Teoria delle bande
Ciao a tutti,
sto studiando la teoria delle bande per il moto degli elettroni nei solidi (potenziale di Kronig-Penney, teorema di Bloch, etc..).
La parte che mi è meno chiara è quella relativa alle zone di Brillouin; cioè, io disegno il grafico dell'energia in funzione del momento E(k), per una particella libera essa sarà giustamente una parabola; ma quando introduco un potenziale periodico, sui 'bordi' del reticolo periodico avvengono dei 'ripiegamenti' della funzione dell'energia, ma non ho ben chiaro il perchè di questi ripiegamenti. Ho capito solo che in qualche modo dovrebbero c'entrare con la forma della funzione d'onda, che è una combinazione di seni e coseni, e con la forma del potenziale, che va come un coseno, ma sinceramente non riesco a capire 'intuitivamente' il motivo vero del ripiegamento. L'unica cosa che mi viene in mente è che trattando il potenziale come una perturbazione, avviene uno spostamento dei livelli energetici, ma perchè ciò avviene soltanto ai bordi del reticolo? Ho un pò di confusione ecco..
Spero che qualcuno mi riesca a illuminare, grazie mille!
sto studiando la teoria delle bande per il moto degli elettroni nei solidi (potenziale di Kronig-Penney, teorema di Bloch, etc..).
La parte che mi è meno chiara è quella relativa alle zone di Brillouin; cioè, io disegno il grafico dell'energia in funzione del momento E(k), per una particella libera essa sarà giustamente una parabola; ma quando introduco un potenziale periodico, sui 'bordi' del reticolo periodico avvengono dei 'ripiegamenti' della funzione dell'energia, ma non ho ben chiaro il perchè di questi ripiegamenti. Ho capito solo che in qualche modo dovrebbero c'entrare con la forma della funzione d'onda, che è una combinazione di seni e coseni, e con la forma del potenziale, che va come un coseno, ma sinceramente non riesco a capire 'intuitivamente' il motivo vero del ripiegamento. L'unica cosa che mi viene in mente è che trattando il potenziale come una perturbazione, avviene uno spostamento dei livelli energetici, ma perchè ciò avviene soltanto ai bordi del reticolo? Ho un pò di confusione ecco..
Spero che qualcuno mi riesca a illuminare, grazie mille!
Risposte
Ciao.
Se ho capito, ti stai riferendo al grafico dell'energia dell'elettrone in funzione di una componente del vettore d'onda.
Il ripiegamento del grafico nella prima zona di Brillouin non ha un vero significato fisico: semplicemente, si tratta di una visualizzazione compatta più comoda che permette di indiduare meglio le bande. Visualizzare l'energia in un grafico esteso è del tutto equivalente.
Il potenziale periodico è responsabile di una discontinuità ("splitting") dell'energia elettronica in corrispondenza dei bordi delle zone di Brillouin.
La legge di Bragg espressa nello spazio reciproco afferma che c'è una riflessione della funzione d'onda elettronica da parte del reticolo ogni volta che vale la condizione $2 vec(k)*vec(G) = G^2$ (questa espressione vale, in particolare, se lo scattering è elastico).
Considera per semplicità un reticolo unidimensionale di passo reticolare $a$ e vettori traslazione $T=na$; lo spazio reciproco è descritto dai vettori $G=(2pi)/a n$. La condizione di Bragg si può scrivere $k=G/2$ ($veck$ e $vecG$ sono paralleli ovviamente in una dimensione).
Il bordo della prima zona di Brillouin si ha per $n=+-1$, quindi $k=+-(pi)/a$.
In corrispondenza di questo valore di $k$ (anche per $n$ maggiori), l'onda piana viaggiante lungo l'asse $x$ solidale al cristallo viene riflessa verso le $x$ negative e viceversa; si instaura in questo modo una onda stazionaria (una combinazione di due onde isofrequenziali che viaggiano in versi opposti da luogo ad una onda stazionaria).
Usando la notazione esponenziale, abbiamo due possibilità:
$Psi(+) = exp((ipix)/a) + exp((-ipix)/a) = 2cos((pix)/a)$
$Psi(-) = exp((ipix)/a) - exp((-ipix)/a) = 2isin((pix)/a)$
Immagina ora che ci sia un potenziale periodico dovuto agli ioni positivi del cristallo, e che il periodo sia proprio il passo reticolare $a$.
La densità di carica associata alla prima combinazione lineare è proporzionale al modulo quadro della stessa combinazione, quindi:
$rho(+)$ proporzionale a $cos^2((pix)/a)$
Analogamente:
$rho(-)$ proporzionale a $sin^2((pix)/a)$
Come puoi vedere, gli elettroni descritti dalla prima combinazione si addensano in prossimità degli ioni, quindi l'energia potenziale di interazione (coulombiana), chè è negativa, è minima. Al contrario, gli altri si addensano a metà strada fra gli ioni, quindi la loro energia potenziale è massima, in quanto si trovano alla massima distanza possibile dagli ioni.
