Termodinamica - piano scabro
Sia dato un cubo di massa $m$ che inizialmente scorre a velocità $v$ su un piano orizzontale scabro (istante $1$).
L'attrito tenderà a rallentare il cubo fino a fermarlo (istante $2$, appena si ferma)
Consideriamo il solo blocco
Indico con
$L_e$ lavoro fatto dalle forze esterne che agiscono sul cubo, tra l'istante $1$ e $2$
$L_i$ lavoro fatto dalle forze interne che agiscono sul cubo, tra l'istante $1$ e $2$
$Q$ calore assorbito dal cubo tra l'istante $1$ e $2$
$U$ energia interna del cubo
$E_c$ energia cinetica del cubo
Primo principio della termodinamica
$(U_2-U_1)+(E_(c2)-E_(c1))=L_e+Q$
Teorema dell'energia cinetica
$E_(c2)-E_(c1)=L_e+L_i$
facciamo l'ipotesi che il cubo sia un corpo rigido, quindi i punti del corpo rimangono alla stessa distanza reciproca e le forze interne non possono fare lavoro, cioè $L_i=0$
Inserendo i dati:
Primo principio della termodinamica
$U_2-U_1-1/2*m*v^2=L_e+Q$
Teorema dell'energia cinetica
$-1/2*m*v^2=L_e$
quindi
$U_2-U_1=Q$
Mi lascia perplesso perchè fisicamente mi sarei aspettato:
$U_2-U_1=1/2*m*v^2$
cioè che tutta l'energia cinetica del cubo si trasformi in energia interna
Cosa ne pensate?
L'attrito tenderà a rallentare il cubo fino a fermarlo (istante $2$, appena si ferma)
Consideriamo il solo blocco
Indico con
$L_e$ lavoro fatto dalle forze esterne che agiscono sul cubo, tra l'istante $1$ e $2$
$L_i$ lavoro fatto dalle forze interne che agiscono sul cubo, tra l'istante $1$ e $2$
$Q$ calore assorbito dal cubo tra l'istante $1$ e $2$
$U$ energia interna del cubo
$E_c$ energia cinetica del cubo
Primo principio della termodinamica
$(U_2-U_1)+(E_(c2)-E_(c1))=L_e+Q$
Teorema dell'energia cinetica
$E_(c2)-E_(c1)=L_e+L_i$
facciamo l'ipotesi che il cubo sia un corpo rigido, quindi i punti del corpo rimangono alla stessa distanza reciproca e le forze interne non possono fare lavoro, cioè $L_i=0$
Inserendo i dati:
Primo principio della termodinamica
$U_2-U_1-1/2*m*v^2=L_e+Q$
Teorema dell'energia cinetica
$-1/2*m*v^2=L_e$
quindi
$U_2-U_1=Q$
Mi lascia perplesso perchè fisicamente mi sarei aspettato:
$U_2-U_1=1/2*m*v^2$
cioè che tutta l'energia cinetica del cubo si trasformi in energia interna
Cosa ne pensate?
Risposte
Scrivendo per il primo principio
$U_2-U_1-1/2*m*v^2=L_e+Q$
stai includendo (giustamente) l'energia cinetica nell'energia del sistema; non puoi però riusare l'equazione dell'energia cinetica perché già l'hai impiegata dicendo che l'energia cinetica concorre all'energia del sistema cubo.
Alla fine possiamo dire che il cubo fermandosi e basta non compie lavoro verso l'esterno, possiamo concludere quindi che se non fosse scambiato neanche calore con l'esterno avremmo che l'energia cinetica iniziale del cubo sarebbe andata solo ad aumentare l'energia interna del cubo scaldandolo, altrimenti se del calore fluisce via dal cubo (come è nella realtà) una quota è andata ad aumentare l'energia interna del cubo mentre il resto è andata in calore ceduto all'esterno (al piano per esempio).
