Terzo principio della dinamica.
A me il terzo principio della dinamica viene presentato non come il "principio di azione e reazione", ma secondo il seguente enunciato:
"In un sistema di riferimento inerziale, la quantità di moto totale e il momento angolare rispetto a un polo fisso di un sistema di punti materiali libero, ossia non soggetto a forze esterne, si conservano".
Da qui, secondo un procedimento logico dato, ma storicamente ancora incomprensibile per me(so che per Newton e la sua opera il terzo principio è proprio quello di azione e reazione, e semmai il principio da me enunciato dovrebbe essere una sua conseguenza) , si ricava il principio di azione e reazione.
Infatti, se il sistema è libero, si ha:
$\vec F^(i) = d\vec Q/dt$
$\vec M^(i) = d\vec P/dt$,
essendo la risultante delle forze interne $\vec F^(i)$ l'unica risultante delle forze applicate al sistema (in quanto libero), ed essendo nullo in particolare (poichè la quantità di moto non varia nel tempo) $d\vec Q/dt$.
Poi leggo che il fatto che è(da cui realmente deriva il "principio di azione e reazione")
$\vec F^(i) = 0$
$\vec M^(i)=0$
vale anche per sistemi non liberi. Perchè questo? Il mio testo dice che questo è perchè le forze interne dipendono dalla posizione relativa che i punti del sistema assumono. Ma cosa vuol dire questa cosa, se per principio solo se il sistema di punti materiali è "libero", cioè non soggetto a forze esterne, si annulla la quantità di moto complessiva e quindi la risultante delle forze interne? Mentre in tale caso non lo è.
In sostanza, vorrei capire qual è veramente il terzo principio della dinamica, perchè il mio libro fa ricavare il principio di azione e reazione come una conseguenza di quello che ho enunciato all'inizio, e come si fa a capire in quali casi e perchè la risultante di forze interne e momenti di forze interne si annulla, in alcuni casi appunto.
"In un sistema di riferimento inerziale, la quantità di moto totale e il momento angolare rispetto a un polo fisso di un sistema di punti materiali libero, ossia non soggetto a forze esterne, si conservano".
Da qui, secondo un procedimento logico dato, ma storicamente ancora incomprensibile per me(so che per Newton e la sua opera il terzo principio è proprio quello di azione e reazione, e semmai il principio da me enunciato dovrebbe essere una sua conseguenza) , si ricava il principio di azione e reazione.
Infatti, se il sistema è libero, si ha:
$\vec F^(i) = d\vec Q/dt$
$\vec M^(i) = d\vec P/dt$,
essendo la risultante delle forze interne $\vec F^(i)$ l'unica risultante delle forze applicate al sistema (in quanto libero), ed essendo nullo in particolare (poichè la quantità di moto non varia nel tempo) $d\vec Q/dt$.
Poi leggo che il fatto che è(da cui realmente deriva il "principio di azione e reazione")
$\vec F^(i) = 0$
$\vec M^(i)=0$
vale anche per sistemi non liberi. Perchè questo? Il mio testo dice che questo è perchè le forze interne dipendono dalla posizione relativa che i punti del sistema assumono. Ma cosa vuol dire questa cosa, se per principio solo se il sistema di punti materiali è "libero", cioè non soggetto a forze esterne, si annulla la quantità di moto complessiva e quindi la risultante delle forze interne? Mentre in tale caso non lo è.
In sostanza, vorrei capire qual è veramente il terzo principio della dinamica, perchè il mio libro fa ricavare il principio di azione e reazione come una conseguenza di quello che ho enunciato all'inizio, e come si fa a capire in quali casi e perchè la risultante di forze interne e momenti di forze interne si annulla, in alcuni casi appunto.
Risposte
Non so se ho capito, ma io riassumerei così.
Sia dato un sistema formato da molti corpi. Ogni corpo è soggetto a molte forze, parte di queste sono interne al sistema (cioè provengono dalle interazioni con gli altri corpi), parte provengono dall'esterno del sistema.
