Traiettoria e Legge Oraria
salve a tutti,
ho un problema con questo esercizio:
"Una particella si muove sotto l'azione di una forza $\ vec F = vec c ^^ vec v$ (prodotto vettoriale), dove $\ vec c$ è un vettore costante. si trovino traiettoria e legge oraria."
Ho provato a risolverlo in questo modo:
ho fatto in modo che il vettore abbia queste coordinate $\ vec c = (0,0,c)$ in modo da avere una sola componente (sulla quota z).
ho immaginato che il punto all'istante $\t_0$, passasse per il punto $\(x_0,y_0,z_0)$ con velocità $\ vec v_0 = (v_{0x}, v_{0y}, v_{0z})$.
ho svolto il prodotto vettoriale $\vec c ^^ vec v$ utilizzando laplace e ottenendo $\(-cv_yi + cv_xj)= c(v_yi-v_xj)$, quindi $\vec F = c(v_yi-v_xj)$. ho successivamente sostituito $\vec F$ con l'equazione fondamentale $\vec F = m vec a$
$\m((dv_x)/dt) = cv_y$
e
$\m((dv_y)/dt) =-cv_x$
ma da qui non sono proprio sicuro se quello che sto facendo sia giusto perché infatti ottengo
$\d^2v_x/dt^2 + (c/m)^2v_x=0$ ma non so proprio come risolvere questa equazione...
immagino che la derivata seconda della velocità sia uguale a $\0$ ma riguardo al resto ho un po' di dubbi... qualcuno può aiutarmi? grazie in anticipo
ho un problema con questo esercizio:
"Una particella si muove sotto l'azione di una forza $\ vec F = vec c ^^ vec v$ (prodotto vettoriale), dove $\ vec c$ è un vettore costante. si trovino traiettoria e legge oraria."
Ho provato a risolverlo in questo modo:
ho fatto in modo che il vettore abbia queste coordinate $\ vec c = (0,0,c)$ in modo da avere una sola componente (sulla quota z).
ho immaginato che il punto all'istante $\t_0$, passasse per il punto $\(x_0,y_0,z_0)$ con velocità $\ vec v_0 = (v_{0x}, v_{0y}, v_{0z})$.
ho svolto il prodotto vettoriale $\vec c ^^ vec v$ utilizzando laplace e ottenendo $\(-cv_yi + cv_xj)= c(v_yi-v_xj)$, quindi $\vec F = c(v_yi-v_xj)$. ho successivamente sostituito $\vec F$ con l'equazione fondamentale $\vec F = m vec a$
$\m((dv_x)/dt) = cv_y$
e
$\m((dv_y)/dt) =-cv_x$
ma da qui non sono proprio sicuro se quello che sto facendo sia giusto perché infatti ottengo
$\d^2v_x/dt^2 + (c/m)^2v_x=0$ ma non so proprio come risolvere questa equazione...
immagino che la derivata seconda della velocità sia uguale a $\0$ ma riguardo al resto ho un po' di dubbi... qualcuno può aiutarmi? grazie in anticipo
Risposte
Se integri direttamente ambo i membri, ottieni $\ddot x + (\frac{c}{m})^2 x = k$ che è una equazione banale 
Il risultato finale è un'elica. Questo è il caso di una particella carica in un campo magnetico uniforme, dove la forza è perpendicolare alla velocità e, quindi, non si compie lavoro.
Il risultato finale è un'elica. Questo è il caso di una particella carica in un campo magnetico uniforme, dove la forza è perpendicolare alla velocità e, quindi, non si compie lavoro.
scusa, ma non ho capito bene da dove salta fuori quel $k$? riusciresti cortesemente a spiegarmelo?
e... da quel che ho capito mi dovrebbe venire fuori una cosa del genere:
$\v_x= A cos( omega t + phi)$ ma non so come ci si arriva
e... da quel che ho capito mi dovrebbe venire fuori una cosa del genere:
$\v_x= A cos( omega t + phi)$ ma non so come ci si arriva
Ho integrato la tua ambo i membri per il tempo. $k$ è la costante di integrazione.
Invece di lavorare con la velocità, sono passato alla posizione. Mi sembra più naturale.
Invece di lavorare con la velocità, sono passato alla posizione. Mi sembra più naturale.
ok, ma potresti spiegarmi il calcolo matematico dell'integrale?
(e poi se ho una derivata seconda della velocità rispetto al tempo, quando passo allo spazio non dovrei ottenere la derivata quarta dello spazio rispetto al tempo? $\(d^2v_x)/dt^2 -> (d^4x)/dt^4$)
(e poi se ho una derivata seconda della velocità rispetto al tempo, quando passo allo spazio non dovrei ottenere la derivata quarta dello spazio rispetto al tempo? $\(d^2v_x)/dt^2 -> (d^4x)/dt^4$)
Semai, derivata terza...
Allora, tu parti dall'equazione $ x''' + x' =0$ (a parte la costante che moltiplica la velocità), dove ho indicato la derivata prima dello spazio rispetto al tempo con l'apice perché i tre puntini non so come si facciano...
Ora integro ambo i membri rispetto a $t$:
$\int x''' dt + \int x' dt = \int 0 dt$
e ottengo (ritornando ai puntini):
$\ddot x + x = k$.
Allora, tu parti dall'equazione $ x''' + x' =0$ (a parte la costante che moltiplica la velocità), dove ho indicato la derivata prima dello spazio rispetto al tempo con l'apice perché i tre puntini non so come si facciano...
Ora integro ambo i membri rispetto a $t$:
$\int x''' dt + \int x' dt = \int 0 dt$
e ottengo (ritornando ai puntini):
$\ddot x + x = k$.
ah si, grazie stavo proprio per correggere l'errore che avevo fatto. Grazie ora ho capito.
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