Teorema sulla circolazione di Kelvin

[daniele.candelaresi96]

Salve a tutti !
Studiando il Teorema di Kelvin sulla circolazione mi sono imbattuto nel seguente passaggio al quale non riesco a dare giustificazione :

$\oint \vec {u} \cdot \nabla \vec{u} \cdot d\vec{l} = \oint \nabla(\frac{1}{2}\vec{u}\cdot\vec{u})\cdot d\vec{l}$

Tuttavia è valida la seguente identità differenziale:

$\nabla(\frac{1}{2}\vec{u}\cdot\vec{u})= \vec {u} \cdot \nabla \vec{u} + \vec{u} \times (\nabla \times \vec{u})$

perchè il secondo termine ( quello con il rotore di ū ) sparisce ?
Tra le ipotesi del Teorema di Kelvin non vi è quella che il vettore vorticità (= rotore di ū ) è nullo , quindi non capisco .
Ringrazio.

[Shackle]

"Candel":Salve a tutti !
Studiando il Teorema di Kelvin sulla circolazione mi sono imbattuto nel seguente passaggio al quale non riesco a dare giustificazione :

$\oint \vec {u} \cdot \nabla \vec{u} \cdot d\vec{l} = \oint \nabla(\frac{1}{2}\vec{u}\cdot\vec{u})\cdot d\vec{l}$

Tuttavia è valida la seguente identità differenziale:

$\nabla(\frac{1}{2}\vec{u}\cdot\vec{u})= \vec {u} \cdot \nabla \vec{u} + \vec{u} \times (\nabla \times \vec{u})$

perchè il secondo termine ( quello con il rotore di ū ) sparisce ?
Tra le ipotesi del Teorema di Kelvin non vi è quella che il vettore vorticità (= rotore di ū ) è nullo , quindi non capisco .
Ringrazio.

Scusami, da dove hai preso questa identità differenziale ? A me non risulta. Invece è corretta questa :

$\nabla(\frac{1}{2}\vec{u}\cdot\vec{u})= \vec {u} \cdot \nabla \vec{u} $

infatti : $\nabla(\frac{1}{2}\vec{u}\cdot\vec{u}) = 1/2 ( \vecu*\nabla\vecu + \nabla\vecu*\vecu) $

Se l'identità da te scritta fosse corretta, risulterebbe , cancellando i termini uguali al primo e secondo membro, che :
$\vec{u} \times (\nabla \times \vec{u}) = 0 $ sempre .

[daniele.candelaresi96]

"Shackle":

Scusami, da dove hai preso questa identità differenziale ? A me non risulta. Invece è corretta questa :

$\nabla(\frac{1}{2}\vec{u}\cdot\vec{u})= \vec {u} \cdot \nabla \vec{u} $

infatti : $\nabla(\frac{1}{2}\vec{u}\cdot\vec{u}) = 1/2 ( \vecu*\nabla\vecu + \nabla\vecu*\vecu) $

Se l'identità da te scritta fosse corretta, risulterebbe , cancellando i termini uguali al primo e secondo membro, che :
$\vec{u} \times (\nabla \times \vec{u}) = 0 $ sempre .

Ciao Shackle
Quella identità l'ho ricavata dalla seguente più generale :

$ \nabla (\vec{a} \cdot vec{b})= vec{b}\cdot \nabla \vec{a} + vec{a}\cdot \nabla \vec{b} + \vec{b} \times ( \nabla \times \vec{a} ) + vec{a} \times ( \nabla \times \vec{b} ) $

facilmente trovabile in tutte le tabelle di identità vettoriali.

[qasw1]

Potrebbe dipendere dalla definizione di $vec(u)$.
Potresti riportarla?

[daniele.candelaresi96]

$ \vec{u}(x,y,z) $ è il campo di velocità .
Tra le ipotesi del Teorema di Kelvin non vi è l'irrotazionalità del campo di velocitá , anche se il teorema vale per un fluido che soddisfi tra le altre ipotesi quella di essere ideale ossia inviscido , proprietà legata alla vorticità , ossia a $ \vec{Ω}=\nabla \times \vec{u} $ .

[Shackle]

"Candel":
Ciao Shackle
Quella identità l'ho ricavata dalla seguente più generale :

$ \nabla (\vec{a} \cdot vec{b})= vec{b}\cdot \nabla \vec{a} + vec{a}\cdot \nabla \vec{b} + \vec{b} \times ( \nabla \times \vec{a} ) + vec{a} \times ( \nabla \times \vec{b} ) $

facilmente trovabile in tutte le tabelle di identità vettoriali.