$U_2-U_1-1/2*m*v^2=L_e+Q$
stai includendo (giustamente) l'energia cinetica nell'energia del sistema; non puoi però riusare l'equazione dell'energia cinetica perché già l'hai impiegata dicendo che l'energia cinetica concorre all'energia del sistema cubo.
Alla fine possiamo dire che il cubo fermandosi e basta non compie lavoro verso l'esterno, possiamo concludere quindi che se non fosse scambiato neanche calore con l'esterno avremmo che l'energia cinetica iniziale del cubo sarebbe andata solo ad aumentare l'energia interna del cubo scaldandolo, altrimenti se del calore fluisce via dal cubo (come è nella realtà) una quota è andata ad aumentare l'energia interna del cubo mentre il resto è andata in calore ceduto all'esterno (al piano per esempio).
Ciao Faussone, innanzitutto ti voglio sinceramente ringraziare per la disponibilità allo scambio di idee e pazienza (non mi riferisco solo a questo post)
Non sono daccordo: trovo che il primo principio e il teorema dell'energia cinetica siano indipendenti, quindi applicabili sempre e simultaneamente a qualsiasi sistema.
Fisicamente perchè il primo è il principio di conservazione dell'energia, il secondo è conseguenza di $F=ma$ cioè il secondo principio della dinamica.
Matematicamente perché $Q$ e $U$ compaiono solo nella primo principio, mentre $L_i$ solo nel teorema dell'energia.
e il lavoro d'attrito?
"Faussone":
Scrivendo per il primo principio
$U_2-U_1-1/2*m*v^2=L_e+Q$
stai includendo (giustamente) l'energia cinetica nell'energia del sistema; non puoi però riusare l'equazione dell'energia cinetica perché già l'hai impiegata dicendo che l'energia cinetica concorre all'energia del sistema cubo.
Non sono daccordo: trovo che il primo principio e il teorema dell'energia cinetica siano indipendenti, quindi applicabili sempre e simultaneamente a qualsiasi sistema.
Fisicamente perchè il primo è il principio di conservazione dell'energia, il secondo è conseguenza di $F=ma$ cioè il secondo principio della dinamica.
Matematicamente perché $Q$ e $U$ compaiono solo nella primo principio, mentre $L_i$ solo nel teorema dell'energia.
"Faussone":
[...]Alla fine possiamo dire che il cubo fermandosi e basta non compie lavoro verso l'esterno
e il lavoro d'attrito?
Puoi scrivere il primo principio scrivendo la variazione di energia solo come variazione di energia interna, allora nel termine del lavoro entra il lavoro che il cubo scambia con l'esterno variando la propria energia cinetica.
Se invece, come hai fatto, scrivi il primo principio facendo entrare nella variazione di energia anche la variazione di energia cinetica, non puoi nel lavoro scambiato far entrare di nuovo la variazione di energia cinetica.
In altre parole nella variazione di energia, fai entrare anche la variazione di energia meccanica, quindi hai già utilizzato l'equazione del lavoro e dell'energia cinetica.
E' molto banale in termine di formule: alla fine o quel termine lo metti a sinistra o a destra...
A me viene naturale equiparare il lavoro d'attrito a calore, visto che non si tratta di lavoro utile, essendo quel lavoro disperso in calore in sostanza, puoi comunque anche lasciarlo nel lavoro, è del tutto equivalente.
Se invece, come hai fatto, scrivi il primo principio facendo entrare nella variazione di energia anche la variazione di energia cinetica, non puoi nel lavoro scambiato far entrare di nuovo la variazione di energia cinetica.
In altre parole nella variazione di energia, fai entrare anche la variazione di energia meccanica, quindi hai già utilizzato l'equazione del lavoro e dell'energia cinetica.
E' molto banale in termine di formule: alla fine o quel termine lo metti a sinistra o a destra...
"ralf86":
e il lavoro d'attrito?
A me viene naturale equiparare il lavoro d'attrito a calore, visto che non si tratta di lavoro utile, essendo quel lavoro disperso in calore in sostanza, puoi comunque anche lasciarlo nel lavoro, è del tutto equivalente.
