Teoria perturbativa indipendente dal tempo
\(H_{0}|\psi_{n}^{i}\rangle=E_{n}|\varphi_{n}^{i}\rangle \ \ i=1,...,g_{n}\)
Ho una Hamiltoniana \(H_{0}\) per la quale gli autovettori \(|\varphi_{n}^{i}\rangle\) formano un sistema ortonormale completo nello spazio degli stati (\(n\) fa riferimento all'autospazio e \(i\) alla molteplicità dell'autovettore). Modifico questa nella forma
\(H(\lambda)=H_{0}+W=H_{0}+\lambda \overline{W} \ \ \lambda << 1\)
\(H(\lambda)|\psi (\lambda)\rangle=E(\lambda)|\psi (\lambda)\rangle\)
Supponendo di potere scrivere i nuovi autovettori ed autovalori in serie di potenze ottengo:
\(|\psi (\lambda)\rangle=\sum_{q=0}^{\infty}\lambda^{q}|q\rangle\)
\(E(\lambda)=\sum_{q'=0}^{\infty}\lambda^{q'}\epsilon_{q'}\)
\((H_{0}+\lambda \overline{W})|\psi (\lambda)\rangle=E(\lambda)|\psi (\lambda)\rangle\)
\([H_{0}+\lambda \overline{W}][\sum_{q=0}^{\infty}\lambda^{q}|q\rangle]=[\sum_{q'=0}^{\infty}\lambda^{q'}\epsilon_{q'}][\sum_{q=0}^{\infty}\lambda^{q}|q\rangle]\)
We require this equation to be satisfied for \(\lambda\) small but arbitrary. We must therefore equate the coefficients of the successive powers of \(\lambda\) on both side. Thus, we obtain:
-for 0th-order terms in \(\lambda\)
\(H_{0}|0\rangle=\epsilon_{0}|0\rangle\)
-for 1st-order terms in \(\lambda\)
\((H_{0}-\epsilon_{0})|1\rangle+(\overline{W}-\epsilon_{1})|0 \rangle=0\)
-etc...
!!)Quello che fa l'ho capito ma non ho capito la giustificazione.
Poi: we know that the eigenvalue equation defines \(|\psi (\lambda)\rangle\) only to within a constant factor. Se intende che un sistema quantistico nello spazio degli stati è in realtà una classe di equivalenza fra vettori determinati a meno di un fattore di fase allora questa frase l'ho capita. we can therefore choose the norm of \(|\psi (\lambda)\rangle\) and it's phase: we shall require it to be normalized (ndr ad uno?), and we shall choose its phase such that the scalar product \( \langle 0|\psi (\lambda)\rangle\) is real.
-for 0th-order in \(\lambda\)
\( \langle \psi (\lambda)|\psi (\lambda)\rangle=\langle 0|0\rangle=1\)
-for 1st-order in \(\lambda\)
\(
\begin{split}\langle \psi (\lambda)|\psi (\lambda)\rangle&=[\langle 0| +\lambda \langle 1|][| 0 \rangle + \lambda | 1 \rangle]+O(\lambda^{2}) \\
&=\langle 0|0\rangle+\lambda[\langle 1 | 0 \rangle +\langle 0 | 1 \rangle]+O(\lambda^{2})
\end{split}\)
Using 0th-order formula we see that this expression is equal to \(1\) to the first order if the \(\lambda\) term is zero. But the choice of phase indicates that the scalar product \(\langle 0 | 1 \rangle\) is real (since \(\lambda \) is real). We therefore obtain:
\(\langle 1 | 0 \rangle =\langle 0 | 1 \rangle=0\)
Se ho ben capito, \(\forall \) ordine \( |\psi (\lambda)\rangle\) è normalizzato ad \(1\) allora:
-per lo sviluppo al primo ordine tralasciando i termini di ordine superiore
\(
\begin{split}
1&=\langle \psi (\lambda)|\psi (\lambda)\rangle\\
&=[\langle 0| +\lambda \langle 1|][| 0 \rangle + \lambda | 1 \rangle] \\
&=\langle 0|0\rangle+\lambda[\langle 1 | 0 \rangle +\langle 0 | 1 \rangle]\\
&=1+\lambda[\langle 1 | 0 \rangle +\langle 0 | 1 \rangle]\\
\end{split}\)
\( \Rightarrow \lambda[\langle 1 | 0 \rangle +\langle 0 | 1 \rangle]=0\)
!!)Mentre la parte sottolineata non mi è chiara al momento.
