Test del chi-quadro
Ciao a tutti, ho un dubbio sull'applicazione del test del chi-quadro per la compatibilità fra dati teorici e sperimentali.
Dunque, io ho una serie di dati sperimentali.
Eseguo sia un fit lineare, sia un fit esponenziale.
Poi mi calcolo i dati teorici in base a queste due linee di tendenza.
E quindi effettuo due test del chi quadro (uno per la curva lineare, l'altra per l'esponenziale).
La curva esponenziale approssima molto bene i dati sperimentali, quindi mi viene un chi-quadro estremamente basso, dell'ordine di 0,001
In base a quello che mi hanno insegnato a lezione, dovrei RIGETTARE l'ipotesi che tale linea di tendenza descriva i dati sperimentali perchè un valore così basso del chi-quadro è poco probabile.
Tuttavia anche il chi-quadro con la funzione lineare rientra nei limiti di rigetto, poichè viene 0,004 e il chi quadro con 4 gradi di libertà è di 2 ordini di grandezza superiore!
Come mi devo comportare in questo caso???
Non è possibile che debba rigettare una linea di tendenza solo perchè... funziona troppo bene?!
Grazie
Fabio
Dunque, io ho una serie di dati sperimentali.
Eseguo sia un fit lineare, sia un fit esponenziale.
Poi mi calcolo i dati teorici in base a queste due linee di tendenza.
E quindi effettuo due test del chi quadro (uno per la curva lineare, l'altra per l'esponenziale).
La curva esponenziale approssima molto bene i dati sperimentali, quindi mi viene un chi-quadro estremamente basso, dell'ordine di 0,001
In base a quello che mi hanno insegnato a lezione, dovrei RIGETTARE l'ipotesi che tale linea di tendenza descriva i dati sperimentali perchè un valore così basso del chi-quadro è poco probabile.
Tuttavia anche il chi-quadro con la funzione lineare rientra nei limiti di rigetto, poichè viene 0,004 e il chi quadro con 4 gradi di libertà è di 2 ordini di grandezza superiore!
Come mi devo comportare in questo caso???
Non è possibile che debba rigettare una linea di tendenza solo perchè... funziona troppo bene?!
Grazie
Fabio
Risposte
Il risultato di un test del chi quadro alla fine credo vada preso un po' con le molle. Considera un set di dati fittato perfettamente da una curva teorica e con degli errori piccolissimi, allora facendo il test otterresti come risultato un valore molto prossimo a zero. Questo in generale è sintomo di una sottostima delle incertezze.
Io vedrei innanzitutto ad occhio quale delle due curve approssima meglio i dati sperimentali, poi eventualmente giustificherei un valore basso del chi quadro con una sottostima delle incertezze.
In ogni caso aspettiamo wedge che è più esperto su queste questioni.
Io vedrei innanzitutto ad occhio quale delle due curve approssima meglio i dati sperimentali, poi eventualmente giustificherei un valore basso del chi quadro con una sottostima delle incertezze.
In ogni caso aspettiamo wedge che è più esperto su queste questioni.
"SaturnV":
Ciao a tutti, ho un dubbio sull'applicazione del test del chi-quadro per la compatibilità fra dati teorici e sperimentali.
Dunque, io ho una serie di dati sperimentali.
Eseguo sia un fit lineare, sia un fit esponenziale.
Poi mi calcolo i dati teorici in base a queste due linee di tendenza.
E quindi effettuo due test del chi quadro (uno per la curva lineare, l'altra per l'esponenziale).
La curva esponenziale approssima molto bene i dati sperimentali, quindi mi viene un chi-quadro estremamente basso, dell'ordine di 0,001
In base a quello che mi hanno insegnato a lezione, dovrei RIGETTARE l'ipotesi che tale linea di tendenza descriva i dati sperimentali perchè un valore così basso del chi-quadro è poco probabile.
Tuttavia anche il chi-quadro con la funzione lineare rientra nei limiti di rigetto, poichè viene 0,004 e il chi quadro con 4 gradi di libertà è di 2 ordini di grandezza superiore!