Questa è vera, riporto in allegato alcune identità trovate in una tabella. Quella che hai scritto è il primo esercizio .

Ma del resto , siccome vale la regola di Leibnitz per la derivazione di un prodotto, si deve avere che :

$ \nabla (\vec{a} \cdot vec{b})= vec{b}\cdot \nabla \vec{a} + vec{a}\cdot \nabla \vec{b} $

il che significa che la somma degli ultimi due termini deve essere nulla :

$ \vec{b} \times ( \nabla \times \vec{a} ) + vec{a} \times ( \nabla \times \vec{b} ) = 0 $ --------(1)

e questo si può vedere facilmente, considerando $\nabla$come un vettore .[ NB : qui non sono molto sicuro, dovrei verificare! ] . Se prendo il primo termine , e faccio una permutazione circolare dei vettori , ottengo :

$ \vec{b} \times ( \nabla \times \vec{a} ) = \vec{a} \times (\vec{b} \times\nabla ) $

se ora faccio un'inversione nella parentesi tonda del termine al secondo membro , ottengo l'opposto : $ - \vec{a} \times ( \nabla\times\vec{b} ) $

e quindi , sostituendo nella (1) , ottengo :

$ \vec{b} \times ( \nabla \times \vec{a} ) + vec{a} \times ( \nabla \times \vec{b} ) = - \vec{a} \times ( \nabla\times\vec{b} ) + \vec{a} \times ( \nabla\times\vec{b} ) = 0 $

Ciò detto, e ammesso che non abbia fatto errori , non mi rendo conto come tu abbia ricavato l'uguaglianza che hai scritto.

Torno a dire : se fosse vera , cancellando i due termini uguali a primo e secondo membro il terzo termine sarebbe sempre identicamente nullo.

Non dipende dalla natura di $vecu$ .

[daniele.candelaresi96]

"Shackle":

Ciò detto, e ammesso che non abbia fatto errori , non mi rendo conto come tu abbia ricavato l'uguaglianza che hai scritto.

Torno a dire : se fosse vera , cancellando i due termini uguali a primo e secondo membro il terzo termine sarebbe sempre identicamente nullo.

Non dipende dalla natura di $vecu$ .

L'identità si ricava ponendo $\vec{a} = \vec{b}=\vec{u}$ applicando la :
$\nabla (\vec{a} \cdot vec{b})= vec{b}\cdot \nabla \vec{a} + vec{a}\cdot \nabla \vec{b} + \vec{b} \times ( \nabla \times \vec{a} ) + vec{a} \times ( \nabla \times \vec{b} )$
che diventa appunto :
$\nabla (1/2 \vec{u} ) = \vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla \ times (\ nabla \times \vec{u})$

Non sono sicuro che hai fatto bene : i termini con il rotore non sono sempre tali che la loro somma sia nulla quindi non puoi usare $\nabla$ come una normale derivata.
Comunque dopo alcune ricerche penso che nel teorema di Kelvin si dia per scontato che la vorticità $\vec{Ω} = \nabla \times \vec{u}=0$ e quindi sarebbe spiegato perchè il termine del rotore sparisce. Se qualcuno trova una motivazione che non dipenda dall'aggiunta dell'ipotesi dell'irrotazionalità di $\vec{u}$ mi faccia sapere . Grazie a tutti !

[Shackle]

Non sono sicuro che hai fatto bene : i termini con il rotore non sono sempre tali che la loro somma sia nulla quindi non puoi usare ∇ come una normale derivata.

Hai ragione , non sono sicuro neanche io, penso di aver sbagliato. Innanzitutto, nel prodotto triplo ha importanza la posizione delle parentesi, ma questo è ovvio. Poi , se considero che :

$veca\times(vecb\timesvecc) = vecb(veca*vecc) - vecc(veca*vecb) $ ( regola "bac - cab" )

risulta che il primo membro è combinazione lineare di $vecb$ e $vecc$ , come si vede dal secondo, quindi giace nel loro piano. Cambiando l'ordine dei tre vettori , cambiano quelli che vanno in parentesi tonda, quindi cambia il piano, in generale, come si vede qui :

http://imgur.com/9f6frFD

Invece, se permuto circolarmente i tre vettori , e sommo i tre prodotti vettoriali doppi, ho che la somma è nulla . È l'identità di Jacobi , che si verifica con la regola "bac-cab" opportunamente applicata. (esercizio 1.5.7 qui sotto)



Tuttavia , la regola di derivazione di un prodotto mi lascia un po' perplesso , qui , quando calcolo il gradiente del prodotto scalare $veca*vecb$ . Io mi sarei fermato ai primi due termini ....