Torsione nulla e compatibilità con la metrica in relatività generale
Salve a tutti, sto studiando relatività generale e in particolare la parte sulla derivata covariante, il trasporto parallelo e le geodetiche.
Ad un certo punto il libro sul quale studio per poter fissare un'unica connessione impone che la derivata covariante sia compatibile con la metrica e che il tensore di torsione sia nullo. Facendo questo ricava quindi i simboli di Christoffel dicendo che saranno gli unici ad essere utilizzati in Relatività Generale.
Avendo inizialmente dubbi su queste due condizioni che mi appaiono un po forzate vado avanti e, parlando di geodetiche, si scopre che la connessione di Christoffel è quella che, nelle curve a lunghezza estremale, trasporta parallelamente la loro tangente. Quindi ho pensato che questo fatto giustifichi l'aver imposto la torsione nulla e la compatibilità con la metrica dal momento che in RG si vuole lavorare con le geodetiche.
Quello che mi chiedo è, a livello fisico, cosa vogliano dire queste due condizioni e se fosse possibile costruire una teoria fisica senza doverle imporre.
Ad un certo punto il libro sul quale studio per poter fissare un'unica connessione impone che la derivata covariante sia compatibile con la metrica e che il tensore di torsione sia nullo. Facendo questo ricava quindi i simboli di Christoffel dicendo che saranno gli unici ad essere utilizzati in Relatività Generale.
Avendo inizialmente dubbi su queste due condizioni che mi appaiono un po forzate vado avanti e, parlando di geodetiche, si scopre che la connessione di Christoffel è quella che, nelle curve a lunghezza estremale, trasporta parallelamente la loro tangente. Quindi ho pensato che questo fatto giustifichi l'aver imposto la torsione nulla e la compatibilità con la metrica dal momento che in RG si vuole lavorare con le geodetiche.
Quello che mi chiedo è, a livello fisico, cosa vogliano dire queste due condizioni e se fosse possibile costruire una teoria fisica senza doverle imporre.
Risposte
Ciao.
Spesso mi sono chiesto anch’io, quando studiavo queste cose, che cosa volesse dire fisicamente uno spaziotempo con torsione, ovvero privo di torsione, a parte le implicazioni matematiche della questione.
Finalmente, nelle ricerche che ho fatto sul web, mi sono imbattuto in questo :
https://jila.colorado.edu/~ajsh/courses ... grbook.pdf
che è un corso di RG del professor Andrew Hamilton. Il paragrafo 2.10 si sofferma sul concetto di torsione. Ma ti conviene leggere almeno tutto il cap. 2 , anche se ci sono cose che evidentemente già sai, perché è di una chiarezza unica.
Non aggiungo altro, perché non credo sia il caso, di fronte a questa esposizione. Comunque, ho anche altre fonti a cui eventualmente attingere, se qualcosa non fosse chiaro. E se hai bisogno scrivi pure, cosí mi faccio anch’io un ripasso della materia.
Il professor Hamilton ha un bellissimo sito, dove ci sono tante informazioni su relatività , buchi neri ...e materie connesse. Ci sono anche dei suoi appunti scritti a mano e scannerizzai, pensa! Ed é oltre tutto molto disponibile, gli ho scritto un paio di volte (ma forse più) per chiedergli dei chiarimenti, e mi ha risposto con gentilezza e chiarezza! Altri magari mi avrebbero mandati a quel paese o non mi avrebbero proprio pensato! Ad una mia osservazione, in cui chiedevo dei chiarimenti, ha detto: “Sono perfettamente d’accordo ! ”
Invece qui da noi é diverso...
Spesso mi sono chiesto anch’io, quando studiavo queste cose, che cosa volesse dire fisicamente uno spaziotempo con torsione, ovvero privo di torsione, a parte le implicazioni matematiche della questione.
Finalmente, nelle ricerche che ho fatto sul web, mi sono imbattuto in questo :
https://jila.colorado.edu/~ajsh/courses ... grbook.pdf
che è un corso di RG del professor Andrew Hamilton. Il paragrafo 2.10 si sofferma sul concetto di torsione. Ma ti conviene leggere almeno tutto il cap. 2 , anche se ci sono cose che evidentemente già sai, perché è di una chiarezza unica.
Non aggiungo altro, perché non credo sia il caso, di fronte a questa esposizione. Comunque, ho anche altre fonti a cui eventualmente attingere, se qualcosa non fosse chiaro. E se hai bisogno scrivi pure, cosí mi faccio anch’io un ripasso della materia.
Il professor Hamilton ha un bellissimo sito, dove ci sono tante informazioni su relatività , buchi neri ...e materie connesse. Ci sono anche dei suoi appunti scritti a mano e scannerizzai, pensa! Ed é oltre tutto molto disponibile, gli ho scritto un paio di volte (ma forse più) per chiedergli dei chiarimenti, e mi ha risposto con gentilezza e chiarezza! Altri magari mi avrebbero mandati a quel paese o non mi avrebbero proprio pensato! Ad una mia osservazione, in cui chiedevo dei chiarimenti, ha detto: “Sono perfettamente d’accordo ! ”
Invece qui da noi é diverso...
"Ale7982":
Quello che mi chiedo è, a livello fisico, cosa vogliano dire queste due condizioni e se fosse possibile costruire una teoria fisica senza doverle imporre.
Mi sto interessando anche io alla matematica della RG, a tempo perso (piu' perso che altro).