Come mi devo comportare in questo caso???
Non è possibile che debba rigettare una linea di tendenza solo perchè... funziona troppo bene?!
Grazie
Fabio
c'è qualcosa che non torna in quello che hai detto. Ho il sospetto che anche se fai il best fit con un'altra curva (prova con un polinomio di secondo grado) avrai lo stesso problema. Praticamente in base ai tuoi fit, a parte il problema del test del chi-quadro, tu non sei in grado di scegliere tra una retta ed un'esponenziale!
Puoi descrivere con più dettagli il tuo caso (grandezza misurata, numero di misure etc.) e come hai applicato il test?
sulla relazione piccolo chiquadro = errore sottostimato non sono convintissimo.
guardate questo esempio
e cosa accade se aumento l'errore di un fattore 10.
se i dati sono molto allineati, direi che non è vero. quantificare l'idea è un po' più difficile purtroppo.
mi rendo pure conto di aver portato un esempio un po' estremo per linearità dei dati, ma mai sarei portato a pensare che x e y non siano correlati linearmente solo perchè il chiquadro è troppo basso.
se i dati sono pochi e vicini scambiare una retta y=a+bx (magari con b negativo) per un'esponenziale y=exp(-bx)+a non è affatto impossibile
(mi sapresti dire se questi fit
http://bp0.blogger.com/_Xmhd9XTWKTY/SBs ... /cuass.jpg
sono rette (esponenziali)? e se facendo un fit esponenziale (lineare) avresti avuto un risultato peggiore)?)
piccolo parere personale: i professori di laboratorio di Fisica nei primi anni (specie al primo) sono un po' ossessionati nel far sì che gli studenti verifichino la corrispondenza tra un supposto "valore teorico" e il valore sperimentale delle misure. a posteriori tale approccio mi sembra un po' discutibile e tende a far dimenticare il valore dell'esperimento a favore di questo supposto "accordo". se a qualcuno viene, per dire, che la velocità della luce è 2.5*10^8 m/s (con un errore di 0.1) e non 2.997..., mi sembra assurdo invogliare gli studenti a ritoccare gli errori (o peggio i dati!) al fine di aver una migliore corrispondenza con quello che non è altro che un altro valore sperimentale, fatto con strumenti migliori. meglio dire: i nostri strumenti ci fanno avere questo valore, e buona pace di Romer, Fizeau e gli altri. all'estremo, se teoria ed esperimento non concordano, non è detto che sia il secondo ad essere sbagliato.
(fine considerazioni personali)
guardate questo esempio
e cosa accade se aumento l'errore di un fattore 10.
se i dati sono molto allineati, direi che non è vero. quantificare l'idea è un po' più difficile purtroppo.
mi rendo pure conto di aver portato un esempio un po' estremo per linearità dei dati, ma mai sarei portato a pensare che x e y non siano correlati linearmente solo perchè il chiquadro è troppo basso.
"kinder":
Praticamente in base ai tuoi fit, a parte il problema del test del chi-quadro, tu non sei in grado di scegliere tra una retta ed un'esponenziale!
se i dati sono pochi e vicini scambiare una retta y=a+bx (magari con b negativo) per un'esponenziale y=exp(-bx)+a non è affatto impossibile
(mi sapresti dire se questi fit
http://bp0.blogger.com/_Xmhd9XTWKTY/SBs ... /cuass.jpg
sono rette (esponenziali)? e se facendo un fit esponenziale (lineare) avresti avuto un risultato peggiore)?)
piccolo parere personale: i professori di laboratorio di Fisica nei primi anni (specie al primo) sono un po' ossessionati nel far sì che gli studenti verifichino la corrispondenza tra un supposto "valore teorico" e il valore sperimentale delle misure. a posteriori tale approccio mi sembra un po' discutibile e tende a far dimenticare il valore dell'esperimento a favore di questo supposto "accordo". se a qualcuno viene, per dire, che la velocità della luce è 2.5*10^8 m/s (con un errore di 0.1) e non 2.997..., mi sembra assurdo invogliare gli studenti a ritoccare gli errori (o peggio i dati!) al fine di aver una migliore corrispondenza con quello che non è altro che un altro valore sperimentale, fatto con strumenti migliori. meglio dire: i nostri strumenti ci fanno avere questo valore, e buona pace di Romer, Fizeau e gli altri. all'estremo, se teoria ed esperimento non concordano, non è detto che sia il secondo ad essere sbagliato.