Questa è l'origine fisica del gap di energia.
Se ho capito, ti stai riferendo al grafico dell'energia dell'elettrone in funzione di una componente del vettore d'onda.
Il ripiegamento del grafico nella prima zona di Brillouin non ha un vero significato fisico: semplicemente, si tratta di una visualizzazione compatta più comoda che permette di indiduare meglio le bande. Visualizzare l'energia in un grafico esteso è del tutto equivalente.
Il potenziale periodico è responsabile di una discontinuità ("splitting") dell'energia elettronica in corrispondenza dei bordi delle zone di Brillouin.
La legge di Bragg espressa nello spazio reciproco afferma che c'è una riflessione della funzione d'onda elettronica da parte del reticolo ogni volta che vale la condizione $2 vec(k)*vec(G) = G^2$ (questa espressione vale, in particolare, se lo scattering è elastico).
Considera per semplicità un reticolo unidimensionale di passo reticolare $a$ e vettori traslazione $T=na$; lo spazio reciproco è descritto dai vettori $G=(2pi)/a n$. La condizione di Bragg si può scrivere $k=G/2$ ($veck$ e $vecG$ sono paralleli ovviamente in una dimensione).
Il bordo della prima zona di Brillouin si ha per $n=+-1$, quindi $k=+-(pi)/a$.
In corrispondenza di questo valore di $k$ (anche per $n$ maggiori), l'onda piana viaggiante lungo l'asse $x$ solidale al cristallo viene riflessa verso le $x$ negative e viceversa; si instaura in questo modo una onda stazionaria (una combinazione di due onde isofrequenziali che viaggiano in versi opposti da luogo ad una onda stazionaria).
Usando la notazione esponenziale, abbiamo due possibilità:
$Psi(+) = exp((ipix)/a) + exp((-ipix)/a) = 2cos((pix)/a)$
$Psi(-) = exp((ipix)/a) - exp((-ipix)/a) = 2isin((pix)/a)$
Immagina ora che ci sia un potenziale periodico dovuto agli ioni positivi del cristallo, e che il periodo sia proprio il passo reticolare $a$.
La densità di carica associata alla prima combinazione lineare è proporzionale al modulo quadro della stessa combinazione, quindi:
$rho(+)$ proporzionale a $cos^2((pix)/a)$
Analogamente:
$rho(-)$ proporzionale a $sin^2((pix)/a)$
Come puoi vedere, gli elettroni descritti dalla prima combinazione si addensano in prossimità degli ioni, quindi l'energia potenziale di interazione (coulombiana), chè è negativa, è minima. Al contrario, gli altri si addensano a metà strada fra gli ioni, quindi la loro energia potenziale è massima, in quanto si trovano alla massima distanza possibile dagli ioni.
Questa è l'origine fisica del gap di energia.
ciao!
innanzitutto grazie per la tua risposta, perchè è davvero molto esauriente!
il discorso sulle funzioni seno e coseno e sul gap di energia mi pare di averlo capito abbastanza bene, ho ancora però alcuni dubbi (il problema è che il prof non l'ha spiegato benissimo, e i testi di riferimento che ha suggerito non mi sono di grande aiuto):
- prima tratti l'elettrone libero come un'onda piana, che viene riflessa dal reticolo e produce cosi un'onda stazionaria, e soltanto dopo dici di introdurre il potenziale periodico; però in questo punto ho un dubbio, quando parli di reticolo non stai già inserendo il potenziale periodico? cioè, la riflessione dell'onda non avviene a causa del potenziale periodico? il potenziale non è dato appunto dal reticolo?
- ho un pò di confusione riguardo alle diciture 'reticolo dato' e 'reticolo reciproco', anche qui nè dagli appunti nè dai libri son riuscito a cavare granchè, quale sarebbe la differenza?
grazie mille per la pazienza!
innanzitutto grazie per la tua risposta, perchè è davvero molto esauriente!
il discorso sulle funzioni seno e coseno e sul gap di energia mi pare di averlo capito abbastanza bene, ho ancora però alcuni dubbi (il problema è che il prof non l'ha spiegato benissimo, e i testi di riferimento che ha suggerito non mi sono di grande aiuto):
- prima tratti l'elettrone libero come un'onda piana, che viene riflessa dal reticolo e produce cosi un'onda stazionaria, e soltanto dopo dici di introdurre il potenziale periodico; però in questo punto ho un dubbio, quando parli di reticolo non stai già inserendo il potenziale periodico? cioè, la riflessione dell'onda non avviene a causa del potenziale periodico? il potenziale non è dato appunto dal reticolo?
- ho un pò di confusione riguardo alle diciture 'reticolo dato' e 'reticolo reciproco', anche qui nè dagli appunti nè dai libri son riuscito a cavare granchè, quale sarebbe la differenza?
grazie mille per la pazienza!