Ho una Hamiltoniana \(H_{0}\) per la quale gli autovettori \(|\varphi_{n}^{i}\rangle\) formano un sistema ortonormale completo nello spazio degli stati (\(n\) fa riferimento all'autospazio e \(i\) alla molteplicità dell'autovettore). Modifico questa nella forma
\(H(\lambda)=H_{0}+W=H_{0}+\lambda \overline{W} \ \ \lambda << 1\)
\(H(\lambda)|\psi (\lambda)\rangle=E(\lambda)|\psi (\lambda)\rangle\)
Supponendo di potere scrivere i nuovi autovettori ed autovalori in serie di potenze ottengo:
\(|\psi (\lambda)\rangle=\sum_{q=0}^{\infty}\lambda^{q}|q\rangle\)
\(E(\lambda)=\sum_{q'=0}^{\infty}\lambda^{q'}\epsilon_{q'}\)
\((H_{0}+\lambda \overline{W})|\psi (\lambda)\rangle=E(\lambda)|\psi (\lambda)\rangle\)
\([H_{0}+\lambda \overline{W}][\sum_{q=0}^{\infty}\lambda^{q}|q\rangle]=[\sum_{q'=0}^{\infty}\lambda^{q'}\epsilon_{q'}][\sum_{q=0}^{\infty}\lambda^{q}|q\rangle]\)
We require this equation to be satisfied for \(\lambda\) small but arbitrary. We must therefore equate the coefficients of the successive powers of \(\lambda\) on both side. Thus, we obtain:
-for 0th-order terms in \(\lambda\)
\(H_{0}|0\rangle=\epsilon_{0}|0\rangle\)
-for 1st-order terms in \(\lambda\)
\((H_{0}-\epsilon_{0})|1\rangle+(\overline{W}-\epsilon_{1})|0 \rangle=0\)
-etc...
!!)Quello che fa l'ho capito ma non ho capito la giustificazione.
Poi: we know that the eigenvalue equation defines \(|\psi (\lambda)\rangle\) only to within a constant factor. Se intende che un sistema quantistico nello spazio degli stati è in realtà una classe di equivalenza fra vettori determinati a meno di un fattore di fase allora questa frase l'ho capita. we can therefore choose the norm of \(|\psi (\lambda)\rangle\) and it's phase: we shall require it to be normalized (ndr ad uno?), and we shall choose its phase such that the scalar product \( \langle 0|\psi (\lambda)\rangle\) is real.
-for 0th-order in \(\lambda\)
\( \langle \psi (\lambda)|\psi (\lambda)\rangle=\langle 0|0\rangle=1\)
-for 1st-order in \(\lambda\)
\(
\begin{split}\langle \psi (\lambda)|\psi (\lambda)\rangle&=[\langle 0| +\lambda \langle 1|][| 0 \rangle + \lambda | 1 \rangle]+O(\lambda^{2}) \\
&=\langle 0|0\rangle+\lambda[\langle 1 | 0 \rangle +\langle 0 | 1 \rangle]+O(\lambda^{2})
\end{split}\)
Using 0th-order formula we see that this expression is equal to \(1\) to the first order if the \(\lambda\) term is zero. But the choice of phase indicates that the scalar product \(\langle 0 | 1 \rangle\) is real (since \(\lambda \) is real). We therefore obtain:
\(\langle 1 | 0 \rangle =\langle 0 | 1 \rangle=0\)
Se ho ben capito, \(\forall \) ordine \( |\psi (\lambda)\rangle\) è normalizzato ad \(1\) allora:
-per lo sviluppo al primo ordine tralasciando i termini di ordine superiore
\(
\begin{split}
1&=\langle \psi (\lambda)|\psi (\lambda)\rangle\\
&=[\langle 0| +\lambda \langle 1|][| 0 \rangle + \lambda | 1 \rangle] \\
&=\langle 0|0\rangle+\lambda[\langle 1 | 0 \rangle +\langle 0 | 1 \rangle]\\
&=1+\lambda[\langle 1 | 0 \rangle +\langle 0 | 1 \rangle]\\
\end{split}\)
\( \Rightarrow \lambda[\langle 1 | 0 \rangle +\langle 0 | 1 \rangle]=0\)
!!)Mentre la parte sottolineata non mi è chiara al momento.
Risposte
Forse ho capito.
$1.$ l'equazione degli autovalori definisce \(|\psi(\lambda)\rangle\) a meno di una costante allora possiamo sceglierlo tale da essere normalizzato.