"Faussone":
Puoi scrivere il primo principio scrivendo la variazione di energia solo come variazione di energia interna
Certo, ma allora compare solo il lavoro delle forze interne, cioè (vedi definizioni sopra):
$(U_2-U_1)=- L_i+Q$
Sto considerando solo le forze che agiscono sul cubo e non le forze che il cubo esercita sull'esterno (anche se il terzo principio della dinamica le collega facilmente). Quindi, per chiarezza, lascerei perdere il lavoro che il cubo fa sull'esterno focalizzandoci sul lavoro che l'esterno fa sul cubo.
La forza di attrito che agisce sul cubo (*) è applicata istantaneamente su punti del cubo che si muovono con velocità opposta alla forza, quindi questa forza fa lavoro negativo sul cubo.
Non mi sembra inoltre concettualmente corretto identificare il lavoro di attrito con il calore, a meno di utilizzare le uguaglianze dei principi.
Inoltre, trovo che bisogna essere precisi e specificare sempre con attenzione se si sta parlando di lavoro delle forze esterne o lavoro delle forze interne. In questo senso mi pare di aver scritto i principi correttamente.
Spesso i libri non fanno chiarezza su questo aspetto, mentre trovo che sia importante anche a livello didattico per capire i collegamenti tra meccanica e termodinamica.
(*) Sarebbe più corretto parlare di distribuzione di tensioni tangenziali che agiscono sulla faccia del cubo a contatto col piano scabro; tuttavia a noi interessa solo il lavoro della distribuzione quindi possiamo pensare di sostituirla con la loro risultante senza alterare il risultato
Non riesco proprio a seguirti, mi spiace.
A me in questo esempio pare tutto così semplice... Non ho nulla contro il rigore formale, ma per il rigore non ci si può impiccare perdendo di vista aspetti fondamentali e immediati.
Comunque siamo d'accordo che il cubo fermandosi dissipa la sua energia cinetica in calore e che parte di questo calore può andare ad aumentare l'energia interna del cubo?
Bene, se sì il resto lo lascio volentieri a te.
A me in questo esempio pare tutto così semplice... Non ho nulla contro il rigore formale, ma per il rigore non ci si può impiccare perdendo di vista aspetti fondamentali e immediati.
Comunque siamo d'accordo che il cubo fermandosi dissipa la sua energia cinetica in calore e che parte di questo calore può andare ad aumentare l'energia interna del cubo?
Bene, se sì il resto lo lascio volentieri a te.
in cosa non riesci a seguirmi?
per il resto sì, siamo d'accordo: è quello deve succedere;
ciò non toglie che il risultato che l'intuizione fisica suggerisce deve tornare anche con le formule.
L'esempio è volutamente semplice, perchè se ne avessi scelto uno più complesso e dal risultato fisico meno immediato, non sarebbe stato così evidente che ci sia un errore nella formulazione.
il problema è: dov'è l'errore?
Quando tutto tornerà in questo esempio allora potrò applicare con maggior sicurezza le formule anche a casi più complessi.
per il resto sì, siamo d'accordo: è quello deve succedere;
ciò non toglie che il risultato che l'intuizione fisica suggerisce deve tornare anche con le formule.
L'esempio è volutamente semplice, perchè se ne avessi scelto uno più complesso e dal risultato fisico meno immediato, non sarebbe stato così evidente che ci sia un errore nella formulazione.
il problema è: dov'è l'errore?
Quando tutto tornerà in questo esempio allora potrò applicare con maggior sicurezza le formule anche a casi più complessi.
"ralf86":
siamo d'accordo: è quello deve succedere;
Bene.
Provo a fare il rigoroso allora, vediamo se questa volta ti convinco. Credo infatti di aver capito il nocciolo della questione: tu stai considerando come sistema termodinamico il solo cubo, io invece avevo considerato, senza averlo chiarito, il sistema cubo più piano. Me ne scuso, ma mi era venuto naturale leggere le cose così e data la semplicità del problema non avevo prestato più di tanta attenzione alla cosa.