Dunque...
La riflessione delle onde elettroniche è una conseguenza puramente geometrica del reticolo cristallino: a questo livello, il potenziale degli ioni non interviene in alcun modo, ma l'effetto è descritto dalla legge di Bragg.
Il potenziale degli ioni, nella cosiddetta approssimazione ad elettroni quasi-liberi, è una perturbazione: le funzioni d'onda elettroniche, che sono soluzioni dell'equazione di Schroedinger per una particella libera, solo a questo punto subiscono lo splitting energetico in corrispondenza dei bordi delle zone di Brillouin.
Per "reticolo dato" intendo, in parole povere, la configurazione geometrica con cui sono disposti gli atomi nel cristallo; il reticolo reciproco è invece la rappresentazione dello stesso cristallo nello "spazio reciproco", ovvero lo spazio dei vettori d'onda, dove le distanze hanno le dimensioni di lunghezze alla meno uno.
Reticolo e reticolo reciproco, assieme ad altre definizioni formali (vettori traslazionali, cella primitiva, cella di Wigner-Seitz...), si trovano su tutti i libri di Fisica dello Stato Solido; ti consiglio di consultare, ad esempio, il testo omonimo di Charles Kittel, che personalmente ritengo chiaro ed esauriente.
La riflessione delle onde elettroniche è una conseguenza puramente geometrica del reticolo cristallino: a questo livello, il potenziale degli ioni non interviene in alcun modo, ma l'effetto è descritto dalla legge di Bragg.
Il potenziale degli ioni, nella cosiddetta approssimazione ad elettroni quasi-liberi, è una perturbazione: le funzioni d'onda elettroniche, che sono soluzioni dell'equazione di Schroedinger per una particella libera, solo a questo punto subiscono lo splitting energetico in corrispondenza dei bordi delle zone di Brillouin.
Per "reticolo dato" intendo, in parole povere, la configurazione geometrica con cui sono disposti gli atomi nel cristallo; il reticolo reciproco è invece la rappresentazione dello stesso cristallo nello "spazio reciproco", ovvero lo spazio dei vettori d'onda, dove le distanze hanno le dimensioni di lunghezze alla meno uno.
Reticolo e reticolo reciproco, assieme ad altre definizioni formali (vettori traslazionali, cella primitiva, cella di Wigner-Seitz...), si trovano su tutti i libri di Fisica dello Stato Solido; ti consiglio di consultare, ad esempio, il testo omonimo di Charles Kittel, che personalmente ritengo chiaro ed esauriente.
mm... ma l'effetto di riflessione delle onde elettroniche a che cosa è dovuto? cioè, io ho in mente ad esempio una particella in una buca di potenziale infinita, lì si forma un'onda stazionaria perchè l'onda si riflette avanti e indietro, ma in quel caso la riflessione è dovuta proprio alla presenza di un potenziale (che è infinito fuori dalla buca..) , qui invece quello che non mi è chiaro è: cosa causa la riflessione, se non è il potenziale dovuto agli ioni del reticolo?
EDIT: è forse dovuta al fatto che nel reticolo ci sono altri elettroni che viaggiano in direzione opposta, e quindi l'onda riflessa è come se fosse la loro onda? o è una cavolata?
EDIT: è forse dovuta al fatto che nel reticolo ci sono altri elettroni che viaggiano in direzione opposta, e quindi l'onda riflessa è come se fosse la loro onda? o è una cavolata?
Questa riflessione non è dovuta a un potenziale, ma alla struttura del reticolo cristallino. E' la legge di Bragg a descrivere il fenomeno.
In forma più semplice, questa legge afferma che si ha riflessione delle onde (luminose o elettroniche) quando è soddisfatta la condizione:
$2dsintheta = nlambda$
$d$ è la distanza fra piani paralleli, $lambda$ è la lunghezza d'onda, $n$ è un intero.
In forma più semplice, questa legge afferma che si ha riflessione delle onde (luminose o elettroniche) quando è soddisfatta la condizione:
$2dsintheta = nlambda$
$d$ è la distanza fra piani paralleli, $lambda$ è la lunghezza d'onda, $n$ è un intero.
sisi, la legge di Bragg la conosco! solo non riuscivo a inquadrare il tutto.
Quindi la riflessione delle onde è dovuta alla presenza del reticolo di ioni, mentre il successivo 'splitting' dei 2 livelli di energia è dovuto alla presenza del potenziale periodico...
ok grazie mille, ci devo riflettere ancora un pò ma credo di aver capito!
Quindi la riflessione delle onde è dovuta alla presenza del reticolo di ioni, mentre il successivo 'splitting' dei 2 livelli di energia è dovuto alla presenza del potenziale periodico...
ok grazie mille, ci devo riflettere ancora un pò ma credo di aver capito!
Il ripiegamento ai bordi della zona di Brillouin è dovuto alla degenerazione (con un pò di conti, si vede che hanno forma iperbolica).
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