Termodinamica e corpo rigido
Salve a tutti; ho un piccolo dubbio che non riesco a sanare e mi serve il vostro aiuto.
Stavo ripassando in termodinamica il primo principio applicato ai corpi rigidi, che come tutti sappiamo sono quei corpi per cui la variazione di volume nelle varie trasformazioni è trascurabile.
Si può allora dire che l'energia interna per questo tipo di corpi dipenda solamente da u parametro la temperatura. Non riesco però a capirne il motivo; in realtà è vero che se ad esempio c'è un aumento di pressione la temperatura varia, ma vale anche il contrario, quindi in teoria potrei decidere io quale tra le variabili termodinamiche P e T adottare nella descrizione del sistema, giusto??
Vi ringrazio per l'aiuto
Distinti saluti
Stavo ripassando in termodinamica il primo principio applicato ai corpi rigidi, che come tutti sappiamo sono quei corpi per cui la variazione di volume nelle varie trasformazioni è trascurabile.
Si può allora dire che l'energia interna per questo tipo di corpi dipenda solamente da u parametro la temperatura. Non riesco però a capirne il motivo; in realtà è vero che se ad esempio c'è un aumento di pressione la temperatura varia, ma vale anche il contrario, quindi in teoria potrei decidere io quale tra le variabili termodinamiche P e T adottare nella descrizione del sistema, giusto??
Vi ringrazio per l'aiuto
Distinti saluti
Risposte
Siccome il corpo è rigido, le sue particelle sono in una posizione immutabile; di conseguenza le particelle di un corpo rigido non potranno applicare su altre particelle forze che spostano il loro punto di applicazione, e quindi per un corpo rigido il lavoro compiuto sarà sempre nullo. Ciò significa che il primo principio della termodinamica, per un corpo rigido, si scrive come $U_f-U_i=Q$, cioè come $U_f=Q+U_i$. Considerando poi che vale l'equazione $Q=m*c*(T_f-T_i)$, abbiamo che il primo principio diventa $U_f = m*c*(T_f-T_i)+U_i$. Se supponi note ad un certo stato l'energia interna, la temperatura iniziale, la massa ed il calore specifico, ottieni un'equazione nelle sole incognite $U_f$ e $T_f$, quindi deduci che l'energia di un corpo rigido è funzione solo della temperatura. Spero di non aver detto cavolate!!!
Scusami, ma tu arrivi a dire che \(\displaystyle Q=mc(T_{f}-T_{i}) \) proprio dal fatto che l'energia interna dipende dalla temperatura, e quindi da qui non puoi impostare la tua dimostrazione. Infatti il calore è uguale al lavoro (che è nullo come dici te) e alla variazione di energia interna, che poi si scopre essere pari alla variazione di temperatura.
"Catanzani":
Scusami, ma tu arrivi a dire che \(\displaystyle Q=mc(T_{f}-T_{i}) \) proprio dal fatto che l'energia interna dipende dalla temperatura, e quindi da qui non puoi impostare la tua dimostrazione.
Perchè? Non capisco. Sei d'accordo che il primo principio per un corpo rigido si scrive come $U_f-U_i=Q$?
Bene (suppongo che tu sia d'accordo). Sei d'accordo sul fatto che per un corpo rigido (ma anche per altri corpi) vale l'equazione $Q=mc(T_f-T_i)$? Bene (suppongo che tu sia d'accordo). Allora non può che valere, per un corpo rigido, l'equazione $(U_f)-(U_i)=mc(T_f-T_i)$, cioè l'equazione $(U_f)=(U_i)+mc(T_f-T_i)$ (1).
Ora considera un corpo rigido in un certo stato e misurane la massa, la temperatura, il calore specifico (che supponiamo costante) e l'energia interna. Se vai a sostituire questi dati nell'equazione (1), ottieni un'equazione nelle sole incognite $U_f$ e $T_f$, che dimostra quello che volevi dimostrare, cioè la dipendenza dell'energia interna dalla temperatura. Ti trovi?