Mi chiedevo se hai gia' dato un'occhiata qui, specialmente a pag. 3.
https://arxiv.org/pdf/0711.1535.pdf
@Quinzio
la RG che si studia inizialmente è quella senza torsione, per cui i simboli di Christoffel di 2º specie sono simmetrici negli indici inferiori : $ Gamma_ ( \mu\nu)^\alpha = Gamma_(\nu\mu)^\alpha$. Questa simmetria, che è legata alla simmetria degli indici della metrica $g_(\mu\nu)$, consente di dire che i simboli di Christoffel, in uno spazio a 4 dimensioni come lo ST della RG, sono $40$ anziché $4^3 = 64$. E scusate se è poco!
Ma fisicamente questa simmetria che cosa vuol dire? Bisogna rifarsi alla definizione dei simboli di Christoffel di 2º specie. Il simbolo $ Gamma_ ( \mu\nu)^\alpha$ sta ad indicare la componente $alpha$ della derivata del vettore base $e_\mu$ rispetto alla coordinata di indice $\nu$ . Perciò , la simmetria rispetto agli indici inferiori vuol dire che la componente ora detta è uguale alla componente $alpha$ del vettore base $e_\nu$ derivato rispetto alla coordinata di indice $\mu$ .
Questo è descritto con maggior particolari nel libro di Hamilton che ho indicato. Ci sono anche dei bei disegnini
Sulla teoria di Einstein-Riemann-Cartan relativa a spazi con torsione c’è tanto materiale in giro, ma non la conosco.
Di converso, la conoscenza degli elementi base della RG, cioè varietà differenziabili, carte locali, atlanti, geometria differenziale su varietà , calcolo tensoriale ecc ecc...dà la possibilità di capire la derivata covariante, il trasporto parallelo, la connessione di Levi Civita, l’equazione delle geodetiche, la deviazione delle geodetiche, le equazioni di campo di Einstein, ecc ecc ...e poi che cosa si intende per “curvatura dello spaziotempo” , in relazione al tensore energia-impulso della materia-energia; il tensore di curvatura di Riemann, quello di Ricci...fino ad arrivare alla prima soluzione delle equazioni di campo che è quella di Schwarzschild in uno spazio vuoto di materia esterno a un buco nero sferico statico, non rotante, ma anche oltre se uno ha voglia!
Penso che si debba procedere molto lentamente e assimilare prima i concetti base, non ci si può lanciare subito in uno studio specializzato su ST con torsione. Ecco perché ho suggerito all’ OP di dare un’occhiata (ma forse più di una occhiata...) al libro di Hamilton.
Ci sono in ogni caso testi anche più semplici, per esempio quello di Bernard Schutz : A first course in general relativity - ed. CUP ( Cambridge University Press) . O anche le note di Sean Carroll che stanno su arXiv dal 1997.
la RG che si studia inizialmente è quella senza torsione, per cui i simboli di Christoffel di 2º specie sono simmetrici negli indici inferiori : $ Gamma_ ( \mu\nu)^\alpha = Gamma_(\nu\mu)^\alpha$. Questa simmetria, che è legata alla simmetria degli indici della metrica $g_(\mu\nu)$, consente di dire che i simboli di Christoffel, in uno spazio a 4 dimensioni come lo ST della RG, sono $40$ anziché $4^3 = 64$. E scusate se è poco!
Ma fisicamente questa simmetria che cosa vuol dire? Bisogna rifarsi alla definizione dei simboli di Christoffel di 2º specie. Il simbolo $ Gamma_ ( \mu\nu)^\alpha$ sta ad indicare la componente $alpha$ della derivata del vettore base $e_\mu$ rispetto alla coordinata di indice $\nu$ . Perciò , la simmetria rispetto agli indici inferiori vuol dire che la componente ora detta è uguale alla componente $alpha$ del vettore base $e_\nu$ derivato rispetto alla coordinata di indice $\mu$ .
Questo è descritto con maggior particolari nel libro di Hamilton che ho indicato. Ci sono anche dei bei disegnini
Sulla teoria di Einstein-Riemann-Cartan relativa a spazi con torsione c’è tanto materiale in giro, ma non la conosco.
Di converso, la conoscenza degli elementi base della RG, cioè varietà differenziabili, carte locali, atlanti, geometria differenziale su varietà , calcolo tensoriale ecc ecc...dà la possibilità di capire la derivata covariante, il trasporto parallelo, la connessione di Levi Civita, l’equazione delle geodetiche, la deviazione delle geodetiche, le equazioni di campo di Einstein, ecc ecc ...e poi che cosa si intende per “curvatura dello spaziotempo” , in relazione al tensore energia-impulso della materia-energia; il tensore di curvatura di Riemann, quello di Ricci...fino ad arrivare alla prima soluzione delle equazioni di campo che è quella di Schwarzschild in uno spazio vuoto di materia esterno a un buco nero sferico statico, non rotante, ma anche oltre se uno ha voglia!
Penso che si debba procedere molto lentamente e assimilare prima i concetti base, non ci si può lanciare subito in uno studio specializzato su ST con torsione. Ecco perché ho suggerito all’ OP di dare un’occhiata (ma forse più di una occhiata...) al libro di Hamilton.
Ci sono in ogni caso testi anche più semplici, per esempio quello di Bernard Schutz : A first course in general relativity - ed. CUP ( Cambridge University Press) . O anche le note di Sean Carroll che stanno su arXiv dal 1997.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo