Teorema König momento angolare, corpi rigidi
Buonasera a tutti!
Lacuna su König.
Il teorema di König per il momento angolare ci dice che il momento angolare rispetto ad un polo qualsiasi $O$ di un sistema di punti materiali è uguale al momento angolare rispetto ad $O$ del centro di massa $g$ più il momento angolare degli altri punti rispetto al centro di massa $g$.
In formula:
$K_O= K_(g_O) + Ktext(*)$
Come si trasforma tale formula per i corpi rigidi?
Ho trovato sui miei testi la spiegazione dettagliata step by step della riformulazione del teorema di König per l'energia cinetica quando si parla di corpi rigidi, ma purtroppo nulla riguardo la riformulazione del teorema di König per il momento angolare!!
Lacuna su König.
Il teorema di König per il momento angolare ci dice che il momento angolare rispetto ad un polo qualsiasi $O$ di un sistema di punti materiali è uguale al momento angolare rispetto ad $O$ del centro di massa $g$ più il momento angolare degli altri punti rispetto al centro di massa $g$.
In formula:
$K_O= K_(g_O) + Ktext(*)$
Come si trasforma tale formula per i corpi rigidi?
Ho trovato sui miei testi la spiegazione dettagliata step by step della riformulazione del teorema di König per l'energia cinetica quando si parla di corpi rigidi, ma purtroppo nulla riguardo la riformulazione del teorema di König per il momento angolare!!
Risposte
"Shackle":
Hai dato un’occhiata qui ?
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 8#p8443975
Ciao Shackle! Però non c'è scritto come si passa da $Ktext(*)$ a $I_G omega$ .
A me interesserebbero proprio quei passaggi, ma non li trovo!
Cioè , vuoi sapere come si calcola il momento angolare rispetto al CM ? È spiegato nei libri di M.R. , e l’ho detto varie volte in tempi recenti:
$vecL =vec\omega$
dove è di solito la matrice centrale di inerzia: con origine in G , e assi cartesiani solidali al corpo e principali di inerzia, la matrice è diagonale. Gli assi principali nel CM si chiamano assi centrali di inerzia.
Ma tutto questo si precisa e si dimostra. E si trova pure in rete.
Per esempio, sapresti trovare la matrice centrale di inerzia per un cubo di lato assegnato?
$vecL =vec\omega$
dove è di solito la matrice centrale di inerzia: con origine in G , e assi cartesiani solidali al corpo e principali di inerzia, la matrice è diagonale. Gli assi principali nel CM si chiamano assi centrali di inerzia.
Ma tutto questo si precisa e si dimostra. E si trova pure in rete.
Per esempio, sapresti trovare la matrice centrale di inerzia per un cubo di lato assegnato?
"Shackle":
Cioè , vuoi sapere come si calcola il momento angolare rispetto al CM ? È spiegato nei libri di M.R. , e l’ho detto varie volte in tempi recenti:
$vecL =vec\omega$
dove è di solito la matrice centrale di inerzia: con origine in G , e assi cartesiani solidali al corpo e principali di inerzia, la matrice è diagonale. Gli assi principali nel CM si chiamano assi centrali di inerzia.
Ma tutto questo si precisa e si dimostra. E si trova pure in rete.
Per esempio, sapresti trovare la matrice centrale di inerzia per un cubo di lato assegnato?
$Ktext(*)$ è il momento angolare dei vari punti rispetto al centro di massa.
Quindi
$Ktext(*) = Sigma_i (P_i-O) xx m_iv_i$
Sfruttando la formula fondamentale per la cinematica dei corpi rigidi
$Ktext(*) = Sigma_i (P_i-O) xx m_i (v_g + omega xx (P_i-G))$
A questo punto basta fare un prodotto scalare a destra e sinistra $*vecu$, che è il versore della velocità angolare sul quale faccio una proiezione, sfruttare le proprietà del prodotto vettoriale e del prodotto misto, ed ottengo $Ktext(*)=I_gomega$. Giusto?
