Teorema energia cinetica(passaggi matematici)
mi aiutate con dei passaggi matematici (sul teorema dell'energia cinetica)
1 $\int_{x_i}^{x_f} ma dx = 2 \int_{x_i}^{x_f} m(dv)/(dt) dx = 3 \int_{x_i}^{x_f} m(dv)/(dx)*(dx)/(dt) dx= 4 \int_{v_i}^{v_f} mv dv $
non capisco dal 3° passaggio in poi.io avrei fatto che $dv= (dx)/(dt)$
e poi non capisco come si fa a passare da dx a dv
1 $\int_{x_i}^{x_f} ma dx = 2 \int_{x_i}^{x_f} m(dv)/(dt) dx = 3 \int_{x_i}^{x_f} m(dv)/(dx)*(dx)/(dt) dx= 4 \int_{v_i}^{v_f} mv dv $
non capisco dal 3° passaggio in poi.io avrei fatto che $dv= (dx)/(dt)$
e poi non capisco come si fa a passare da dx a dv
Risposte
Fai così:
$dW = F*dx = m*a*dx= m*(dv)/dt*dx = m*(dv)/(dt)*v*dt$ dove ho usato $dx=v*dt$ e quindi:
$dW= m*dv*v$ ora integri rispetto a v e ottieni $W=deltaE_c$ dove ribattezzi $E_c = m*v^2/2$
Ciao.
$dW = F*dx = m*a*dx= m*(dv)/dt*dx = m*(dv)/(dt)*v*dt$ dove ho usato $dx=v*dt$ e quindi:
$dW= m*dv*v$ ora integri rispetto a v e ottieni $W=deltaE_c$ dove ribattezzi $E_c = m*v^2/2$
Ciao.
C'è anche un altro modo di vedere la cosa, se si vuole evitare il metodo dell'urang-utang così caro ai fisici ma deprecato dai matematici.
Prendiamo l'integrale $\Delta W = m\int_{x_1}^{x_2} a(x)dx $.
Considerando lo spazio x come funzione a sua volta del tempo si può scrivere $a[ x( t )] = v'( t )$ e $x'( t ) = v( t )$, e quindi eseguendo una sostituzione della variabile x con la variabile t si ha $dx = v( t )dt $. L'integrale diventa allora:
$\Delta W = m\int_{t_1}^{t_2} v'( t )v( t )dt $
Integrando quest'ultima per parti si ha:
$\Delta W = m\int_{t_1}^{t_2} v'( t )v( t )dt = m[ [ v( t ) ]^2]_{t_1}^{t_2} - m\int_{t_1}^{t_2} v( t )v'( t )dt $, ovvero
$2m\int_{t_1}^{t_2} v'( t )v( t )dt = m[ [ v( t ) ]^2]_{t_1}^{t_2} $
cioè in definitiva:
$\Delta W = m\int_{t_1}^{t_2} v'( t )v( t )dt =\frac{1}{2}m[ [ v( t_2)]^2 - [ v( t_1) ]^2] = \frac{1}{2}m[ v_2^2 - v_1^2] $
Prendiamo l'integrale $\Delta W = m\int_{x_1}^{x_2} a(x)dx $.
Considerando lo spazio x come funzione a sua volta del tempo si può scrivere $a[ x( t )] = v'( t )$ e $x'( t ) = v( t )$, e quindi eseguendo una sostituzione della variabile x con la variabile t si ha $dx = v( t )dt $. L'integrale diventa allora:
$\Delta W = m\int_{t_1}^{t_2} v'( t )v( t )dt $
Integrando quest'ultima per parti si ha:
$\Delta W = m\int_{t_1}^{t_2} v'( t )v( t )dt = m[ [ v( t ) ]^2]_{t_1}^{t_2} - m\int_{t_1}^{t_2} v( t )v'( t )dt $, ovvero
$2m\int_{t_1}^{t_2} v'( t )v( t )dt = m[ [ v( t ) ]^2]_{t_1}^{t_2} $
cioè in definitiva:
$\Delta W = m\int_{t_1}^{t_2} v'( t )v( t )dt =\frac{1}{2}m[ [ v( t_2)]^2 - [ v( t_1) ]^2] = \frac{1}{2}m[ v_2^2 - v_1^2] $
"Falco5x":
C'è anche un altro modo di vedere la cosa, se si vuole evitare il metodo dell'urang-utang così caro ai fisici ma deprecato dai matematici.
Prendiamo l'integrale $\Delta W = m\int_{x_1}^{x_2} a(x)dx $.
Considerando lo spazio x come funzione a sua volta del tempo si può scrivere $a[ x( t )] = v'( t )$ e $x'( t ) = v( t )$, e quindi eseguendo una sostituzione della variabile x con la variabile t si ha $dx = v( t )dt $. L'integrale diventa allora:
$\Delta W = m\int_{t_1}^{t_2} v'( t )v( t )dt $
Integrando quest'ultima per parti si ha:
$\Delta W = m\int_{t_1}^{t_2} v'( t )v( t )dt = m[ [ v( t ) ]^2]_{t_1}^{t_2} - m\int_{t_1}^{t_2} v( t )v'( t )dt $, ovvero
$2m\int_{t_1}^{t_2} v'( t )v( t )dt = m[ [ v( t ) ]^2]_{t_1}^{t_2} $
cioè in definitiva:
$\Delta W = m\int_{t_1}^{t_2} v'( t )v( t )dt =\frac{1}{2}m[ [ v( t_2)]^2 - [ v( t_1) ]^2] = \frac{1}{2}m[ v_2^2 - v_1^2] $
nono grazie ma non fa per me :\ non sono ne' una fisica ne' una matematica. volevo sapere piuttosto il mio procedimento altrimenti mi accontento di quello di nirvana
"fedeee":
mi aiutate con dei passaggi matematici (sul teorema dell'energia cinetica)
1 $\int_{x_i}^{x_f} ma dx = 2 \int_{x_i}^{x_f} m(dv)/(dt) dx = 3 \int_{x_i}^{x_f} m(dv)/(dx)*(dx)/(dt) dx= 4 \int_{v_i}^{v_f} mv dv $
non capisco dal 3° passaggio in poi.io avrei fatto che $dv= (dx)/(dt)$
e poi non capisco come si fa a passare da dx a dv
uffa ho cancellato e' mglio xD
"fedeee":
nono grazie ma non fa per me :\ non sono ne' una fisica ne' una matematica. volevo sapere piuttosto il mio procedimento altrimenti mi accontento di quello di nirvana
Manco io, sono un ingegnere!
Se vi vede un matematico a semplificare i "dt" come fossero numeri vi scomunica e vi manda all'inferno dei matematici, dove dovrete risolvere per l'eternità integrali complicatissimi.
"Falco5x":
[quote="fedeee"]nono grazie ma non fa per me :\ non sono ne' una fisica ne' una matematica. volevo sapere piuttosto il mio procedimento altrimenti mi accontento di quello di nirvana
Manco io, sono un ingegnere!
Se vi vede un matematico a semplificare i "dt" come fossero numeri vi scomunica e vi manda all'inferno dei matematici, dove dovrete risolvere per l'eternità integrali complicatissimi.[/quote]
allora fammelo tu
"fedeee":
[quote="Falco5x"][quote="fedeee"]nono grazie ma non fa per me :\ non sono ne' una fisica ne' una matematica. volevo sapere piuttosto il mio procedimento altrimenti mi accontento di quello di nirvana
Manco io, sono un ingegnere!
Se vi vede un matematico a semplificare i "dt" come fossero numeri vi scomunica e vi manda all'inferno dei matematici, dove dovrete risolvere per l'eternità integrali complicatissimi.[/quote]
allora fammelo tu[/quote]
Ma te l'ho già detto il metodo corretto!!!!
la semplificazione dei dt è il cosiddetto metodo dell'urang-utang, un formalismo usato dai fisici ma aborrito dai matematici. Il metodo che ti ho spiegato io più sopra è invece (credo) accettabile da parte di entrambi.
Nell'ambito di una prassi comunemente accettata da fisici e ingegneri la semplificazione dei dt è utilizzata e assunta per buona, e dunque, con tutti i limiti del caso, i tuoi passaggi sono "giusti", anche se ti guadagnano l'inferno dei matematici.
Mi spiace ma la situazione è proprio questa, non ci sono terze vie.
"Falco5x":
[quote="fedeee"][quote="Falco5x"][quote="fedeee"]nono grazie ma non fa per me :\ non sono ne' una fisica ne' una matematica. volevo sapere piuttosto il mio procedimento altrimenti mi accontento di quello di nirvana
Manco io, sono un ingegnere!
Se vi vede un matematico a semplificare i "dt" come fossero numeri vi scomunica e vi manda all'inferno dei matematici, dove dovrete risolvere per l'eternità integrali complicatissimi.[/quote]
allora fammelo tu[/quote]
Ma te l'ho già detto il metodo corretto!!!!
la semplificazione dei dt è il cosiddetto metodo dell'urang-utang, un formalismo usato dai fisici ma aborrito dai matematici. Il metodo che ti ho spiegato io più sopra è invece (credo) accettabile da parte di entrambi.
Nell'ambito di una prassi comunemente accettata da fisici e ingegneri la semplificazione dei dt è utilizzata e assunta per buona, e dunque, con tutti i limiti del caso, i tuoi passaggi sono "giusti", anche se ti guadagnano l'inferno dei matematici.
Mi spiace ma la situazione è proprio questa, non ci sono terze vie.[/quote]
ah nn avevo collegato che eri la stessa persona..no non me lo imparero' mai quel metodo ..xD se i fisici lo fanno e qualcuno qui me lo assicura lo faccio anche io..
posso semplificare dx e dx del passaggio 3??
Guarda, mi voglio rovinare. Fa' come ha fatto nirvana oppure ancora più semplicemente (tanto... eresia per eresia...) dalla 2 alla 3 sposta solo il denominatore dt dal numeratore dv al numeratore dx e il gioco è fatto:
1 $\int_{x_i}^{x_f} ma dx = 2 \int_{x_i}^{x_f} m(dv)/(dt) dx = 3 \int_{x_i}^{x_f} m (dx)/(dt)dv = 4 \int_{v_i}^{v_f} mv dv = 1/2m(v_2^2-v_1^2)$
Se però ti chiedono chi è stato.... sssshhhhhhhhhhhhh, mi raccomando io non ho detto niente
1 $\int_{x_i}^{x_f} ma dx = 2 \int_{x_i}^{x_f} m(dv)/(dt) dx = 3 \int_{x_i}^{x_f} m (dx)/(dt)dv = 4 \int_{v_i}^{v_f} mv dv = 1/2m(v_2^2-v_1^2)$
Se però ti chiedono chi è stato.... sssshhhhhhhhhhhhh, mi raccomando io non ho detto niente
"Falco5x":
Guarda, mi voglio rovinare. Fa' come ha fatto nirvana oppure ancora più semplicemente (tanto... eresia per eresia...) dalla 2 alla 3 sposta solo il denominatore dt dal numeratore dv al numeratore dx e il gioco è fatto:
1 $\int_{x_i}^{x_f} ma dx = 2 \int_{x_i}^{x_f} m(dv)/(dt) dx = 3 \int_{x_i}^{x_f} m (dx)/(dt)dv = 4 \int_{v_i}^{v_f} mv dv = 1/2m(v_2^2-v_1^2)$
Se però ti chiedono chi è stato.... sssshhhhhhhhhhhhh, mi raccomando io non ho detto niente
ok ho capito..anche se volevo fare come faceva il mio libro T.T
posso fare come avevo scritto prima dove compivo le due eresie semplificando dx e dx e poi dt e dt??? cmq terro' presente anche gli altri due procedimenti xD
Si, effettivamente questa cosa di semplificare i dx o i dt che siano è davvero inaccettabile da un punto di vista matematico. Infatti, a livello universitario, tanti studenti di matematica si trovano male a studiare Fisica proprio per l'uso così disinvolto del calcolo infinitesimale, soprattutto se precedentemente hanno seguito il corso di analisi matematica.
D'altra parte, non so nemmeno se esiste un testo universitario di Fisica 1 con un'impostazione corretta da un punto di vista matematico, almeno da quel che so io (ma sono rimasto a oltre 10 anni fa).
In questo caso nell'integrale hai la forza [tex]f(x)[/tex] che è in funzione della posizione [tex]x[/tex] del punto materiale (si avrà a che fare con un moto rettilineo), pertanto [tex]f(x) = ma(x)[/tex] ma l'accelerazione è la derivata rispetto al tempo della velocità e non rispetto alla posizione, che però è a sua volta in funzione del tempo. Quindi la derivata è la derivata di una funzione composta: [tex]a(x) = v'(x)x' = v'(x)v[/tex]. La funzione integranda è [tex]mv'(x)v[/tex] e una sua primitiva è [tex]1/2mv^2[/tex] che va poi calcolata tra gli estremi [tex]x_i[/tex] e [tex]x_f[/tex].
D'altra parte, non so nemmeno se esiste un testo universitario di Fisica 1 con un'impostazione corretta da un punto di vista matematico, almeno da quel che so io (ma sono rimasto a oltre 10 anni fa).