Faccio un up per sapere se Catanzani ha risolto il problema (non credo sia vietato dal regolamento, visto che sono io a fare l'up).
Ciao, guarda, io non concordo con quello che dici:
Concordo con il fatto che per il primo principio della termodinamica \(\displaystyle Q-L=\triangle U \), e che essendo L = 0 si ha \(\displaystyle Q=\triangle U \).
Ora te però affermi che per i corpi rigidi vale la formula \(\displaystyle Q=mc(T_{b}-T_{a}) \); per me questa frase dovrebbe essere la tesi del tuo ragionamento, e non il punto di arrivo.
Infatti supponendo che l'energia interna dipenda soltanto dalla temperatura, si ha:
\(\displaystyle Q=U(t_{b})-U(t_{a}) \)
Sapendo che il calore specifico si ottiene come:
\(\displaystyle c=\frac{1}{m}\frac{dQ}{dT}=\frac{1}{m}\frac{dU}{dT} \)
\(\displaystyle dU=mcdT \)
che integrata mi da:
\(\displaystyle U=mcT+cost \)
Da cui ottengo quello che dici te, ma che è la tesi di un ragionamento e non il punto di partenza.
\(\displaystyle Q=mc\triangle T \)
Può essere che non abbia ben capito il tuo ragionamento, ma a me pare che tu stia ragionando al contrario
Concordo con il fatto che per il primo principio della termodinamica \(\displaystyle Q-L=\triangle U \), e che essendo L = 0 si ha \(\displaystyle Q=\triangle U \).
Ora te però affermi che per i corpi rigidi vale la formula \(\displaystyle Q=mc(T_{b}-T_{a}) \); per me questa frase dovrebbe essere la tesi del tuo ragionamento, e non il punto di arrivo.
Infatti supponendo che l'energia interna dipenda soltanto dalla temperatura, si ha:
\(\displaystyle Q=U(t_{b})-U(t_{a}) \)
Sapendo che il calore specifico si ottiene come:
\(\displaystyle c=\frac{1}{m}\frac{dQ}{dT}=\frac{1}{m}\frac{dU}{dT} \)
\(\displaystyle dU=mcdT \)
che integrata mi da:
\(\displaystyle U=mcT+cost \)
Da cui ottengo quello che dici te, ma che è la tesi di un ragionamento e non il punto di partenza.
\(\displaystyle Q=mc\triangle T \)
Può essere che non abbia ben capito il tuo ragionamento, ma a me pare che tu stia ragionando al contrario
"Catanzani":
Ciao, guarda, io non concordo con quello che dici:
Concordo con il fatto che per il primo principio della termodinamica \(\displaystyle Q-L=\triangle U \), e che essendo L = 0 si ha \(\displaystyle Q=\triangle U \).
Ok.
"Catanzani":
Ora te però affermi che per i corpi rigidi vale la formula \(\displaystyle Q=mc(T_{b}-T_{a}) \); per me questa frase dovrebbe essere la tesi del tuo ragionamento, e non il punto di arrivo.
L'equazione in questione è un'equazione che si ricava sperimentalmente una volta che sono state definite le grandezze fisiche "calore" e "temperatura".
Non sto ragionando al contrario. Per un corpo rigido si possono scrivere due equazioni che si ricavano da risultati sperimentali.
La prima è $U_f-U_i=Q$. La seconda è $Q=mc(T_f-T_i)$. Ripeto, queste due equazioni si ricavano facendo gli esperimenti. Allora si deduce che non può che valere l'equazione $U_f-U_i=mc(T_f-T_i)$ (1), che si ottiene sostituendo al secondo membro della prima equazione il secondo membro della seconda. L'equazione (1) la puoi riscrivere anche come $U_f=U_i+mc(T_f-T_i)$. Questo è tutto.
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