Traiettoria di un punto in un piano

[sangi89]

Buon pomeriggio, il testo di questo esercizio di cinematica mi chiede di determinare l'equazione della traiettoria di un punto in un piano: un punto materiale si muove in un piano lungo una curva di equazione

\(\displaystyle \rho=\frac{2\rho_{0}}{1+\cos{\left(\theta\right)}} \)

con velocità avente modulo costante v. Determinare l'equazione della traiettoria in forma cartesiana.


Allora io ho \(\displaystyle OP:\ \rho=\frac{2\rho_{0}}{1+\cos{\left(\theta\right)}} \)e\(\displaystyle \theta=\theta (t) \), in particolare
\(\displaystyle
OP=\rho \overline{u}=\frac{2\rho_{0}}{1+\cos{\left(\theta\right)}}\overline{u} \)
dove\(\displaystyle \overline{u}=\cos{\left(\theta\right)}\overline{i}+\sin{\left(\theta\right)}\overline{j} \)
e inoltre

\(\displaystyle \overline{v}=\dot \rho \overline{u}+\rho \dot \theta\overline{w}=\frac{2\rho_{0}\sin{\left(\theta\right)} \dot \theta}{(1+\cos{\left(\theta\right)})^{2}}\overline{u}+\frac{2\rho_{0}\dot \theta}{1+\cos{\left(\theta\right)}}\overline{w} \)

Di cui dovrei calcolare il modulo, uguagliare a v, e integrare per trovare \(\displaystyle \theta \), giusto?

[chiaraotta1]

Mi sembra che, eliminando $theta$ nel sistema
${(x=(2rho_0)/(1+cos theta)cos theta), (y=(2rho_0)/(1+cos theta)sin theta):}->{(cos theta=x/(2 rho_0-x)), (y^2=(4rho_0^2)/(1+cos theta)^2(1-cos theta)(1+cos theta)=(4rho_0^2)/(1+cos theta)(1-cos theta)):}$
si ottenga l'equazione
$x=rho_0-y^2/(4rho_0)$
che è quella di una parabola ad asse orizzontale.

[sangi89]

Grazie mille. E l'informazione che la velocità è costante in modulo a cosa mi serve?
il problema mi chiede anche le componenti radiali e tangenziali della velocità e dell'accelerazione. Per quanto riguarda quelle della velocità, vanno bene scritte come nel primo post?

grazie anticipatamente