Teoria dei gruppi- tavola dei caratteri
Devo dare l'esame di chimica fisica 2 e uno degli argomenti è la teoria dei gruppi associata agli elementi di simmetria di una molecola... ma sto riscontrando delle difficoltà è avrei bisogno delle dritte di qualcuno piu navigato
Il fatto è che non ho ben capito come ottenere una tavola dei caratteri in modo procedurale ...
nel senso,immaginiamo di dover scrivere la tavola dei caratteri degli elementi di simmetria del gruppo $ C_(3,v) $
ora come faccia a individuare il carattere (traccia) associato a ciascuna rappresentazione irriducibile secondo i vari elementi di simmetria $ d_2=1 $
C''è un modo semplice per procedere,che va bene ogni volta ?
1)Io so prima di tutto devo trovarmi tutti gli elementi di simmetria del gruppo e vedere poi quali fanno classe tra di loro attraverso l'operazione di coniugazione.
2)Individuare il numero di classi di un certo gruppo è fondamentale perchè il numero delle classi di un certo gruppo coincide con il numero di rappresentazioni irriducibili del gruppo stesso.
3)Ora che so il numero di rappresentazioni irriducibili ,dovrei trovarmi il carattere di ciascuna rappresentazione irriducibile per ognuna delle classi del gruppo,rappresentanti ciascuna un insieme di operazioni "simili",aventi la stessa traccia. Prima di fare ciò pero devo trovarmi la DIMENSIONE di ciascuna rappresentazione irriducibile.
La formula che ho per fare ciò è: $ sum_(j = \1...,N) (d_j)^2 =h $
dove $ J=1,2...N $ Con $ N $ =numero delle rappresentazioni irriducibili. e $ h= $ ordine del gruppo, che coincide con il numero totale di operazioni differenti associate a quel gruppo
Ad esempio per il gruppo $ C_(3,v) $ le classi sono 3 e perciò $ N=3 $ ,mentre le operazioni totali differenti tra loro sono 6 cosi che $ h=6 $
Dalla precedente formula dovrà essere:
$ sum_(j = \1,..3.) (d_j)^2 =6 $
dunque: $ d_1^2+d_2^2+d_3^2=6 $
dunque ho 3 rappresentazioni irriducibili che sommate ed elevate al quadrato mi deve dare 6.
So inoltre che una rappresentazione irriducibile è sempre la totalsimmetrica ,monodimensionale ,percio sarà sempre: $ d_1=1 $
Ricapitolando disponendo di 3 rappresentazioni,essendo una sempre monodimensionale (d=1)e dal momento che le restanti rappresentazioni irriducibili devono avere come valore minimi d=1(non esiste una rappresentazione 0-dimensionale) i valori di $ d_2 $ e di $ d_3 $ che rendano l'uguaglianza vera saranno:
$ 6=d_1^2+d_2^2+d_3^2=1^2+d_2^2+d_3^2=1^2+1^2+2^2 $
percio ora conosco le dimensioni di tali rappresentazioni irriducibili $ d_1,d_2,d_3 $ :
$ d_1=1 $
$ d_2=1 $
$ d_3=2 $
é CORRETTO IL MODO DI PROCEDERE FINO A QUA? sarà un procedimento meccanico ma alla fine non è che abbiamo fatto la teoria dei gruppi soffermandoci troppo sul formalismo matematico piu profondo.
A questo punto individuate il NUMERO delle rappresentazioni irriducibili e le loro DIMENSIONI ,dovrei trovare i caratteri di ogni rappresentazione per ogni operazione/classe.
COme faccio?
Ad esempio nel gruppo $ C_(3,v) $
le prima rappresentazione irriducibile monodimensionale,la totalmsimmetrica ,ha traccia 1 per ONGI operatore del gruppo(e questa vale sempre,ok)
la seconda rappresentazione irriducibile monodimensionale ha traccia 1 per gli operatori $ E,C_3,C_3^2 $ mentre ha traccia -1 per gli operatori $ sigma _v,sigma_v^{\prime} ,sigma_v^('') $
la rappresentazione bidimensionale ha traccia 2 per l'operatore $ E $ , traccia -1 per gli operatori $ C_3,C_3^2 $ e traccia 0 per i tre $ sigma $
Ecco come faccio a definire la traccia delle rappresentazioni irriducibili per ogni operatore/ o similmente per ogni classe(riunisco qui gli operatori coniugati nella stessa classe e quindi gli operatori coniugati $ C_3 $ e $ C_3^2 $ formano nel gruppo $ C_(3,v) $ una classe indicata con $ 2C_3 $ ...discorso simile per i sigma)
Ecco come faccio a trovare i caratteri(le tracce) in modo meccanico per ogni rappresentazione irriducibile rispetto alla varie classi del gruppo?
c'è una formula o comunque un modo sistematico di procedere?
