[Termodinamica] dimostrazione teorema di Clausius
ciao a tutti!
ho un piccolo dubbio sulla dimostrazione del teorema di Clausius...
allora, il teorema afferma che per un ciclo irreversibile di una macchina M vale:
$sum _i ^n \frac {Q_i} {T_i} <= 0$
dimostrazione:
facendo riferimento alla figura, inseriamo tra le sorgenti $T_i$ e una sorgente $T_0$ n macchine reversibili.
Primo dubbio: perchè le macchine $R_i$ scambiano calore uguale e contrario con le sorgenti $T_i$ rispetto quello scambiato da M?
Secondo dubbio: le macchine $R_i$ stanno palesemente violando il secondo principio della termodinamica perchè non assorbon lavoro per fare quello scambio di calore...perchè invece viene accettata questa situazione?
la dimostrazione continua applicando le conclusioni tratte dal teorema di Carnot secondo cui per una macchina:
$\frac{Q_i} {T_i} = \frac {Q_{0i}} {T_0}$
sommando la macchina M e le $R_i$ otteniamo una macchina monoterma con $T_0$ (sempre se è vero che le $R_i$ scambiano calori uguali e contrari a quelli di M con le $T_i$)...in questo caso $W<0 $ e quindi la somma dei $Q_{0i}$ è negativa da cui si ottiene al tesi applicando l'equazione scritta prima...
potreste aiutarmi in questi dubbi (e magari dirmi se sbaglio qualcosa)?
grazie
ho un piccolo dubbio sulla dimostrazione del teorema di Clausius...
allora, il teorema afferma che per un ciclo irreversibile di una macchina M vale:
$sum _i ^n \frac {Q_i} {T_i} <= 0$
dimostrazione:
facendo riferimento alla figura, inseriamo tra le sorgenti $T_i$ e una sorgente $T_0$ n macchine reversibili.
Primo dubbio: perchè le macchine $R_i$ scambiano calore uguale e contrario con le sorgenti $T_i$ rispetto quello scambiato da M?
Secondo dubbio: le macchine $R_i$ stanno palesemente violando il secondo principio della termodinamica perchè non assorbon lavoro per fare quello scambio di calore...perchè invece viene accettata questa situazione?
la dimostrazione continua applicando le conclusioni tratte dal teorema di Carnot secondo cui per una macchina:
$\frac{Q_i} {T_i} = \frac {Q_{0i}} {T_0}$
sommando la macchina M e le $R_i$ otteniamo una macchina monoterma con $T_0$ (sempre se è vero che le $R_i$ scambiano calori uguali e contrari a quelli di M con le $T_i$)...in questo caso $W<0 $ e quindi la somma dei $Q_{0i}$ è negativa da cui si ottiene al tesi applicando l'equazione scritta prima...
potreste aiutarmi in questi dubbi (e magari dirmi se sbaglio qualcosa)?
grazie
Risposte
Le quantità di calore $Q_i$ assorbite dalle n macchine, cicliche e reversibili, sono evidentemente opposte a quelle assorbite dalla macchina $M$ per fare in modo che l'intera macchina data dalla somma delle n e di M sia una macchina termica ciclica (in generale non reversibile, essendo M una macchina ciclica qualunque) che scambia calore con un solo termostato e quindi applicare a questa il secondo principio della termodinamica (vedi uno dei due enunciati, quello che inizia con "Non esiste una macchina termica ciclica...".
Se la macchina non fosse ciclica il principio non potrebbe essere applicato. Per comprendere questo, pensa come semplice esempio ad un cilindro contenente del gas, munito di pistone in grado di scorrere in verticale, sul quale è posizionato un grave. Se il gas viene riscaldato dall'esterno si verifica che il grave viene sollevato e se la macchina non è ciclica, cioè se il gas non torna allo stato termodinamico iniziale, può essere così prodotto lavoro positivo, scambiando calore con una sola sorgente ad una data temperatura.
Il fatto che si parli di macchine termiche cicliche dovrebbe far venire in mente il primo principio della termodinamica, che non vedo applicato.
La formula di Carnot che hai utilizzato deriva proprio dal fatto che le n macchine termiche sono cicliche e reversibili, applicando anche in questo caso 1° e 2° pricipio della termodinamica.
