Traiettoria e legge oraria del moto di un punto materiale
Salve a tutti; ho delle difficoltà con un esercizio apparentemente innocuo.
Devo determinare la traiettoria e la legge oraria del moto di un punto materiale P che si muove nel piano $Ox_1x_2$ con le seguenti relazioni:
$x_1(t)=x_10+Rcos (\frac{\alpha}{2}t^2+\omega t)$
$x_2(t)=x_20+Rsin (\frac{\alpha}{2}t^2+\omega t)$
Per trovare la legge oraria avevo pensato di calcolare il modulo della velocità e fare l'integrale rispetto al tempo. Ma per trovare l'espressione della traiettoria come posso agire?
Vi ringrazio in anticipo per il vostro aiuto.
Devo determinare la traiettoria e la legge oraria del moto di un punto materiale P che si muove nel piano $Ox_1x_2$ con le seguenti relazioni:
$x_1(t)=x_10+Rcos (\frac{\alpha}{2}t^2+\omega t)$
$x_2(t)=x_20+Rsin (\frac{\alpha}{2}t^2+\omega t)$
Per trovare la legge oraria avevo pensato di calcolare il modulo della velocità e fare l'integrale rispetto al tempo. Ma per trovare l'espressione della traiettoria come posso agire?
Vi ringrazio in anticipo per il vostro aiuto.
Risposte
"Wintel":
Salve a tutti; ho delle difficoltà con un esercizio apparentemente innocuo.
Devo determinare la traiettoria e la legge oraria del moto di un punto materiale P che si muove nel piano $ Ox_1x_2 $ con le seguenti relazioni:
$ x_1(t)=x_10+Rcos (\frac{\alpha}{2}t^2+\omega t) $
$ x_2(t)=x_20+Rsin (\frac{\alpha}{2}t^2+\omega t) $
Per trovare la legge oraria avevo pensato di calcolare il modulo della velocità e fare l'integrale rispetto al tempo. Ma per trovare l'espressione della traiettoria come posso agire?
Vi ringrazio in anticipo per il vostro aiuto.
Tu non ha alcuna idea ?
$ x_1(t)-x_10 = Rcos (\frac{\alpha}{2}t^2+\omega t) $
$ x_2(t)-x_20 = Rsin (\frac{\alpha}{2}t^2+\omega t) $
Quadrando e sommando…..
Grazie mille per la risposta...però vorrei capire, perché hai fatto così?
Perché $sen^2\phi + cos^2\phi = 1 $ .
Se al posto di $\phi$ metti l'argomento di seno e coseno dato dal problema, viene fuori l'equazione di una circonferenza di raggio $R$, centro in $(x_(10) , x_(20))$ in cui l'argomento varia in funzione del tempo come dice il testo.
La prima coordinata è l'ascissa, la seconda è l'ordinata ( che più spesso indichiamo con $y$ , ma è la stessa cosa)
Non hai mai visto l'equazione di una circonferenza scritta così ? :
$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$
Nel tuo caso, l'angolo è funzione di secondo grado del tempo. Per cui, la legge oraria…non è che sia poi difficilissima!
Se al posto di $\phi$ metti l'argomento di seno e coseno dato dal problema, viene fuori l'equazione di una circonferenza di raggio $R$, centro in $(x_(10) , x_(20))$ in cui l'argomento varia in funzione del tempo come dice il testo.
La prima coordinata è l'ascissa, la seconda è l'ordinata ( che più spesso indichiamo con $y$ , ma è la stessa cosa)
Non hai mai visto l'equazione di una circonferenza scritta così ? :
$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$
Nel tuo caso, l'angolo è funzione di secondo grado del tempo. Per cui, la legge oraria…non è che sia poi difficilissima!
Ho capito il tuo discorso...però quello che non ho capito è se esiste o meno una "regola generale" come avviene ad esempio per il calcolo della legge oraria: la legge oraria del moto, come ho detto nel primo post, la posso ricavare calcolando il modulo della velocità e poi facendo l'integrale rispetto al tempo, cioè:
$|\dot s(t)|=\sqrt(\dot x_1(t)^2+\dot x_2(t)^2$
e poi faccio l'integrale:
$s(t)=\int |\dot s(t)| dt$
dove $\dot s(t)$ è la legge oraria del moto.
Per quanto riguarda la traiettoria invece non c'è un metodo generale? Cioè se ho un punto materiale P che si muove secondo queste relazioni:
$x_1(t)=Rsin\omega t cos \omega t$
$x_2(t)=Rcos^2 \omega t$
Per calcolare la traiettoria elevo al quadrato e sommo membro a membro?
Ti ringrazio ancora per la pazienza!
$|\dot s(t)|=\sqrt(\dot x_1(t)^2+\dot x_2(t)^2$
e poi faccio l'integrale:
$s(t)=\int |\dot s(t)| dt$
dove $\dot s(t)$ è la legge oraria del moto.
Per quanto riguarda la traiettoria invece non c'è un metodo generale? Cioè se ho un punto materiale P che si muove secondo queste relazioni:
$x_1(t)=Rsin\omega t cos \omega t$
$x_2(t)=Rcos^2 \omega t$
Per calcolare la traiettoria elevo al quadrato e sommo membro a membro?
Ti ringrazio ancora per la pazienza!
Se un punto materiale $P$ si muove nello spazio, e supponiamo lo spazio riferito ad un sistema di coordinate cartesiane $Oxyz$, il raggio vettore $\vecr = OP$ è funzione del tempo :
$\vecr = \vecr(t)$ . E questa è la legge oraria in forma vettoriale.
Equivalentemente, hai tre equazioni scalari, che descrivono come variano le coordinate (n questo caso cartesiane, ma non è obbligatorio, potresti avere anche altre coordinate, per es. polari) in funzione del tempo :
$x=x(t) ; y = y(t) ; z = z(t)$
E questo insieme di 3 eq. costituisce sempre la "legge oraria" del moto.
Perciò, nel caso del tuo esercizio, in sostanza la legge oraria ce l'hai già, è l'insieme delle due equazioni date (moto piano), non c'è bisogno di fare tutto quel lavoro che hai detto !
Se volessi la legge oraria ancora più semplice, nel tuo caso, prenderei un polo nel centro della circonferenza, un raggio vettore uguale a $r$ e l'anomalia uguale a $\phi$, e direi che la legge oraria è data da :
$r = "cost" $
$\phi = (\alpha/2t^2 + \omegat)$
e cosi avrei gia finito.
La traiettoria invece non è altro che la curva, in genere spaziale, descritta dal punto con "quella" legge oraria. Nel tuo caso, si vede facilmente che si tratta di una circonferenza. Questa esiste indipendentemente dal tipo di moto di P . Il moto può essere circolare uniforme, accelerato, o armonico….: la traiettoria è sempre quella.
Per avere l'equazione cartesiana della traiettoria, non devi far altro che eliminare il tempo $t$ tra le equazioni del moto : nel tuo caso è stato sufficiente quadrare e sommare. Ma non sempre è così facile! Nell'esempio che fai, dovresti eliminare matematicamente il tempo $t$ tra le due equazioni.
$\vecr = \vecr(t)$ . E questa è la legge oraria in forma vettoriale.
Equivalentemente, hai tre equazioni scalari, che descrivono come variano le coordinate (n questo caso cartesiane, ma non è obbligatorio, potresti avere anche altre coordinate, per es. polari) in funzione del tempo :
$x=x(t) ; y = y(t) ; z = z(t)$
E questo insieme di 3 eq. costituisce sempre la "legge oraria" del moto.
Perciò, nel caso del tuo esercizio, in sostanza la legge oraria ce l'hai già, è l'insieme delle due equazioni date (moto piano), non c'è bisogno di fare tutto quel lavoro che hai detto !
Se volessi la legge oraria ancora più semplice, nel tuo caso, prenderei un polo nel centro della circonferenza, un raggio vettore uguale a $r$ e l'anomalia uguale a $\phi$, e direi che la legge oraria è data da :
$r = "cost" $
$\phi = (\alpha/2t^2 + \omegat)$
e cosi avrei gia finito.
La traiettoria invece non è altro che la curva, in genere spaziale, descritta dal punto con "quella" legge oraria. Nel tuo caso, si vede facilmente che si tratta di una circonferenza. Questa esiste indipendentemente dal tipo di moto di P . Il moto può essere circolare uniforme, accelerato, o armonico….: la traiettoria è sempre quella.
Per avere l'equazione cartesiana della traiettoria, non devi far altro che eliminare il tempo $t$ tra le equazioni del moto : nel tuo caso è stato sufficiente quadrare e sommare. Ma non sempre è così facile! Nell'esempio che fai, dovresti eliminare matematicamente il tempo $t$ tra le due equazioni.
Ciao, ti ringrazio per la risposta...sono stato due giorni a scervellarmi per tentare di applicare le tue osservazioni a questo tipo di esercizi; riprendendo ad esempio questo esercizio
$x_1(t)=Rsin\omega t cos \omega t$
$x_2(t)=Rcos^2 \omega t$
Per calcolare la traiettoria ho eliminato il tempo come dicevi tu nell'altro post, quindi
$x_1=\frac {R}{2} sin(2 \omega t)$
$x_2=R cos^2(\omega t)$
Dalla prima equazione ottengo:
$2 \omega t=arcsin ( \frac {2x_1}{R})$ da cui
$t=\frac {1}{2 \omega}arcsin ( \frac {2x_1}{R})$
Allora:
$x_2=Rcos(\omega t)=R(1-sin^2(\omega t))=R-Rsin(\frac{1}{2}arcsin \frac{2x_1}{R})$
e adesso non so più come andare avanti...
$x_1(t)=Rsin\omega t cos \omega t$
$x_2(t)=Rcos^2 \omega t$
Per calcolare la traiettoria ho eliminato il tempo come dicevi tu nell'altro post, quindi
$x_1=\frac {R}{2} sin(2 \omega t)$
$x_2=R cos^2(\omega t)$
Dalla prima equazione ottengo:
$2 \omega t=arcsin ( \frac {2x_1}{R})$ da cui
$t=\frac {1}{2 \omega}arcsin ( \frac {2x_1}{R})$
Allora:
$x_2=Rcos(\omega t)=R(1-sin^2(\omega t))=R-Rsin(\frac{1}{2}arcsin \frac{2x_1}{R})$
e adesso non so più come andare avanti...
si potrebbe fare così :
$x_1=R/2sen2omegat$
$x_2=R/2(1+cos2omegat)$
$(frac{2x_2-R}{R})^2=cos^{2}2omegat=1-sen^{2}2omegat=1-(2x_1/R)^2$
etc...
$x_1=R/2sen2omegat$
$x_2=R/2(1+cos2omegat)$
$(frac{2x_2-R}{R})^2=cos^{2}2omegat=1-sen^{2}2omegat=1-(2x_1/R)^2$
etc...
Ottimo Raffaele ! 
Wintel, in generale quando ci sono di mezzo seni e coseni è preferibile seguire una strada diversa da quella che hai preso tu, e cioè è preferibile (io almeno così ritengo….) evitare di cadere nei meandri un po' oscuri di $arcsen$ , $arccos$ e compagnia bella…
Come vedi, il buon Raf ha preso una buona strada : ricordarsi delle formule di duplicazione o di bisezione date dalla trigonometria, e tendere ad applicarle mirando alla più semplice : $sen^2\phi + cos^2\phi = 1 $ .
Oppure , cercare di esprimere i secondi membri per mezzo della stessa funzione trigonometrica dello stesso angolo, per cui poi ne consegue l'uguaglianza…Non so se sono stato chiaro.
Sono piccoli e leciti trucchi, che a volte rendono la vita facile….Certo, non è detto che poi alla fine si ottenga una funzione che rappresenti la curva in maniera semplice. Nel caso della circonferenza sí, certo. MA nel caso dell'esempio che hai fatto, io ho difficoltà a raffigurarmi la curva…vedo che ci sono funzioni di secondo grado, come ha calcolato Raf, e può darsi che si vada a finire in coniche…ma bisognerebbe finire i calcoli ed esprimere $x_2$ in funzione di $x_1$ ….
Wintel, in generale quando ci sono di mezzo seni e coseni è preferibile seguire una strada diversa da quella che hai preso tu, e cioè è preferibile (io almeno così ritengo….) evitare di cadere nei meandri un po' oscuri di $arcsen$ , $arccos$ e compagnia bella…
Come vedi, il buon Raf ha preso una buona strada : ricordarsi delle formule di duplicazione o di bisezione date dalla trigonometria, e tendere ad applicarle mirando alla più semplice : $sen^2\phi + cos^2\phi = 1 $ .
Oppure , cercare di esprimere i secondi membri per mezzo della stessa funzione trigonometrica dello stesso angolo, per cui poi ne consegue l'uguaglianza…Non so se sono stato chiaro.
Sono piccoli e leciti trucchi, che a volte rendono la vita facile….Certo, non è detto che poi alla fine si ottenga una funzione che rappresenti la curva in maniera semplice. Nel caso della circonferenza sí, certo. MA nel caso dell'esempio che hai fatto, io ho difficoltà a raffigurarmi la curva…vedo che ci sono funzioni di secondo grado, come ha calcolato Raf, e può darsi che si vada a finire in coniche…ma bisognerebbe finire i calcoli ed esprimere $x_2$ in funzione di $x_1$ ….
Grazie infinitamente ragazzi!!! Ho afferrato il concetto. Vi ringrazio ancora!!!! 
Ho afferrato il concetto. Vi ringrazio ancora!!!!
"navigatore":
Se un punto materiale $P$ si muove nello spazio, e supponiamo lo spazio riferito ad un sistema di coordinate cartesiane $Oxyz$, il raggio vettore $\vecr = OP$ è funzione del tempo :
$\vecr = \vecr(t)$ . E questa è la legge oraria in forma vettoriale.
Equivalentemente, hai tre equazioni scalari, che descrivono come variano le coordinate (n questo caso cartesiane, ma non è obbligatorio, potresti avere anche altre coordinate, per es. polari) in funzione del tempo :
$x=x(t) ; y = y(t) ; z = z(t)$
E questo insieme di 3 eq. costituisce sempre la "legge oraria" del moto.
Perciò, nel caso del tuo esercizio, in sostanza la legge oraria ce l'hai già, è l'insieme delle due equazioni date (moto piano), non c'è bisogno di fare tutto quel lavoro che hai detto !
Se volessi la legge oraria ancora più semplice, nel tuo caso, prenderei un polo nel centro della circonferenza, un raggio vettore uguale a $r$ e l'anomalia uguale a $\phi$, e direi che la legge oraria è data da :
$r = "cost" $
$\phi = (\alpha/2t^2 + \omegat)$
e cosi avrei gia finito.
La traiettoria invece non è altro che la curva, in genere spaziale, descritta dal punto con "quella" legge oraria. Nel tuo caso, si vede facilmente che si tratta di una circonferenza. Questa esiste indipendentemente dal tipo di moto di P . Il moto può essere circolare uniforme, accelerato, o armonico….: la traiettoria è sempre quella.
Per avere l'equazione cartesiana della traiettoria, non devi far altro che eliminare il tempo $t$ tra le equazioni del moto : nel tuo caso è stato sufficiente quadrare e sommare. Ma non sempre è così facile! Nell'esempio che fai, dovresti eliminare matematicamente il tempo $t$ tra le due equazioni.
Riprendo un attimo questo quesito.
Le equazioni del moto dell'esercizio non sono altro che le componenti del vettore posizione in funzione del tempo, quindi se volessi avere l'equazione della legge oraria, dovrei fare così: $s(t)=$$sqrt(x_1(t)^2+x_2(t)^2)$, giusto?
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