In questo caso nell'integrale hai la forza [tex]f(x)[/tex] che è in funzione della posizione [tex]x[/tex] del punto materiale (si avrà a che fare con un moto rettilineo), pertanto [tex]f(x) = ma(x)[/tex] ma l'accelerazione è la derivata rispetto al tempo della velocità e non rispetto alla posizione, che però è a sua volta in funzione del tempo. Quindi la derivata è la derivata di una funzione composta: [tex]a(x) = v'(x)x' = v'(x)v[/tex]. La funzione integranda è [tex]mv'(x)v[/tex] e una sua primitiva è [tex]1/2mv^2[/tex] che va poi calcolata tra gli estremi [tex]x_i[/tex] e [tex]x_f[/tex].
ragazzi ma non sarebbe corretto porsi il problema che a è un vettore e deve esser moltiplicato scalarmente per ds (questa è infatti la definizione generale di lavoro di uan forza)?
Il cazo che fate voi è comunque quello particolarissimo che la forza sia sempre lungo l'asse x.
Il cazo che fate voi è comunque quello particolarissimo che la forza sia sempre lungo l'asse x.
Sulla scia di Antani aggiungo il mio contributo:
$W = int_(gamma) vec(F)*dvec(r)$ ($gamma$ è la curva effettivamente descritta dal punto materiale)
$W = int_(gamma) m vec(a)*dvec(r) = int_(gamma) m vec(ddot(r))*vec(dot(r))dt$ (con $dvec(r) = vec(dot(r))dt$)
Ora si può scrivere $m vec(ddot(r))*vec(dot(r)) = d/(dt) (1/2 m vec(dot(r))^2)$, per cui:
$W = int_(gamma) d/(dt) (1/2 m vec(dot(r))^2)dt$
Quindi, senza oranghi, si può ricordare che l'integrale di una derivata di funzione è uguale alla funzione stessa valutata negli estremi:
$W = 1/2 m (dot(r_b)^2 - dot(r_a)^2)$ ($a$ e $b$ sono gli estremi di $gamma$)
$W = int_(gamma) vec(F)*dvec(r)$ ($gamma$ è la curva effettivamente descritta dal punto materiale)
$W = int_(gamma) m vec(a)*dvec(r) = int_(gamma) m vec(ddot(r))*vec(dot(r))dt$ (con $dvec(r) = vec(dot(r))dt$)
Ora si può scrivere $m vec(ddot(r))*vec(dot(r)) = d/(dt) (1/2 m vec(dot(r))^2)$, per cui:
$W = int_(gamma) d/(dt) (1/2 m vec(dot(r))^2)dt$
Quindi, senza oranghi, si può ricordare che l'integrale di una derivata di funzione è uguale alla funzione stessa valutata negli estremi:
$W = 1/2 m (dot(r_b)^2 - dot(r_a)^2)$ ($a$ e $b$ sono gli estremi di $gamma$)
Ecco così che si fa...Direi che così va molto meglio...ebbravo vinx89 
clap clap!
clap clap!
"VINX89":
Sulla scia di Antani aggiungo il mio contributo:
$W = int_(gamma) vec(F)*dvec(r)$ ($gamma$ è la curva effettivamente descritta dal punto materiale)
$W = int_(gamma) m vec(a)*dvec(r) = int_(gamma) m vec(ddot(r))*vec(dot(r))dt$ (con $dvec(r) = vec(dot(r))dt$)
Ora si può scrivere $m vec(ddot(r))*vec(dot(r)) = d/(dt) (1/2 m vec(dot(r))^2)$, per cui:
$W = int_(gamma) d/(dt) (1/2 m vec(dot(r))^2)dt$
Quindi, senza oranghi, si può ricordare che l'integrale di una derivata di funzione è uguale alla funzione stessa valutata negli estremi:
$W = 1/2 m (dot(r_b)^2 - dot(r_a)^2)$ ($a$ e $b$ sono gli estremi di $gamma$)
Secondo me è sempre bene evindenziare che si sta appunto facendo un integrale curvilineo, che è qualcosa di piuttosto diverso dall'integrale "normale" e che $vec(r)(t)$ rappresenta una parametrizzazione della curva percorsa. Infatti è proprio per questo che l'integrale diventa un integrale in [tex]dt[/tex] e gli estremi dovrebbero essere l'istante inziale [tex]t_i[/tex] e quello finale [tex]t_f[/tex]. Se non si tiene conto del fatto che si sta facendo un integrale curvilineo diventa poi difficile calcolare il lavoro di una forza di cui si fa sempre l'esempio come la forza di attrito anche su percorso rettilineo ma obliquo (per far vedere che la forza non è conservativa).
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