La ΔQn del corpo n-esimo può essere vista come somma di ΔQni e ΔQne: la prima componente è dovuta all'azione per un certo tempo delle Fni (forze interne sul corpo n-esimo), la seconda all'azione delle Fne (forze esterne sul corpo n-esimo.)
Analogamente se consideriamo tutti i corpi facenti parte del sistema e sommiamo le forze agenti su ciascuno di essi, possiamo pensare la ΔQs risultante come formata da due componenti: ΔQs=ΔQsi+ΔQse. La prima è causata dalle forze interne, la seconda dalle forze esterne. In particolare la prima è quella che risulta immaginando di azzerare le forze esterne, la seconda immaginando di azzerare le forze interne. Questo perché il sistema è lineare e quindi vale la sovrapposizione degli effetti. Ma se azzeriamo le forze esterne allora si ricade nell'enunciato del principio, cioè la ΔQsi è nulla. Dunque il moto dell'intero sistema (del suo baricentro dunque) dipende solo dalle forze esterne. Insomma concluderei che il principio di azione-reazione riguarda le sole interazioni interne, e vale sempre e comunque anche in presenza di forze esterne poiché vale la sovrapposizione degli effetti, essendo il sistema lineare.
Detto ciò però ho il forte dubbio che non so se ho capito il tuo dubbio...
Sia dato un sistema formato da molti corpi. Ogni corpo è soggetto a molte forze, parte di queste sono interne al sistema (cioè provengono dalle interazioni con gli altri corpi), parte provengono dall'esterno del sistema.
La ΔQn del corpo n-esimo può essere vista come somma di ΔQni e ΔQne: la prima componente è dovuta all'azione per un certo tempo delle Fni (forze interne sul corpo n-esimo), la seconda all'azione delle Fne (forze esterne sul corpo n-esimo.)
Analogamente se consideriamo tutti i corpi facenti parte del sistema e sommiamo le forze agenti su ciascuno di essi, possiamo pensare la ΔQs risultante come formata da due componenti: ΔQs=ΔQsi+ΔQse. La prima è causata dalle forze interne, la seconda dalle forze esterne. In particolare la prima è quella che risulta immaginando di azzerare le forze esterne, la seconda immaginando di azzerare le forze interne. Questo perché il sistema è lineare e quindi vale la sovrapposizione degli effetti. Ma se azzeriamo le forze esterne allora si ricade nell'enunciato del principio, cioè la ΔQsi è nulla. Dunque il moto dell'intero sistema (del suo baricentro dunque) dipende solo dalle forze esterne. Insomma concluderei che il principio di azione-reazione riguarda le sole interazioni interne, e vale sempre e comunque anche in presenza di forze esterne poiché vale la sovrapposizione degli effetti, essendo il sistema lineare.
Detto ciò però ho il forte dubbio che non so se ho capito il tuo dubbio...
Secondo me, sempre che abbia inteso il tuo dubbio, si può procedere in due modi (mi limito alla conservazione della quantità di moto). Prima di tutto si enuncia la legge di inerzia, e dopo si può
1)ricavare la $sum vec(F)=m*vec(a)$ (dovrebbe valere anche come definizione di forza, si prende un'oggetto come campione di massa e quando è soggetto ad un'accelerazione unitaria definiamo come unitaria, rispetto al campione di massa, la forza che la sta tirando) e la terza legge nella formulazione di azione-reazione come leggi sperimentali. In seguito definire la quantità di moto di una particella $vec(p)$ come la quantità $m*vec(v)$ e quella di un sistema di particelle $vec(P)=sum vec(p_n)$ uguale a sua volta (una volta definitolo) alla massa totale per la velocità del centro di massa del sistema. Evidenziare che il suo incremento infinitesimo rispetto al tempo uguaglia la forza totale agente sul sistema $sum vec(F)=(dvec(P))/dt$. La forza totale consta di forze esterne e di forze interne, ma queste ultime, sapendo noi la terza legge di newton, sono zero. Quindi la precedente si riduce a $sum vec(F)_(ext)=(dvec(P))/dt$. Quand'anche $sum vec(F)_(ext)=0$ ci troviamo in un sistema isolato e quindi $vec(P)=cost$ (conservazione della quantità di moto ricavata "sulla carta" e mai smentita sperimentalmente, neanche al di fuori del dominio della meccanica classica dal quale è stata ricavata).Questo è come me l'hanno imparata
Ora provo a capire la strada che hai seguito tu
2)definisci la quantità di moto di una particella $vec(p)$ come la quantità $m*vec(v)$ e quella di un sistema di particelle $vec(P)=sum vec(p_n)$ uguale a sua volta (una volta definitolo) alla massa totale per la velocità del centro di massa del sistema. Definisci la forza come $sum vec(F)=(dvec(p))/dt$ (estendendola poi al sistema di particelle). Dividi la somma a sinistra nella somma delle forze esterne (forze causate sul sistema da enti esterni ad esso) più la somma delle forze interne (forze dovute alle interazioni tra le particelle del sistema stesso). Ci si mette in un sistema isolato, dove non intervengono forze esterne, cioè dove $(dvec(P))/dt=sum vec(F)_(sist)$, e si verifica sperimentalmente che non c'è variazione della quantità di moto totale del sistema, ovvero che $sum vec(F)_(sist)=0$ (risultante delle forze interne al sistema uguale a zero, cioè il terzo principio della dinamica).
ora non saprei, ma penso sia più facile verificare sperimentalmente il principio di azione-reazione che non la conservazione della quantità di moto, ma non so neanche se ho fatto ragionamenti corretti
1)ricavare la $sum vec(F)=m*vec(a)$ (dovrebbe valere anche come definizione di forza, si prende un'oggetto come campione di massa e quando è soggetto ad un'accelerazione unitaria definiamo come unitaria, rispetto al campione di massa, la forza che la sta tirando) e la terza legge nella formulazione di azione-reazione come leggi sperimentali. In seguito definire la quantità di moto di una particella $vec(p)$ come la quantità $m*vec(v)$ e quella di un sistema di particelle $vec(P)=sum vec(p_n)$ uguale a sua volta (una volta definitolo) alla massa totale per la velocità del centro di massa del sistema. Evidenziare che il suo incremento infinitesimo rispetto al tempo uguaglia la forza totale agente sul sistema $sum vec(F)=(dvec(P))/dt$. La forza totale consta di forze esterne e di forze interne, ma queste ultime, sapendo noi la terza legge di newton, sono zero. Quindi la precedente si riduce a $sum vec(F)_(ext)=(dvec(P))/dt$. Quand'anche $sum vec(F)_(ext)=0$ ci troviamo in un sistema isolato e quindi $vec(P)=cost$ (conservazione della quantità di moto ricavata "sulla carta" e mai smentita sperimentalmente, neanche al di fuori del dominio della meccanica classica dal quale è stata ricavata).Questo è come me l'hanno imparata
Ora provo a capire la strada che hai seguito tu
2)definisci la quantità di moto di una particella $vec(p)$ come la quantità $m*vec(v)$ e quella di un sistema di particelle $vec(P)=sum vec(p_n)$ uguale a sua volta (una volta definitolo) alla massa totale per la velocità del centro di massa del sistema. Definisci la forza come $sum vec(F)=(dvec(p))/dt$ (estendendola poi al sistema di particelle). Dividi la somma a sinistra nella somma delle forze esterne (forze causate sul sistema da enti esterni ad esso) più la somma delle forze interne (forze dovute alle interazioni tra le particelle del sistema stesso). Ci si mette in un sistema isolato, dove non intervengono forze esterne, cioè dove $(dvec(P))/dt=sum vec(F)_(sist)$, e si verifica sperimentalmente che non c'è variazione della quantità di moto totale del sistema, ovvero che $sum vec(F)_(sist)=0$ (risultante delle forze interne al sistema uguale a zero, cioè il terzo principio della dinamica).
ora non saprei, ma penso sia più facile verificare sperimentalmente il principio di azione-reazione che non la conservazione della quantità di moto, ma non so neanche se ho fatto ragionamenti corretti
Rispondo prima a strangolatore, poi rispondo a Falco.