Hai fatto un po’ di confusione. Leggi questo, compreso i link e le dispense:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8442202
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8442202
"Shackle":
Hai fatto un po’ di confusione...
Come mai dici che ho fatto un po' di confusione?
Ho letto il tuo post e le dispense, non ho trovato falle in ciò che dico.
Mi sembra di aver fatto lo stesso ragionamento che è stato fatto su questo libro (basta leggere le equazioni e paragonarle al ragionamento del mio commento precedente):
da cui $vecKtext(*)*vecu = I_Gomega$ .
Non voglio dire a tutti i costi che ho ragione, anzi, se tu sapessi mostrarmi dove sbaglio, mi miglioreresti la giornata.
Dici che $Ktext(*)$ è il momento angolare del corpo rigido rispetto a $G$ :
Va bene. Poi metti l’origine in un punto $O ne G $ :
E questo non mi sta bene, nel senso che devi decidere : o assumi $O$ come origine , diversa da $G$, e allora quel momento ora scritto non è rispetto a $G$ ma rispetto ad $O$; oppure assumi direttamente $G$ come origine, ma allora devi scrivere $G$ e non $O$ .
Il passaggio seguente :
è giusto quando assumi $OneG$ come origine, e scrivi la velocità $v_i$ sfruttando la proprietà fondamentale della cinematica dei corpi rigidi , e cioè :
$vecv_P = vecv_G + vec\omega\times( P-G)$
Le pagine del libro sono giuste. Stasera forse metto ancora qualcosa.
"anonymous_58f0ac":
$Ktext(*)$ è il momento angolare dei vari punti rispetto al centro di massa.
Va bene. Poi metti l’origine in un punto $O ne G $ :
Quindi
$Ktext(*) = Sigma_i (P_i-O) xx m_iv_i$
E questo non mi sta bene, nel senso che devi decidere : o assumi $O$ come origine , diversa da $G$, e allora quel momento ora scritto non è rispetto a $G$ ma rispetto ad $O$; oppure assumi direttamente $G$ come origine, ma allora devi scrivere $G$ e non $O$ .
Il passaggio seguente :
Sfruttando la formula fondamentale per la cinematica dei corpi rigidi
$Ktext(*) = Sigma_i (P_i-O) xx m_i (v_g + omega xx (P_i-G))$
è giusto quando assumi $OneG$ come origine, e scrivi la velocità $v_i$ sfruttando la proprietà fondamentale della cinematica dei corpi rigidi , e cioè :
$vecv_P = vecv_G + vec\omega\times( P-G)$
Le pagine del libro sono giuste. Stasera forse metto ancora qualcosa.
Vero! Ho sbagliato a scrivere, dovevo scrivere $Ktext(*)$ calcolato con centro di riduzione rispetto ad $O$.
è giusto quando assumi $OneG$
..
[/quote]
Ma come? Perché O diverso da G?
Nella quarta equazione della prima foto da me postata viene scritto proprio:
$K_Gtext(*)= Sigma_i (P_i-G) ....$
"Shackle":
[quote="anonymous_58f0ac"]
$Ktext(*) = Sigma_i (P_i-O) xx m_i (v_g + omega xx (P_i-G))$
è giusto quando assumi $OneG$
..
[/quote]
Ma come? Perché O diverso da G?
Nella quarta equazione della prima foto da me postata viene scritto proprio:
$K_Gtext(*)= Sigma_i (P_i-G) ....$
Non mi stai capendo: è giusto, $OneG$ , il primo punto è l’origine delle coordinate, l‘altro è il baricentro G in moto pure lui. Le equazioni scritte nelle foto sono giuste, tranquillo!
"Shackle":
Non mi stai capendo: è giusto, $OneG$ , il primo punto è l’origine delle coordinate, l‘altro è il baricentro G in moto pure lui. Le equazioni scritte nelle foto sono giuste, tranquillo!
Menomale, grazie Shackle!
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