$2.$ lo stato \(|\psi(\lambda)\rangle\) è definito a meno di un fattore di fase quindi o per questo motivo o a causa della scelta della costante di normalizzazione scegliamo la fase tale che \(\langle 0|\psi(\lambda)\rangle \in \mathbb{R}\ \forall \) ordine. Applicando queste due condizioni:
0-th order
\(\langle 0|[\psi(\lambda)\rangle] =\langle 0| 0 \rangle \in \mathbb{R}\)
1-st order
\(\begin{split}\langle 0|[\psi(\lambda)\rangle] &=\langle 0|[|0\rangle+\lambda|1\rangle]\\&=\langle 0|0\rangle+\lambda \langle 0|1\rangle \in \mathbb{R} \Rightarrow \langle 0| 1 \rangle \in \mathbb{R}\ (\lambda \in \mathbb{R})
\end{split}\)
0-th order
\(\langle \psi(\lambda)|\psi(\lambda)\rangle] =\langle 0| 0 \rangle=1\)
1-st order
\(
\begin{split}
1&=\langle \psi (\lambda)|\psi (\lambda)\rangle\\
&=[\langle 0| +\lambda \langle 1|][| 0 \rangle + \lambda | 1 \rangle] \\
&=\langle 0|0\rangle+\lambda[\langle 1 | 0 \rangle +\langle 0 | 1 \rangle]\\
&=1+\lambda[\langle 1 | 0 \rangle +\langle 0 | 1 \rangle]\\
\end{split}\)
\(\Rightarrow \lambda[\langle 1 | 0 \rangle +\langle 0 | 1 \rangle] =0\)
\(\lambda\not =0\) in genere \(\Rightarrow\)
\(\langle 1 | 0 \rangle +\langle 0 | 1 \rangle=0\),
\(\langle 1 | 0 \rangle=\overline{\langle 0 | 1 \rangle}=\langle 0 | 1 \rangle \Rightarrow\)
\(\langle 0 | 1 \rangle=\langle 1 | 0 \rangle\)
Dato che è l'unico modo perché l'espressione precedente si annulli.
Comunque, non ho ancora capito la giustificazione della prima parte nel primo post
$1.$ l'equazione degli autovalori definisce \(|\psi(\lambda)\rangle\) a meno di una costante allora possiamo sceglierlo tale da essere normalizzato.
$2.$ lo stato \(|\psi(\lambda)\rangle\) è definito a meno di un fattore di fase quindi o per questo motivo o a causa della scelta della costante di normalizzazione scegliamo la fase tale che \(\langle 0|\psi(\lambda)\rangle \in \mathbb{R}\ \forall \) ordine. Applicando queste due condizioni:
0-th order
\(\langle 0|[\psi(\lambda)\rangle] =\langle 0| 0 \rangle \in \mathbb{R}\)
1-st order
\(\begin{split}\langle 0|[\psi(\lambda)\rangle] &=\langle 0|[|0\rangle+\lambda|1\rangle]\\&=\langle 0|0\rangle+\lambda \langle 0|1\rangle \in \mathbb{R} \Rightarrow \langle 0| 1 \rangle \in \mathbb{R}\ (\lambda \in \mathbb{R})
\end{split}\)
0-th order
\(\langle \psi(\lambda)|\psi(\lambda)\rangle] =\langle 0| 0 \rangle=1\)
1-st order
\(
\begin{split}
1&=\langle \psi (\lambda)|\psi (\lambda)\rangle\\
&=[\langle 0| +\lambda \langle 1|][| 0 \rangle + \lambda | 1 \rangle] \\
&=\langle 0|0\rangle+\lambda[\langle 1 | 0 \rangle +\langle 0 | 1 \rangle]\\
&=1+\lambda[\langle 1 | 0 \rangle +\langle 0 | 1 \rangle]\\
\end{split}\)
\(\Rightarrow \lambda[\langle 1 | 0 \rangle +\langle 0 | 1 \rangle] =0\)
\(\lambda\not =0\) in genere \(\Rightarrow\)
\(\langle 1 | 0 \rangle +\langle 0 | 1 \rangle=0\),
\(\langle 1 | 0 \rangle=\overline{\langle 0 | 1 \rangle}=\langle 0 | 1 \rangle \Rightarrow\)
\(\langle 0 | 1 \rangle=\langle 1 | 0 \rangle\)
Dato che è l'unico modo perché l'espressione precedente si annulli.
Comunque, non ho ancora capito la giustificazione della prima parte nel primo post
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