricorsive numeriche ed approssimate) anche nel caso in cui le forze variano in proporzione inversa alla distanza e non al quadrato della distanza [in modulo $F = (k*m)/r$].

Non so se sia risolvibile il problema, ho cercato un po' in rete ma vengono trattati altri casi di forze centrali rilevanti dal punto di vista fisico.

[40rob]

"TeM":Qual è il problema? Il problema di fondo è che le equazioni differenziali che governano tale modello fisico
sono altamente non lineari e quindi ciò comporta che, in generale, non si possano risolvere esplicitamente,
bensì solamente implicitamente e quindi solamente per via numerica!

Per la verità avevo scritto all'inizio che il problema consisteva nell'esibire soluzioni che non contenessero equazioni ricorsive (come nel caso da te esposto in cui poi il programma usa qualche sistema iterativo per risolvere le equazioni differenziali date le condizioni iniziali).

"Quel che volevo chiedere è se qualcuno è capace di determinare le traiettorie (date le componenti della velocità e posizione iniziali del punto materiale) in forma esplicita (non con equazioni che contengono derivate o integrali e non con sistemi di equazioni ricorsive numeriche ed approssimate)"

Mi interessava sapere solo se si poteva fare o no questa cosa e se si può fare esibire la soluzione (le soluzioni), escludendo anche le forme che contengono sistemi di equazioni differenziali tipo questo

$ddot x(t) = -(k * x(t)) / (x(t)^2 + y(t)^2), ddot y(t) = -(k * y(t)) / (x(t) ^ 2 + y(t) ^2)$

ad esempio, visto che con la distanza quadrata è possibile farlo usando le funzioni usuali.

Comunque grazie lo stesso .

Ad occhio vengono fuori anche delle traiettorie con doppia rotazione simili a quelle dove si usano epicicli ecc. ecc., in linea di principio perciò potrebbero essere rappresentabili con formule esplicite... Ma si può fare o no?
Quali sono queste formule?

[gugo82]

@TeM: Complimenti per il post e per la pazienza.
Sciropparsi quei conti non è stato semplice, immagino.

[40rob]

In pratica non si può fare se ho ben capito, perché $b$ dovrebbe essere uguale a $-1$ e si possono risolvere solo i casi $-2$ e $-3$.
Io comunque volevo solo una risposta nel caso in cui qualcuno conoscesse la soluzione, non che si postasse tutta la dimostrazione (soprattutto se magari era lunga diverse pagine).
E' curioso che si possa fare anche con $-3$ comunque.
Grazie TeM