Termodinamica e varianza...
ciao a tutti,
stavo leggendo un libro di statistica in cui si cercavano di ottenere delle distribuzioni termodinamiche... (in particolare quella di Maxwel-Boltzmann)
e a un certo punto trovo scritto: "usando la nota relazione fra varianza e temperatura $msigma^2=kT$"
io sinceramente non me la ricordo proprio questa relazione... qualcuno può farmi un riassuntino o dirmi dove andare a rivedermela???
(tra l'altro dal contesto non si riesce nemmeno a capire varianza di cosa)
grazie
stavo leggendo un libro di statistica in cui si cercavano di ottenere delle distribuzioni termodinamiche... (in particolare quella di Maxwel-Boltzmann)
e a un certo punto trovo scritto: "usando la nota relazione fra varianza e temperatura $msigma^2=kT$"
io sinceramente non me la ricordo proprio questa relazione... qualcuno può farmi un riassuntino o dirmi dove andare a rivedermela???
(tra l'altro dal contesto non si riesce nemmeno a capire varianza di cosa)
grazie
Risposte
prima che questo topic finisca nel dimenticatoio, volevo solo dire che probabilmente la varianza si riferisce alla velocità o al suo quadrato... ma visto che non so da dove si è ricavata questa formula, spero che me lo dica qualcuno di voi 
ti posso solo dire che a me fa venire in mente il principio di equipartizione dell'energia: il primo membro dovrebbe esprimere il doppio dell'energia cinetica, il secondo membro il doppio dell'energia cinetica media molecolare per grado di libertà in un sistema in equilibrio termico. ma non mi chiedere altro perché non saprei... ciao.
grazie per la risposta,
molto probabilmente la formula si può derivare anche dal principio di equipartizione dell'energia visto che sono abbastanza simili, però ci deve essere qualche altro modo, perchè sul libro è data come "nota relazione" ed è usata per ricavare la distribuzione di Maxwell-Boltzmann da cui si ricava il principio di equipartizione...
boooo
evidentemente questa relazione non è poi così "nota"...
molto probabilmente la formula si può derivare anche dal principio di equipartizione dell'energia visto che sono abbastanza simili, però ci deve essere qualche altro modo, perchè sul libro è data come "nota relazione" ed è usata per ricavare la distribuzione di Maxwell-Boltzmann da cui si ricava il principio di equipartizione...
boooo
evidentemente questa relazione non è poi così "nota"...
Nell'ambito dell'ingegneria elettronica si fa spesso uso della relazione $sigma^2=4kTRB$, dove $sigma^2$ è il valore quadratico medio della tensione di rumore ai capi di una resistenza $R$ a temperatura (assoluta) $T$ e $B$ è la banda.
Bisognerebbe capire a cosa è riferita questa varianza.
La distribuzione di Maxwell-Boltzmann per le velocità è $f(v) = 4\pi (m/{2\pikT})^{3/2} v^2 e^{-m/{2\pikT}}$.
Calcoli il valore medio della tua funzione della velocità come $\langleg(v)\rangle = \int_0^\infty g(x)f(x)dx$ e quindi la varianza come $\sigma[g(v)] = \int_0^\infty [g(x) - \langleg(v)\rangle]^2f(x)dx$.
Tuttavia facendo i conti sia con $v$ che con $v^2$ non mi torna il risultato che riporti.
Nel primo caso ottengo $\sigma(v) = (3\pi-8)\frac{kT}{m\pi}$ mentre nel secondo $\sigma(v^2) = 6\frac{k^2T^2}{m^2}$.
La distribuzione di Maxwell-Boltzmann per le velocità è $f(v) = 4\pi (m/{2\pikT})^{3/2} v^2 e^{-m/{2\pikT}}$.
Calcoli il valore medio della tua funzione della velocità come $\langleg(v)\rangle = \int_0^\infty g(x)f(x)dx$ e quindi la varianza come $\sigma[g(v)] = \int_0^\infty [g(x) - \langleg(v)\rangle]^2f(x)dx$.
Tuttavia facendo i conti sia con $v$ che con $v^2$ non mi torna il risultato che riporti.
Nel primo caso ottengo $\sigma(v) = (3\pi-8)\frac{kT}{m\pi}$ mentre nel secondo $\sigma(v^2) = 6\frac{k^2T^2}{m^2}$.
scusate la pausa di una settimana, ma ero impegnato...
allora, finalmente, ragionandoci con calma ho risolto più o meno tutti i dubbi... e rivedendo le cose mi pare che ci siamo persi in un bicchier d'acqua...
facendo una breve analisi dimensionale si vede che la varianza deve essere della velocità
inoltre questa formula è proprio il Principio di Equipartizione dell'energia, solo che nessuno di noi l'ha riconosciuta perché invece di $$ c'era scritto $sigma^2$ ma è la stessa cosa,
questo perché $sigma^2(x)= - ^2$ e se la grandezza in considerazione è la velocità allora $^2=0$ e ottengo proprio la famosa formula $1/2m = =1/2kT$ che conosciamo bene.
$$ e $$ si calcolano mediando sulla distribuzione di Boltzmann.
ora che ho chiarito i dubbi...propongo un'altra domanda...
nel libro che leggevo si usava la formula di equipartizione (che abbiamo visto si ricava dalla distribuzione di Boltzmann) per ricavare la distribuzione stessa, quindi esiste un altro modo per ricavare sto principio di equipartizione??
(a sto punto mi sa che nel libro hanno fatto una sorta di lavoro alla rovescia, ma non si sa mai...)
grazie
allora, finalmente, ragionandoci con calma ho risolto più o meno tutti i dubbi... e rivedendo le cose mi pare che ci siamo persi in un bicchier d'acqua...
facendo una breve analisi dimensionale si vede che la varianza deve essere della velocità
inoltre questa formula è proprio il Principio di Equipartizione dell'energia, solo che nessuno di noi l'ha riconosciuta perché invece di $
questo perché $sigma^2(x)=
$
ora che ho chiarito i dubbi...propongo un'altra domanda...
nel libro che leggevo si usava la formula di equipartizione (che abbiamo visto si ricava dalla distribuzione di Boltzmann) per ricavare la distribuzione stessa, quindi esiste un altro modo per ricavare sto principio di equipartizione??
(a sto punto mi sa che nel libro hanno fatto una sorta di lavoro alla rovescia, ma non si sa mai...)
grazie
"adaBTTLS":
ti posso solo dire che a me fa venire in mente il principio di equipartizione dell'energia: il primo membro dovrebbe esprimere il doppio dell'energia cinetica, il secondo membro il doppio dell'energia cinetica media molecolare per grado di libertà in un sistema in equilibrio termico. ma non mi chiedere altro perché non saprei... ciao.
Cantaro ha scritto: "...inoltre questa formula è proprio il Principio di Equipartizione dell'energia, solo che nessuno di noi l'ha riconosciuta..."
quanto al principio già citato, slegato dalle statistiche di Maxwell-Boltzmann, ora non ho tempo, ma penso sia collegato alla formula di Mayer: ti consiglio di cercare informazioni su questa formula.
ciao.
scusa, hai ragione, tu l'hai riconosciuto
andrò a rivedere se la legge di Mayer (anche se da quel che ricordo non credo siano collegate....booo controllerò)
grazie per l'aiuto
andrò a rivedere se la legge di Mayer (anche se da quel che ricordo non credo siano collegate....booo controllerò)
grazie per l'aiuto
prego. io mi riferisco a come si ricava la costante dei gas (R) attraverso i calori molari... ciao.
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