GRAZIE
Il fatto è che non ho ben capito come ottenere una tavola dei caratteri in modo procedurale ...
nel senso,immaginiamo di dover scrivere la tavola dei caratteri degli elementi di simmetria del gruppo $ C_(3,v) $
ora come faccia a individuare il carattere (traccia) associato a ciascuna rappresentazione irriducibile secondo i vari elementi di simmetria $ d_2=1 $
C''è un modo semplice per procedere,che va bene ogni volta ?
1)Io so prima di tutto devo trovarmi tutti gli elementi di simmetria del gruppo e vedere poi quali fanno classe tra di loro attraverso l'operazione di coniugazione.
2)Individuare il numero di classi di un certo gruppo è fondamentale perchè il numero delle classi di un certo gruppo coincide con il numero di rappresentazioni irriducibili del gruppo stesso.
3)Ora che so il numero di rappresentazioni irriducibili ,dovrei trovarmi il carattere di ciascuna rappresentazione irriducibile per ognuna delle classi del gruppo,rappresentanti ciascuna un insieme di operazioni "simili",aventi la stessa traccia. Prima di fare ciò pero devo trovarmi la DIMENSIONE di ciascuna rappresentazione irriducibile.
La formula che ho per fare ciò è: $ sum_(j = \1...,N) (d_j)^2 =h $
dove $ J=1,2...N $ Con $ N $ =numero delle rappresentazioni irriducibili. e $ h= $ ordine del gruppo, che coincide con il numero totale di operazioni differenti associate a quel gruppo
Ad esempio per il gruppo $ C_(3,v) $ le classi sono 3 e perciò $ N=3 $ ,mentre le operazioni totali differenti tra loro sono 6 cosi che $ h=6 $
Dalla precedente formula dovrà essere:
$ sum_(j = \1,..3.) (d_j)^2 =6 $
dunque: $ d_1^2+d_2^2+d_3^2=6 $
dunque ho 3 rappresentazioni irriducibili che sommate ed elevate al quadrato mi deve dare 6.
So inoltre che una rappresentazione irriducibile è sempre la totalsimmetrica ,monodimensionale ,percio sarà sempre: $ d_1=1 $
Ricapitolando disponendo di 3 rappresentazioni,essendo una sempre monodimensionale (d=1)e dal momento che le restanti rappresentazioni irriducibili devono avere come valore minimi d=1(non esiste una rappresentazione 0-dimensionale) i valori di $ d_2 $ e di $ d_3 $ che rendano l'uguaglianza vera saranno:
$ 6=d_1^2+d_2^2+d_3^2=1^2+d_2^2+d_3^2=1^2+1^2+2^2 $
percio ora conosco le dimensioni di tali rappresentazioni irriducibili $ d_1,d_2,d_3 $ :
$ d_1=1 $
$ d_2=1 $
$ d_3=2 $
é CORRETTO IL MODO DI PROCEDERE FINO A QUA? sarà un procedimento meccanico ma alla fine non è che abbiamo fatto la teoria dei gruppi soffermandoci troppo sul formalismo matematico piu profondo.
A questo punto individuate il NUMERO delle rappresentazioni irriducibili e le loro DIMENSIONI ,dovrei trovare i caratteri di ogni rappresentazione per ogni operazione/classe.
COme faccio?
Ad esempio nel gruppo $ C_(3,v) $
le prima rappresentazione irriducibile monodimensionale,la totalmsimmetrica ,ha traccia 1 per ONGI operatore del gruppo(e questa vale sempre,ok)
la seconda rappresentazione irriducibile monodimensionale ha traccia 1 per gli operatori $ E,C_3,C_3^2 $ mentre ha traccia -1 per gli operatori $ sigma _v,sigma_v^{\prime} ,sigma_v^('') $
la rappresentazione bidimensionale ha traccia 2 per l'operatore $ E $ , traccia -1 per gli operatori $ C_3,C_3^2 $ e traccia 0 per i tre $ sigma $
Ecco come faccio a definire la traccia delle rappresentazioni irriducibili per ogni operatore/ o similmente per ogni classe(riunisco qui gli operatori coniugati nella stessa classe e quindi gli operatori coniugati $ C_3 $ e $ C_3^2 $ formano nel gruppo $ C_(3,v) $ una classe indicata con $ 2C_3 $ ...discorso simile per i sigma)
Ecco come faccio a trovare i caratteri(le tracce) in modo meccanico per ogni rappresentazione irriducibile rispetto alla varie classi del gruppo?
c'è una formula o comunque un modo sistematico di procedere?
GRAZIE
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