Se la macchina non fosse ciclica il principio non potrebbe essere applicato. Per comprendere questo, pensa come semplice esempio ad un cilindro contenente del gas, munito di pistone in grado di scorrere in verticale, sul quale è posizionato un grave. Se il gas viene riscaldato dall'esterno si verifica che il grave viene sollevato e se la macchina non è ciclica, cioè se il gas non torna allo stato termodinamico iniziale, può essere così prodotto lavoro positivo, scambiando calore con una sola sorgente ad una data temperatura.
Il fatto che si parli di macchine termiche cicliche dovrebbe far venire in mente il primo principio della termodinamica, che non vedo applicato.
La formula di Carnot che hai utilizzato deriva proprio dal fatto che le n macchine termiche sono cicliche e reversibili, applicando anche in questo caso 1° e 2° pricipio della termodinamica.
Quindi le macchine $R_i$ vengono dimensionate in maniera tale da scambiare calori contrari...io invece pensavo che la cosa fosse "automatica"
Invece per quanto riguarda il secondo dubbio, rimane tale...non ho ancora capito perchè i cicli $R_i$ non violino il secondo principio...
Invece per quanto riguarda il secondo dubbio, rimane tale...non ho ancora capito perchè i cicli $R_i$ non violino il secondo principio...
Si, l'oggetto del teorema di Clausius è la macchina ciclica M, le macchine termiche reversibili e la sorgente a temperatura $T_0$ vengono poste ad hoc, cioè per applicare il secondo principio.
In realtà le n macchine termiche reversibili, così come si ricava dal teorema di Carnot, producono lavoro (positivo o negativo), essendo in generale le temperature $T_i$ diverse da $T_0$.
Il lavoro che non può essere positivo è quello dell'intera macchina composta da M e Ri. (al più, se anche M è reversibile, è nullo)
Applicando il 1° principio alla macchina M (ciclica), dovresti ricavare il lavoro prodotto solo da questa e quindi fare la somma per ricavare il lavoro complessivo.
In realtà le n macchine termiche reversibili, così come si ricava dal teorema di Carnot, producono lavoro (positivo o negativo), essendo in generale le temperature $T_i$ diverse da $T_0$.
Il lavoro che non può essere positivo è quello dell'intera macchina composta da M e Ri. (al più, se anche M è reversibile, è nullo)
Applicando il 1° principio alla macchina M (ciclica), dovresti ricavare il lavoro prodotto solo da questa e quindi fare la somma per ricavare il lavoro complessivo.
ci provo
allora, per M il lavoro vale:
$W = sum _i ^n Q_i$
dato che l'energia interna per i cicli viene conservata...
per le $R_i$:
$W_{R_i} = -Q_i + Q_{0, i}$ (i calori sono presi coi loro segni)
la somma dei lavori deve essere minore di 0 (considero $M$ irreversibile) perchè in totale $M$ + le $R_i$ sono una macchina monoterma (e in quanto tale deve assorbile lavoro e cedere calore):
$W + sum _i ^ n W_{R_i} <0$
cioè
$sum _i ^n Q_i -Q_i + Q_{0, i} = sum_i^n Q_{0, i} <0$
e questi effettivamente sono gli unici calori "visti" dalla macchina $M$ + $R_i$...ed è giustamente negativo perchè deve cedere calore essendo una monoterma....esatto?
allora, per M il lavoro vale:
$W = sum _i ^n Q_i$
dato che l'energia interna per i cicli viene conservata...
per le $R_i$:
$W_{R_i} = -Q_i + Q_{0, i}$ (i calori sono presi coi loro segni)
la somma dei lavori deve essere minore di 0 (considero $M$ irreversibile) perchè in totale $M$ + le $R_i$ sono una macchina monoterma (e in quanto tale deve assorbile lavoro e cedere calore):
$W + sum _i ^ n W_{R_i} <0$
cioè
$sum _i ^n Q_i -Q_i + Q_{0, i} = sum_i^n Q_{0, i} <0$
e questi effettivamente sono gli unici calori "visti" dalla macchina $M$ + $R_i$...ed è giustamente negativo perchè deve cedere calore essendo una monoterma....esatto?
Si. Ora applicando il teorema di Carnot alle n macchine e considerando che la temperatura, visto che, dal teorema di Carnot, è misurata nella scala termodinamica assoluta, è sempre maggiore di zero ($T_0>0$), ricavi il risultato.
ok, ora è tutto chiaro grazie tante!
grazie tante!
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