[Teoria] Seconde legge Newton
Buongiorno a tutti!
Ho una domanda da porvi:
il mio prof ci ha detto che la seconda legge di Newton se espressa in forma $F=ma$ è valida solo se non siamo nella teoria della relatività, mentre se espressa in forma $F=(dP)/(dT)$ è sempre valida, ma perchè?
Grazie saluti.
Ho una domanda da porvi:
il mio prof ci ha detto che la seconda legge di Newton se espressa in forma $F=ma$ è valida solo se non siamo nella teoria della relatività, mentre se espressa in forma $F=(dP)/(dT)$ è sempre valida, ma perchè?
Grazie saluti.
Risposte
La massa di un corpo, nella teoria della relatività, varia con la velocità del corpo stesso. Quindi la derivata temporale di $m\cdot v$ non è semplicemente $m\cdot dot(v)=m\cdot a$.
Ok quindi la massa non è costante ma devo derivare anch'essa?
Prova: devi fare la derivata di un prodotto
Quando si applica una forza e l'oggetto ha una velocita' prossime alla luce l'effetto che si ha e' quello di aumentare $p$ ma di pochissimo la sua velocita'
(in accordo col fatto che la velocita della luce non puo' essere superata).Ma aumenta solo la costante $sqrt(1-(v/c)^2)$ nella relazione $p=mv/(sqrt(1-(v/c)^2))$
l'aumento di velocita' per effetto della forza e' di molto inferiore rispetto all quantita' di moto.(fai tendere $v\toc$).(se vuoi divertiti a derivare $dp=mdv/(sqrt(1-(v/c)^2))$.
Per la legge $F=ma$ si ha che $F=dp/(dt)=msqrt(1-(v/c)^2)dv/(dt)+mvd(sqrt(1-(v/c)^2))/(dt)$Come vedi il primo termine $msqrt(1-(v/c)^2)dv/(dt)$
non e' altro che $ma=msqrt(1-(v/c)^2)dv/(dt)$ cioe' $F=mak+mvd(sqrt(1-(v/c)^2))/(dt)$.Il termine primo $mak$ rimane parallelo ad $a$,il secondo a $v$.
In generale $v$ ed $a$ non sono parallele e quindi non c'e' piu' equivalenzatra $F$ e $a$.Dove $k=sqrt(1-(v/c)^2)$
(in accordo col fatto che la velocita della luce non puo' essere superata).Ma aumenta solo la costante $sqrt(1-(v/c)^2)$ nella relazione $p=mv/(sqrt(1-(v/c)^2))$
l'aumento di velocita' per effetto della forza e' di molto inferiore rispetto all quantita' di moto.(fai tendere $v\toc$).(se vuoi divertiti a derivare $dp=mdv/(sqrt(1-(v/c)^2))$.
Per la legge $F=ma$ si ha che $F=dp/(dt)=msqrt(1-(v/c)^2)dv/(dt)+mvd(sqrt(1-(v/c)^2))/(dt)$Come vedi il primo termine $msqrt(1-(v/c)^2)dv/(dt)$
non e' altro che $ma=msqrt(1-(v/c)^2)dv/(dt)$ cioe' $F=mak+mvd(sqrt(1-(v/c)^2))/(dt)$.Il termine primo $mak$ rimane parallelo ad $a$,il secondo a $v$.
In generale $v$ ed $a$ non sono parallele e quindi non c'e' piu' equivalenzatra $F$ e $a$.Dove $k=sqrt(1-(v/c)^2)$
Esattamente. E nel post di legendre il termine $m$ indica la massa a riposo del corpo.
Ma scusate una domanda...la massa non è costante per la "dilatazione delle lunghezze"?cioè dilatandosi il corpo la massa varia?
Per come la vedo io la forma $F=ma$ cessa di essere valida anche in regimi non relativistici, basta pensare al classico moto di un razzo in cui la propulsione brucia combustibile alleggerendo il razzo, e quindi cambiandone la massa...per cui in generale si ha che
$F=(dP)/(dt)= m dot v + v dot m$
$F=(dP)/(dt)= m dot v + v dot m$
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