(fine considerazioni personali)
Allora, ho diversi punti sperimentali che identificano i punti di massimo (relativo) su di una sinusoide smorzata.
Si tratta di far vedere se i dati sperimentali meglio si accordano con uno smorzamento lineare (attrito radente) oppure esponenziale (attrito viscoso con l'aria).
Abbiamo montato sul famoso carrellino un sistema (auto-costruito) che aumenta l'attrito aerodinamico (una specie di vela) in modo tale che l'andamento dei massimi non è più lineare.
Si tratta di vedere se la miglior funzione interpolante è lineare oppure esponenziale.
I punti sperimentali non sono disposti linearmente, ma la non linearità non è molto accentuata, così che sia una curva esponenziale, sia una lineare approssimano abbastanza bene i dati.
Allora ho provato con un test del chi-quadro e mi vengono valori estremamente bassi per entrambi.
Poi ho provato a calcolarmi i due scarti quadratici medi (per vedere qual è la curva teorica che rende minore la distanza da questa dei punti sperimentali) trovando (come mi aspettavo) che lo scarto quadratico medio mostra una migliore approssimazione esponenziale.
Tuttavia continuo a non capire come comportarmi col test del chi-quadro...
Grazie
Fabio
Si tratta di far vedere se i dati sperimentali meglio si accordano con uno smorzamento lineare (attrito radente) oppure esponenziale (attrito viscoso con l'aria).
Abbiamo montato sul famoso carrellino un sistema (auto-costruito) che aumenta l'attrito aerodinamico (una specie di vela) in modo tale che l'andamento dei massimi non è più lineare.
Si tratta di vedere se la miglior funzione interpolante è lineare oppure esponenziale.
I punti sperimentali non sono disposti linearmente, ma la non linearità non è molto accentuata, così che sia una curva esponenziale, sia una lineare approssimano abbastanza bene i dati.
Allora ho provato con un test del chi-quadro e mi vengono valori estremamente bassi per entrambi.
Poi ho provato a calcolarmi i due scarti quadratici medi (per vedere qual è la curva teorica che rende minore la distanza da questa dei punti sperimentali) trovando (come mi aspettavo) che lo scarto quadratico medio mostra una migliore approssimazione esponenziale.
Tuttavia continuo a non capire come comportarmi col test del chi-quadro...
Grazie
Fabio
"wedge":
sulla relazione piccolo chiquadro = errore sottostimato non sono convintissimo. [..]
Hai ragione, effettivamente ho riflettuto poco sulla questione.
Magari domani ci penso un po' meglio e cerco di scrivere qualcosa di più sensato.
"wedge":
se i dati sono pochi e vicini scambiare una retta y=a+bx (magari con b negativo) per un'esponenziale y=exp(-bx)+a non è affatto impossibile(mi sapresti dire se questi fit ...
lo so bene, ed è per questo che gli suggerivo di provare anche con un polinomio di grado diverso. E' chiaro che se i dati si ritrovano in un intervallo in cui la curva è bene approssimata dal suo sviluppo in serie di Taylor limitato alla derivata prima si finisce in questo caso. Anzi, in laboratorio ho fatto misure su curve teoricamente esponenziali, che poi risultavano costanti (radionuclidi con vita media di diversi anni)!
Il problema in questi casi non può essere risolto dal metodo statistico, perché non è statistico. Per distinguere tra la retta e l'esponenziale si deve estendere la durata della misura in maniera sufficiente a far emergere le derivate di ordine superiore al primo. Nel caso dei miei radionuclidi, non ho avuto la pazienza sufficiente.
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