Provo allora a riscrivere le cose con un punto di vista più simile al tuo.
Il cubo non fa alcun lavoro sull'esterno, mentre possiamo dire che l'esterno fa un lavoro $L_a$ sul cubo visto che c'è una forza che lo frena; per quanto riguarda il calore che il cubo assorbe dall'esterno chiamiamolo genericamente $Q$, mentre per la variazione di energia possiamo dire che è pari alla variazione di energia interna più la variazione di energia cinetica.
Si ha quindi:
$U_2-U_1 - 1/2m v^2= Q-L_a$
Il lavoro $L_a$ è il lavoro fatto dalla forza esterna per frenare il cubo quindi prendendo il sistema termodinamico cubo da solo è corretto dire che è pari all'energia cinetica (alla sua variazione per essere precisi).
Si ha quindi che la variazione di energia interna del cubo è pari al CALORE che il cubo assorbirebbe dall'esterno.
Questo sembra strano, ma non lo è. Se come forza esterna frenante non pensiamo all'attrito infatti, ma ad una forza esterna che ferma il cubo spingendo su una sua faccia il risultato non sembra affatto strano, no?
Il punto è che l'attrito dinamico agendo produce calore, tra piano e cubo, ma tale calore non lo possiamo ritrovare per così dire "gratis" in questa trattazione avendo considerato come sistema termodinamico il solo cubo. In pratica dobbiamo fare se vogliamo trovare quello un passaggio in più e eguagliare il calore assorbito dal cubo dall'esterno ad una quota parte del calore prodotto per attrito.
Nella mia trattazione invece consideravo il sistema termodinamico cubo più piano.
Avremmo a questo punto che il primo principio si può scrivere come
$U_2 - U_1 - 1/2 m v^2 = 0$
Dove con $U$ intendo stavolta l'energia interna del cubo più quella del piano. Tale sistema non scambia né calore né lavoro con il resto dell'universo.
Avremmo quindi che il cubo più il piano aumentano la loro energia interna a spese dalla energia cinetica del cubo.
Ciao Faussone,
allora dovrebbe essere:
$U_2-U_1 - 1/2m v^2= Q+L_a$
con $L_a=-\mu*m*g*d$ (per intenderci)
Qui non capisco
"Faussone":
$U_2-U_1 - 1/2m v^2= Q-L_a$
Il lavoro $L_a$ è il lavoro fatto dalla forza esterna per frenare il cubo ...
allora dovrebbe essere:
$U_2-U_1 - 1/2m v^2= Q+L_a$
con $L_a=-\mu*m*g*d$ (per intenderci)
"Faussone":
...quindi prendendo il sistema termodinamico cubo da solo è corretto dire che è pari all'energia cinetica (alla sua variazione per essere precisi).
Si ha quindi che la variazione di energia interna del cubo è pari al lavoro che il cubo assorbirebbe dall'esterno.
Qui non capisco
"ralf86":
allora dovrebbe essere:
$U_2-U_1 - 1/2m v^2= Q+L_a$
con $L_a=-\mu*m*g*d$ (per intenderci)
Pura questione di convenzioni. Io ho inteso $L_a$ come lavoro fatto dall'esterno sul cubo (quindi maggiore di zero se è l'esterno a fare lavoro sul cubo come è in questo caso) per cui ho messo il segno meno davanti al lavoro nello scrivere il primo principio, ottenendo alla fine esattamente quello che hai scritto tu. Su questo spero proprio non occorra soffermarsi!
"ralf86":
Qui non capisco
E' la formula a cui sei giunto tu all'inizio:
$U_2-U_1=Q$
quindi la variazione di energia interna è pari al calore (generico e incognito) che il cubo assorbe dall'esterno.
[EDIT Mi rendo conto che prima avevo scritto lavoro invece di calore, quello ha generato la confusione allora. A parte quella svista il resto spero sia chiaro].
Il resto come da precedente messaggio.
perfetto!
morale: torna anche a te quello che ho scritto ed è giusto così!
Se siconsidera il piano si ottiene un risultato del tutto analogo.
La scelta migliore è quella che hai pensato tu: cubo + piano che da un risultato meno generico.
Infine mettendo insieme i risultati dei tre punti di vista si ottiene (come doveva) che la somma del calore ricevuto dal pavimento e il calore ricevuto dal cubo è uguale all'opposto del lavoro fatto dalla forza di attrito sul cubo.
Scoperta l'acqua calda dirai!
la macchina predittiva dei principi sembra stia funzionando a dovere. Ancora qualche cauto collaudo poi la sperimenterò in percorsi più impegnativi
piccola precisazione: per come ti eri eri espresso il tuo lavoro aveva un segno sbagliato, se rileggi te ne accorgerai.
Perchè se dichiari che $L_a$ è il lavoro delle forze esterne e lo scrivi vicino a $Q$ che hai dichiarato essere il calore assorbito dal blocco (fin qui tutte scelte di comodo e arbitrarie) allora però sei obbligato a metterci il segno $+$ davanti a $L_a$. Non è una questione di convenzioni come non lo è che il lavoro fatto dalle forze esterne è $-\mu*m*g*d$ quindi negativo
ciao faussone e buona serata
morale: torna anche a te quello che ho scritto ed è giusto così!
Se siconsidera il piano si ottiene un risultato del tutto analogo.
La scelta migliore è quella che hai pensato tu: cubo + piano che da un risultato meno generico.
Infine mettendo insieme i risultati dei tre punti di vista si ottiene (come doveva) che la somma del calore ricevuto dal pavimento e il calore ricevuto dal cubo è uguale all'opposto del lavoro fatto dalla forza di attrito sul cubo.
Scoperta l'acqua calda dirai!
la macchina predittiva dei principi sembra stia funzionando a dovere. Ancora qualche cauto collaudo poi la sperimenterò in percorsi più impegnativi
piccola precisazione: per come ti eri eri espresso il tuo lavoro aveva un segno sbagliato, se rileggi te ne accorgerai.
Perchè se dichiari che $L_a$ è il lavoro delle forze esterne e lo scrivi vicino a $Q$ che hai dichiarato essere il calore assorbito dal blocco (fin qui tutte scelte di comodo e arbitrarie) allora però sei obbligato a metterci il segno $+$ davanti a $L_a$. Non è una questione di convenzioni come non lo è che il lavoro fatto dalle forze esterne è $-\mu*m*g*d$ quindi negativo
ciao faussone e buona serata
Bene. Finalmente!
Sei un po' troppo rigido.. Anche se all'inizio é meglio essere rigidi che rischiare di fare errori..
Chi mi vieta di scrivere positivo il lavoro fatto sul cubo e poi di mettere il segno meno nel primo principio, volendo lí negativo il lavoro fatto dal sistema sul cubo? L'importante é sapere cosa si maneggia.
"ralf86":
piccola precisazione: per come ti eri eri espresso il tuo lavoro aveva un segno sbagliato, se rileggi te ne accorgerai.
Perchè se dichiari che $L_a$ è il lavoro delle forze esterne e lo scrivi vicino a $Q$ che hai dichiarato essere il calore assorbito dal blocco (fin qui tutte scelte di comodo e arbitrarie) allora però sei obbligato a metterci il segno $+$ davanti a $L_a$. Non è una questione di convenzioni come non lo è che il lavoro fatto dalle forze esterne è $-\mu*m*g*d$ quindi negativo
Sei un po' troppo rigido.. Anche se all'inizio é meglio essere rigidi che rischiare di fare errori..
Chi mi vieta di scrivere positivo il lavoro fatto sul cubo e poi di mettere il segno meno nel primo principio, volendo lí negativo il lavoro fatto dal sistema sul cubo? L'importante é sapere cosa si maneggia.
"Faussone":
Chi mi vieta di scrivere positivo il lavoro fatto sul cubo e poi di mettere il segno meno nel primo principio
bè, visto che la forza di attrito che agisce sul cubo tende a rallentarlo, il suo lavoro è negativo.
(a meno che tu non consideri altre definizioni di lavoro diverse da quella classica col prodotto scalare, ma non credo)
Poi questo lavoro lo puoi benissimo invece pensare positivo e scrivere col segno meno davanti, ma non mi sembra molto "pulito" e soprattutto coerente con la dichiarazione che $L_a$ sia il lavoro fatto sul cubo
Altra cosa che ho sempre trovato delicata.
Mi confermi che il blocco non fa lavoro sul pavimento?
Non fa lavoro perchè istante per istante la forza di attrito che il cubo esercita sul pavimento è applicata su punti del pavimento che sono immobili.
Un discorso analogo vale per il lavoro delle forze che si scambiano il pneumatico con l'asfalto in puro rotolamento: in quel caso non fa lavoro neanche la forza che l'asfalto esercita sul pneumatico perchè agisce istantaneamente su punti del pneumatico che hanno velocità nulla.
"ralf86":
Poi questo lavoro lo puoi benissimo invece pensare positivo e scrivere col segno meno davanti, ma non mi sembra molto "pulito" e soprattutto coerente con la dichiarazione che $L_a$ sia il lavoro fatto sul cubo
Ti ho detto, l'importante è capirsi e soprattutto essere congruenti con le scelte che si fanno, io non ho esplicitato quel lavoro, se l'avessi fatto e l'avessi fatto col segno sbagliato avrei commesso un errore e sarei d'accordo con te.
Da come avevo scritto (dicendo che $L_a$ è il lavoro che l'esterno fa sul cubo) a me sembra chiaro che $L_a$ fosse per me comunque positivo, quindi non ho commesso errori. Se per te l'ho fatto va bene proverò a farmene una ragione.
"ralf86":
Altra cosa che ho sempre trovato delicata.
Mi confermi che il blocco non fa lavoro sul pavimento?
Non fa lavoro perchè istante per istante la forza di attrito che il cubo esercita sul pavimento è applicata su punti del pavimento che sono immobili.
Un discorso analogo vale per il lavoro delle forze che si scambiano il pneumatico con l'asfalto in puro rotolamento: in quel caso non fa lavoro neanche la forza che l'asfalto esercita sul pneumatico perchè agisce istantaneamente su punti del pneumatico che hanno velocità nulla.
Per la seconda parte (pneumatico con asfalto) confermo tutto. Infatti parli di lavoro delle forze scambiate.
Per la prima parte, parli di lavoro di un corpo e lavoro di un altro corpo che è un po' improprio, anche se lo si fa, e l'ho fatto anch'io in questa discussione, persino un po' più su in questo messaggio... In realtà si dovrebbe sempre parlare di lavoro delle forze scambiate tra piano e cubo... Quindi per esempio per $L_a$ si dovrebbe dire che è il lavoro che le forze esterne fanno sul cubo.
Riguardo la convenzione lasciamo perdere, alla fine basta "fare bene i conti". Comunque credo ancora che la mia critica sia ben fondata.
Per il resto: perfetto, grazie.
Si sono stato poco preciso, d'altra parte mi sembra che sia prassi comune in fisica considerare che
"lavoro che il corpo A fa sul corpo B"
è la versione abbreviata del più preciso
"lavoro fatto dalle forze che A applica su B"
comunque visto che il risparmio di scrittura non è molto eviterò di usare la prima versione
ciao!
Per il resto: perfetto, grazie.
Si sono stato poco preciso, d'altra parte mi sembra che sia prassi comune in fisica considerare che
"lavoro che il corpo A fa sul corpo B"
è la versione abbreviata del più preciso
"lavoro fatto dalle forze che A applica su B"
comunque visto che il risparmio di scrittura non è molto eviterò di usare la prima versione
ciao!
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