A strangolatore.
Le tue dimostrazioni sono ineccepibili. Sulla seconda va detta una cosa in più.
Il mio testo dice espressamente che la relazione
$sum vec (f^i) = 0$ (e così anche il momento delle forze rispetto a un polo fisso),
pocihè le forze interne dipendono dalle posizioni relative occupate dai punti materiali costituenti il sistema, ma non dipendono dal fatto che sul sistema agiscano eventualmente altre forze, vale in generale, anche sui sistemi non liberi.
Qualunque sia la configurazione assunta da un sistema materiale, il risultante e il momento risultante delle forze interne sono nulli.
Da qui, poi, ricava il principio di azione e reazione.
Che si può dire a proposito di questo "dato in più" (quello sottolineato)? Se il sistema è libero, e quindi solo in virtù di questo vale il principio di conservazione che io ho enunciato, come si fa poi a estendere la conclusione cui è arrivato anche strangolatore nella sua seconda dimostrazione?
Sì, è vero che le righe che ho riportato sottolineandole spiegherebbero quello che mi chiedo, però a questo punto mi chiedo che senso abbia partire da un principio quasi "imperfetto", quasi incompleto? Non sarebbe stato meglio comunque partire dal principio di azione e reazione, in un quadro concettuale, visto che poi la derivazione, senza eccezioni, permette di contemplare tutti i casi (come pare dimostrare la prima dimostrazione di strangolatore)?
Così arrivo a Falco, che in alcune parole mi fa intravedere la soluzione in maniera semplice.
Dovrei capire bene che cos'è un sistema lineare e che cos'è il principio di sovrapposizione degli effetti, e in che modo conoscere queste cose possa aiutarmi per capire questa apparente "imperfezione" concettuale che paiono denunciare le parole del testo che ho riportato.
A strangolatore.
Le tue dimostrazioni sono ineccepibili. Sulla seconda va detta una cosa in più.
Il mio testo dice espressamente che la relazione
$sum vec (f^i) = 0$ (e così anche il momento delle forze rispetto a un polo fisso),
pocihè le forze interne dipendono dalle posizioni relative occupate dai punti materiali costituenti il sistema, ma non dipendono dal fatto che sul sistema agiscano eventualmente altre forze, vale in generale, anche sui sistemi non liberi.
Qualunque sia la configurazione assunta da un sistema materiale, il risultante e il momento risultante delle forze interne sono nulli.
Da qui, poi, ricava il principio di azione e reazione.
Che si può dire a proposito di questo "dato in più" (quello sottolineato)? Se il sistema è libero, e quindi solo in virtù di questo vale il principio di conservazione che io ho enunciato, come si fa poi a estendere la conclusione cui è arrivato anche strangolatore nella sua seconda dimostrazione?
Sì, è vero che le righe che ho riportato sottolineandole spiegherebbero quello che mi chiedo, però a questo punto mi chiedo che senso abbia partire da un principio quasi "imperfetto", quasi incompleto? Non sarebbe stato meglio comunque partire dal principio di azione e reazione, in un quadro concettuale, visto che poi la derivazione, senza eccezioni, permette di contemplare tutti i casi (come pare dimostrare la prima dimostrazione di strangolatore)?
Così arrivo a Falco, che in alcune parole mi fa intravedere la soluzione in maniera semplice.
In particolare la prima è quella che risulta immaginando di azzerare le forze esterne, la seconda immaginando di azzerare le forze interne. Questo perché il sistema è lineare e quindi vale la sovrapposizione degli effetti. Ma se azzeriamo le forze esterne allora si ricade nell'enunciato del principio, cioè la ΔQsi è nulla. Dunque il moto dell'intero sistema (del suo baricentro dunque) dipende solo dalle forze esterne. Insomma concluderei che il principio di azione-reazione riguarda le sole interazioni interne, e vale sempre e comunque anche in presenza di forze esterne poiché vale la sovrapposizione degli effetti, essendo il sistema lineare.
Detto ciò però ho il forte dubbio che non so se ho capito il tuo dubbio...
Dovrei capire bene che cos'è un sistema lineare e che cos'è il principio di sovrapposizione degli effetti, e in che modo conoscere queste cose possa aiutarmi per capire questa apparente "imperfezione" concettuale che paiono denunciare le parole del testo che ho riportato.
Sovrapposizione degli effetti.
Consideriamo un sistema qualsiasi, tale da produrre un effetto quando è stimolato da una causa. Ad esempio una particella materiale è un sistema che sottoposto a una causa $\vec F dt$ manifesta un effetto $\vec {dP} $.
Diciamo in generale che un sistema sollecitato da una causa A produce un effetto f(A). Se accade che il sistema sollecitato da una causa A=B+C produce un effetto f(A)=f(B+C)=f(B)+f(C), allora diciamo che il sistema è lineare perché vale la sovrapposizione degli effetti. Infatti il sistema sottoposto alla sollecitazione composta B+C produce un effetto complessivo pari alla somma degli effetti dei singoli stimoli. Come dire che l'effetto complessivo si può ottenere sommando singoli effetti parziali, ciascuno prodotto da un singolo stimolo come se agisse da solo.
Un esempio di sistema lineare è l'operazione di derivazione. Infatti la derivata della somma è la somma delle derivate no?
I sistemi lineari sono la stragrande maggioranza dei sistemi che si incontrano studiando la fisica (e quando non lo sono si approssimano lineari nell'intorno del punto di funzionamento).
Allora se hai un corpo materiale sottoposto a una somma di forze, puoi studiare il sistema come reagisce a ogni singola forza in termini di variazione di P o L (q. di moto o momento angolare), e poi sommare i risultati, cioè tutti i delta P trovati e tutti i delta L trovati, giungendo al risultato complessivo per somma. Naturalmente se ti è comodo puoi anche raggruppare le forze agenti in due categorie e calcolarne le risultanti in ingresso (risultante delle forze interne e risultante delle forze esterne), calcolare i due delta P prodotti e poi sommarli vettorialmente ottenendo il delta P complessivo.
Analogo discorso per il delta L (momento angolare).
Non so se sono stato chiaro...
Consideriamo un sistema qualsiasi, tale da produrre un effetto quando è stimolato da una causa. Ad esempio una particella materiale è un sistema che sottoposto a una causa $\vec F dt$ manifesta un effetto $\vec {dP} $.
Diciamo in generale che un sistema sollecitato da una causa A produce un effetto f(A). Se accade che il sistema sollecitato da una causa A=B+C produce un effetto f(A)=f(B+C)=f(B)+f(C), allora diciamo che il sistema è lineare perché vale la sovrapposizione degli effetti. Infatti il sistema sottoposto alla sollecitazione composta B+C produce un effetto complessivo pari alla somma degli effetti dei singoli stimoli. Come dire che l'effetto complessivo si può ottenere sommando singoli effetti parziali, ciascuno prodotto da un singolo stimolo come se agisse da solo.
Un esempio di sistema lineare è l'operazione di derivazione. Infatti la derivata della somma è la somma delle derivate no?
I sistemi lineari sono la stragrande maggioranza dei sistemi che si incontrano studiando la fisica (e quando non lo sono si approssimano lineari nell'intorno del punto di funzionamento).
Allora se hai un corpo materiale sottoposto a una somma di forze, puoi studiare il sistema come reagisce a ogni singola forza in termini di variazione di P o L (q. di moto o momento angolare), e poi sommare i risultati, cioè tutti i delta P trovati e tutti i delta L trovati, giungendo al risultato complessivo per somma. Naturalmente se ti è comodo puoi anche raggruppare le forze agenti in due categorie e calcolarne le risultanti in ingresso (risultante delle forze interne e risultante delle forze esterne), calcolare i due delta P prodotti e poi sommarli vettorialmente ottenendo il delta P complessivo.
Analogo discorso per il delta L (momento angolare).
Non so se sono stato chiaro...
Sei stato abbastanza chiaro, anche perchè studiando algebra già ho incontrato le applicazioni lineari; e quindi, gli operatori lineari: quello che mi interessava era, come al solito, la loro applicazione alla fisica...
Comunque, sarebbe tutto estremamente chiaro, se fossi già padrone di alcune grandezze, come momento della quantità di moto o momento delle forze, di cui solo ultimamente, studiando sistemi più complessi (ma ancora molto semplici), riesco a intravederne l'utilità. In ogni caso, lo chiedo lo stesso: perchè sono così importanti queste grandezze? Potreste darmi una risposta secca a questa domanda?
Comunque, sarebbe tutto estremamente chiaro, se fossi già padrone di alcune grandezze, come momento della quantità di moto o momento delle forze, di cui solo ultimamente, studiando sistemi più complessi (ma ancora molto semplici), riesco a intravederne l'utilità. In ogni caso, lo chiedo lo stesso: perchè sono così importanti queste grandezze? Potreste darmi una risposta secca a questa domanda?
Ti posso dire qualcosa sulla base della mia esperienza.
Spesso i sistemi sono soggetti oltre che a forze note anche a forze ignote, come ad esempio le reazioni vincolari. Queste reazioni sono difficili da calcolare, si sa solo che agiscono sul punto del vincolo.
Supponiamo che ci sia un sistema soggetto a forze note, ma che sia anche appoggiato o vincolato su un punto capace di fornire una reazione di vincolo (anch'essa una forza) che però non è semplice da determinare né in modulo né in direzione. Allora posizionando il polo per il calcolo dei momenti proprio nel punto del vincolo, questa forza, qualunque essa sia, ha momento zero rispetto al polo, poiché la distanza da esso è nulla. E allora il momento risultante diventa soltanto la somma di momenti dovuti a forze note, cosa che permette di calcolare il momento della quantità di moto del sistema anche ignorando la reazione vincolare esclusa. La quale poi può essere trovata per differenza, una volta noto il moto del sistema. Un vantaggio non da poco.
L'altro caso di utilità dei momenti è quando agiscono forze centrali, ovvero forze variabili in modulo e direzione ma provenienti tutte dal medesimo punto. E' il caso, ad esempio, dell'attrazione gravitazionale di un pianeta su un satellite. Posizionando il polo di calcolo dei momenti proprio sul pianeta, il momento della forza di attrazione è zero. Il che significa che lungo tutta l'orbita del satellite si mantiene costante il suo momento angolare (o momento della quantità di moto), e ogni possibile orbita avrà la proprietà di avere questo momento costante. Un'agevolazione notevole per il calcolo delle traiettorie!
Ciao.
Spesso i sistemi sono soggetti oltre che a forze note anche a forze ignote, come ad esempio le reazioni vincolari. Queste reazioni sono difficili da calcolare, si sa solo che agiscono sul punto del vincolo.
Supponiamo che ci sia un sistema soggetto a forze note, ma che sia anche appoggiato o vincolato su un punto capace di fornire una reazione di vincolo (anch'essa una forza) che però non è semplice da determinare né in modulo né in direzione. Allora posizionando il polo per il calcolo dei momenti proprio nel punto del vincolo, questa forza, qualunque essa sia, ha momento zero rispetto al polo, poiché la distanza da esso è nulla. E allora il momento risultante diventa soltanto la somma di momenti dovuti a forze note, cosa che permette di calcolare il momento della quantità di moto del sistema anche ignorando la reazione vincolare esclusa. La quale poi può essere trovata per differenza, una volta noto il moto del sistema. Un vantaggio non da poco.
L'altro caso di utilità dei momenti è quando agiscono forze centrali, ovvero forze variabili in modulo e direzione ma provenienti tutte dal medesimo punto. E' il caso, ad esempio, dell'attrazione gravitazionale di un pianeta su un satellite. Posizionando il polo di calcolo dei momenti proprio sul pianeta, il momento della forza di attrazione è zero. Il che significa che lungo tutta l'orbita del satellite si mantiene costante il suo momento angolare (o momento della quantità di moto), e ogni possibile orbita avrà la proprietà di avere questo momento costante. Un'agevolazione notevole per il calcolo delle traiettorie!
Ciao.
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