Teoria: Gravitazione e centro di massa

[matteo_g1]

Ciao, quando mi trovo a risolvere i problemi in cui compare la forza gravitazionale ed ho corpi solidi posso sempre fare riferimento (per quanto riguarda r, ossia la distanza fra i due corpi) al centro di massa quando applico la classica formula $ Fg=(GmM)/(r)^2 $ ?

So che questa operazione si può fare ad esempio con i pianeti perché sono approssimativamente sferici, ma vale anche per gli altri corpi solidi ?

[Shackle]

LA sfericità o meno del corpo soggetto ad attrazione gravitazionale non c'entra. C'entra invece la uniformità del campo gravitazionale , cioè : $ vecg = "cost" $ . In questo caso, puramente teorico ma molto ben approssimato in situazioni reali , come l'attrazione dei pianeti da parte del Sole, puoi immaginare di concentrare tutta la massa nel "centro di massa" del corpo. SE invece il campo gravitazionale non si può supporre uniforme , nel volume del corpo attratto e in relazione alla posizione che il corpo occupa rispetto a quello che lo attira, si deve distinguere il CM dal "baricentro" .

Perciò , anche se il pianeta avesse la forma di un cubo o di una patata , se si può supporre $vecg="cost"$ nel volume occupato dal corpo puoi concentrare la sua massa nel CM . Naturalmente , la posizione del CM dipende anche dalla omogeneità o meno del corpo stesso, cioè dalla densità di massa, che può essere variabile da punto a punto : si tratta di un corpo solido , con una distribuzione "continua" della materia , non di punti materiali isolati. Quindi il CM si deve determinare con un processo di integrazione, ove possibile calcolare l'integrale. Altrimenti ci si deve accontentare di suddividere il corpo in volumi piccoli, considerare la densità costante in ciascun volume , e fare una sommatoria di momenti statici : la somma dei momenti statici, divisa la somma delle masse , dà le coordinate del CM .

Pensa invece alla Luna, e immaginala sferica: se fosse molto più vicina alla Terra di quanto è in realtà , non sarebbe lecito concentrare la sua massa nel CM , perchè nel volume da essa occupato il vettore $vecg$ del campo gravitazionale della terra non è più costante, nè in direzione nè in intensità .

[mgrau]

"Shackle":LA sfericità o meno del corpo soggetto ad attrazione gravitazionale non c'entra. C'entra invece la uniformità del campo gravitazionale , cioè : $ vecg = "cost" $ . In questo caso, puramente teorico ma molto ben approssimato in situazioni reali , come l'attrazione dei pianeti da parte del Sole, puoi immaginare di concentrare tutta la massa nel "centro di massa" del corpo.
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Perciò , anche se il pianeta avesse la forma di un cubo o di una patata , se si può supporre $vecg="cost"$ nel volume occupato dal corpo puoi concentrare la sua massa nel CM .

Mi sembra che si debba precisare: se il campo gravitazionale è uniforme, allora tutte le forze gravitazionali agenti sul corpo si possono immaginare concentrate nel CM, e se non è uniforme no, e si possono invece concentrare in un altro punto che è il baricentro, distinto dal centro di massa. Ok.
Ma da quanto dici un lettore disattento potrebbe supporre che la forma dell'oggetto non conti niente; invece conta.
Se si considera il campo prodotto dall'oggetto, non si può, in generale, supporre tutta la massa nel CM, ma solo se è sferico.
Basta pensare ad un oggetto toroidale, col CM nel centro, vuoto, e un altro oggetto toroidale, separato dal primo, ma col centro nello stesso punto: se le masse si potessero immaginare tutte nel centro avremmo due masse a distanza zero, con le assurdità che ne seguono-

[Shackle]

"mgrau":
Mi sembra che si debba precisare: se il campo gravitazionale è uniforme, allora tutte le forze gravitazionali agenti sul corpo si possono immaginare concentrate nel CM, e se non è uniforme no, e si possono invece concentrare in un altro punto che è il baricentro, distinto dal centro di massa. Ok.
Ma da quanto dici un lettore disattento potrebbe supporre che la forma dell'oggetto non conti niente; invece conta.
Se si considera il campo prodotto dall'oggetto, non si può, in generale, supporre tutta la massa nel CM, ma solo se è sferico.
Basta pensare ad un oggetto toroidale, col CM nel centro, vuoto, e un altro oggetto toroidale, separato dal primo, ma col centro nello stesso punto: se le masse si potessero immaginare tutte nel centro avremmo due masse a distanza zero, con le assurdità che ne seguono-

Matteo non è un lettore disattento. Io non ho considerato il campo prodotto dall'oggetto .
Se vuoi anche parlare del problema dei due corpi, sei libero di farlo.
Due solidi toroidali con ugual centro di massa, tra i quali c'è una forza di interazione di tipo gravitazionale? Bel problemino, perché non provi a svilupparlo? Dico sul serio, io non so farlo.
Io per ora vado a spalare la neve in cortile, e in particolare dalla mia macchina: gravita troppo!

[donald_zeka]

Io direi che la forza gravitazionale risultante su un corpo è equivalente alla risultante applicata nel cdm se:

1) Uno dei due corpo è moolto più grande rispetto all'altro

1) i due corpo hanno dimensioni confrontabile ma la loro distanza è moolto più grande della loro dimensione

[mathbells]

@Vulplasir
Se fosse come dici tu, allora la semplificazione non potrebbe applicarsi al caso di due sfere omogenee di raggio un metro poste a distanza di tre metri, cosa palesemente falsa. Io direi che i tuoi due casi sono solo casi particolari di ipotesi più generali (vedi quelle di shackle).

[donald_zeka]

Beh certo, le sfere sono un caso a parte

[donald_zeka]

I miei due casi nascono dalle seguenti considerazioni:
Nel primo caso il corpo grande rispetto a quello piccolo si può considerare come un piano infinito che genera un campo costante in direzione e modulo, un corpo sufficientemente piccolo quindi risente di un campo di forze parallele e costanti, che è equivalente alla risultante applicata nel cdm
Nel secondo caso invece i due corpi , rispetto alla loro distanza, sono assimilabili a punti materiali, il campo di uno agente sull'altro, nella regione occupata dai due corpi, è pressoché costante in modulo e direzione, e ancora quindi è riducibile alla risultante applicata nel cdm