Teoria cinetica dei gas: energia e velocità più probabili
Supponiamo di avere un gas ideale in un recipiente fermo in un sistema di riferimento inerziale. Sappiamo che la distribuzione delle velocità è regolata dalla funzione di Maxwell-Boltzmann
\[f(v)=Bv^2e^{-\left(\frac{v}{v_0}\right)^2}\]
dove \(v_0=\sqrt{2kT / m}\) (\(k\)=costante di Boltmann, \(m\)=massa della singola molecola di gas) e \(B\) è una costante scelta in modo tale che
\[\int_0^\infty f(v)\, dv=1.\]
Questa funzione di densità ha un massimo per \(v=v_0\): ciò significa che \(v_0\) è la velocità più probabile.
Ora modifichiamo la funzione \(f\) in modo tale da descrivere la distribuzione delle energie. Vi risparmio i calcoli (io li ho tratti dal solito Halliday): il risultato è
\[f(E)=\frac{2}{\pi}\frac{1}{(kT)^{3/2}}\sqrt{E}e^{-\frac{E}{kT}}.\]
Succede ora che l'energia più probabile è \(E_p=\frac{1}{2}kT\), esattamente la metà di \(\frac{1}{2}mv_0^2\), l'energia corrispondente alla velocità più probabile.
Perché l'energia più probabile è più piccola dell'energia corrispondente alla velocità più probabile?
\[f(v)=Bv^2e^{-\left(\frac{v}{v_0}\right)^2}\]
dove \(v_0=\sqrt{2kT / m}\) (\(k\)=costante di Boltmann, \(m\)=massa della singola molecola di gas) e \(B\) è una costante scelta in modo tale che
\[\int_0^\infty f(v)\, dv=1.\]
Questa funzione di densità ha un massimo per \(v=v_0\): ciò significa che \(v_0\) è la velocità più probabile.
Ora modifichiamo la funzione \(f\) in modo tale da descrivere la distribuzione delle energie. Vi risparmio i calcoli (io li ho tratti dal solito Halliday): il risultato è
\[f(E)=\frac{2}{\pi}\frac{1}{(kT)^{3/2}}\sqrt{E}e^{-\frac{E}{kT}}.\]
Succede ora che l'energia più probabile è \(E_p=\frac{1}{2}kT\), esattamente la metà di \(\frac{1}{2}mv_0^2\), l'energia corrispondente alla velocità più probabile.
Perché l'energia più probabile è più piccola dell'energia corrispondente alla velocità più probabile?
Risposte
"dissonance":
Succede ora che l'energia più probabile è \(E_p=\frac{1}{2}kT\), esattamente la metà di \(\frac{1}{2}mv_0^2\), l'energia corrispondente alla velocità più probabile.
Perché l'energia più probabile è più piccola dell'energia corrispondente alla velocità più probabile?
Io credo che il punto stia tutto nel fatto che la distribuzione di probabilita' non e' di per se la probabilita' che la particella abbia una data velocita': in realta' $f(v) dv$ e' la probabilita' che la particella abbia la velocita' compresa nell'intervallino $[v-(dv)/2,v+(dv)/2]$. La precisazione non e' solo formale (peraltro non e' che sia proprio formalissima
), e' proprio sostanziale, e il tuo dubbio mi sembra che evidenzi l'importanza fisica di questa precisazione. Quando le quantita' fisiche sono ottenute mediante integrali di distribuzioni credo che il problema sia sempre quello: l'integrando di per se non ha un significato fisico, ce l'hanno gli integrali sugli intervalli di interesse, i valori medi, etc. Ho in mente per esempio un caso simile nei modelli di matrici, in cui al centro di una diatriba piuttosto accesa c'era proprio questo problema...amarcord...
Per completare quanto detto da yoshiharu direi che, trattandosi di probablità statistica(spero di non semplificare troppo), una stessa configurazione statistica, può avvenire con microstati diversi, dunque una stessa energia con velocità diverse.
Ciao,
al momento non ho sottomano il volume in questione, ma sei sicuro di non esserti dimenticato un quadrato ad esponente nella distribuzione delle velocità?
Per quanto riguarda la tua domanda non capisco cosa ti turbi. Stai parlando di quantità puntuali per un sistema statistico, mi pare ragionevole che non combacino. La cosa importante è che in media le due descrizioni siano equivalenti, e così è visto che
\( \displaystyle = \frac{m}{2} \)
Però rimango perplesso sulla forma di entrambe le distribuzioni...
al momento non ho sottomano il volume in questione, ma sei sicuro di non esserti dimenticato un quadrato ad esponente nella distribuzione delle velocità?
Per quanto riguarda la tua domanda non capisco cosa ti turbi. Stai parlando di quantità puntuali per un sistema statistico, mi pare ragionevole che non combacino. La cosa importante è che in media le due descrizioni siano equivalenti, e così è visto che
\( \displaystyle
Però rimango perplesso sulla forma di entrambe le distribuzioni...
"alle.fabbri":
Ciao,
al momento non ho sottomano il volume in questione, ma sei sicuro di non esserti dimenticato un quadrato ad esponente nella distribuzione delle velocità?
Certo, naturalmente. Mi ero dimenticato un quadrato.
Comunque vi ringrazio. Rifletto un poco sulle risposte che mi avete dato e vi faccio sapere.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo